5. 如图,在梯形$ABCD$中,$AD = 7$,$BC = 9$,梯形的对角线将中位线$EF$分成$EG$,$GH$,$HF$三段,则$GE =$
4.5
,$FG =$3.5
,$GH =$1
.答案
$GE=4.5$，$FG=3.5$，$GH=1$。
$4.5$，$3.5$，$1$
$4.5$，$3.5$，$1$
解析
在梯形$ABCD$中，$AD// BC$，$AD=7$，$BC=9$，$EF$是中位线。
1. 求中位线$EF$的长度：
梯形中位线$EF=\frac{AD+BC}{2}=\frac{7+9}{2}=8$。
2. 确定对角线与中位线的交点：
设$E$、$F$分别为$AB$、$CD$的中点，对角线$AC$交$EF$于$G$，对角线$BD$交$EF$于$H$。
3. 计算各段长度：
在$\triangle ABC$中，$E$是$AB$中点，$EG// BC$，故$EG$是$\triangle ABC$的中位线，$EG=\frac{BC}{2}=\frac{9}{2}=4.5$，即$GE=4.5$。
在$\triangle ADC$中，$F$是$CD$中点，$FG// AD$，故$FG$是$\triangle ADC$的中位线，$FG=\frac{AD}{2}=\frac{7}{2}=3.5$。
由于$EF=EG+GH+HF=8$，且$EG=4.5$，$FG=3.5$，则$GH=EF-EG-FG=8-4.5-3.5=1$。
1. 求中位线$EF$的长度：
梯形中位线$EF=\frac{AD+BC}{2}=\frac{7+9}{2}=8$。
2. 确定对角线与中位线的交点：
设$E$、$F$分别为$AB$、$CD$的中点，对角线$AC$交$EF$于$G$，对角线$BD$交$EF$于$H$。
3. 计算各段长度：
在$\triangle ABC$中，$E$是$AB$中点，$EG// BC$，故$EG$是$\triangle ABC$的中位线，$EG=\frac{BC}{2}=\frac{9}{2}=4.5$，即$GE=4.5$。
在$\triangle ADC$中，$F$是$CD$中点，$FG// AD$，故$FG$是$\triangle ADC$的中位线，$FG=\frac{AD}{2}=\frac{7}{2}=3.5$。
由于$EF=EG+GH+HF=8$，且$EG=4.5$，$FG=3.5$，则$GH=EF-EG-FG=8-4.5-3.5=1$。
1. (华师八下 P95 改编)如图,在$□ ABCD$中,$AE⊥ CD$,交$DC$的延长线于点$E$. 若$\angle BCE = 42^{\circ}$,则$\angle DAE$的度数为
48
.答案
48
解析
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$，$AD// BC$。所以$\angle BCE = \angle B$（两直线平行，同位角相等），又因为$\angle BCE = 42^{\circ}$，所以$\angle B = 42^{\circ}$。因为平行四边形的对角相等，所以$\angle D = \angle B = 42^{\circ}$。因为$AE⊥ CD$，所以$\angle AED = 90^{\circ}$。在$\triangle ADE$中，$\angle DAE = 180^{\circ}-\angle AED-\angle D = 180^{\circ}-90^{\circ}-42^{\circ}=48^{\circ}$。
2. 如图,$□ ABCD$的对角线相交于点$O$,且$AD\neq CD$,过点$O$作$OM⊥ AC$,交$AD$于点$M$,连接$CM$. 若$\triangle CDM$的周长是 14 cm,则$□ ABCD$的周长为
28
cm.答案
28
解析
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AB=CD, AD=BC, O$为$AC$中点，
又$\because OM⊥ AC$，
$\therefore AM=CM（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）$，
$\because \triangle CDM$的周长为$14\mathrm{cm}$，
$\therefore CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=14\mathrm{cm}$，
$\therefore$ 平行四边形 $ABCD$ 的周长为：
$2(AD+CD)=2× 14=28\mathrm{cm}$。
$\therefore AB=CD, AD=BC, O$为$AC$中点，
又$\because OM⊥ AC$，
$\therefore AM=CM（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）$，
$\because \triangle CDM$的周长为$14\mathrm{cm}$，
$\therefore CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=14\mathrm{cm}$，
$\therefore$ 平行四边形 $ABCD$ 的周长为：
$2(AD+CD)=2× 14=28\mathrm{cm}$。
3. 如图,在$□ ABCD$中,$O$是$BD$的中点,$EF$过点$O$. 下列结论:①$AB// DC$;②$EO = ED$;③$\angle A = \angle C$;④$S_{\mathrm{四边形}ABOE} = S_{\mathrm{四边形}CDOF}$. 其中正确是
D
.(填序号)答案
D
解析
① 根据平行四边形的性质，对边平行，即 $AB // DC$，故①正确；
② 由于 $EF$ 过点 $O$，但并没有说明 $EF$ 与其他边的关系，所以不能直接得出 $EO = ED$，故②错误；
③ 根据平行四边形的性质，对角相等，即 $\angle A = \angle C$，故③正确；
④ 由于 $O$ 是 $BD$ 的中点，$BO = DO$。
因为 $AD // BC$，所以$\angle EDO=\angle FBO$，
又因为$\angle EOD=\angle FOB$，
所以在$\triangle EOD$和$\triangle FOB$中：
$\begin{cases}\angle EDO=\angle FBO,\\BO = DO,\\\angle EOD=\angle FOB.\end{cases}$
因此 $\triangle EOD \cong \triangle FOB$（ASA），
所以三角形$DOE$的面积等于三角形$BOF$的面积，
又因为三角形$ABD$的面积等于三角形$BCD$的面积，
所以 $S_{四边形 ABOE} = S_{四边形 CDOF}$，故④正确。
综上，正确的有①③④。
② 由于 $EF$ 过点 $O$，但并没有说明 $EF$ 与其他边的关系，所以不能直接得出 $EO = ED$，故②错误；
③ 根据平行四边形的性质，对角相等，即 $\angle A = \angle C$，故③正确；
④ 由于 $O$ 是 $BD$ 的中点，$BO = DO$。
因为 $AD // BC$，所以$\angle EDO=\angle FBO$，
又因为$\angle EOD=\angle FOB$，
所以在$\triangle EOD$和$\triangle FOB$中：
$\begin{cases}\angle EDO=\angle FBO,\\BO = DO,\\\angle EOD=\angle FOB.\end{cases}$
因此 $\triangle EOD \cong \triangle FOB$（ASA），
所以三角形$DOE$的面积等于三角形$BOF$的面积，
又因为三角形$ABD$的面积等于三角形$BCD$的面积，
所以 $S_{四边形 ABOE} = S_{四边形 CDOF}$，故④正确。
综上，正确的有①③④。
4. (2025 北京模拟)如图,在$□ ABCD$中,点$E$在边$AD$上,$BA$,$CE$的延长线交于点$F$. 若$AF = 1$,$AB = 2$,$BC = 12$,则$ED =$
8
.答案
8
解析
在□ABCD中，AD=BC=12，AD//BC。
∵AD//BC，∴∠FAE=∠FBC，∠FEA=∠FCB（同位角相等），
∴△AFE∽△BFC（两角对应相等，三角形相似）。
∵AF=1，AB=2，∴FB=AF+AB=3，
相似比为AF:FB=1:3，
∴AE:BC=1:3，即AE:12=1:3，解得AE=4，
∴ED=AD-AE=12-4=8。
∵AD//BC，∴∠FAE=∠FBC，∠FEA=∠FCB（同位角相等），
∴△AFE∽△BFC（两角对应相等，三角形相似）。
∵AF=1，AB=2，∴FB=AF+AB=3，
相似比为AF:FB=1:3，
∴AE:BC=1:3，即AE:12=1:3，解得AE=4，
∴ED=AD-AE=12-4=8。
5. 如图,在四边形$ABCD$中,$E$是$AB$的中点,$DB$,$CE$交于点$F$,$DF = FB$,$AF// DC$.
(1)求证:四边形$AFCD$为平行四边形;
(2)若$\angle EFB = 90^{\circ}$,$\tan\angle FEB = 3$,$EF = 1$,求$BC$的长.
(1)求证:四边形$AFCD$为平行四边形;
(2)若$\angle EFB = 90^{\circ}$,$\tan\angle FEB = 3$,$EF = 1$,求$BC$的长.
答案
(1)见解析；(2)√13
解析
(1)∵E是AB中点，DF=FB，∴F是BD中点，∴EF是△ABD中位线，∴EF//AD。∵EF⊂CE，∴AD//CE，即AD//FC。又∵AF//DC，∴四边形AFCD为平行四边形。
(2)在Rt△EFB中，∠EFB=90°，tan∠FEB=FB/EF=3，EF=1，∴FB=3，EB=√(EF²+FB²)=√10。∵E为AB中点，∴AE=EB=√10，AB=2√10。以F为原点，FE为y轴，FB为x轴建系，F(0,0)，E(0,1)，B(3,0)。由E为AB中点得A(-3,2)；F为BD中点得D(-3,0)。∵AFCD是平行四边形，AF=(3,-2)，∴DC=(3,-2)，D(-3,0)，则C(0,-2)。∴BC=√[(3-0)²+(0+2)²]=√13。
(2)在Rt△EFB中，∠EFB=90°，tan∠FEB=FB/EF=3，EF=1，∴FB=3，EB=√(EF²+FB²)=√10。∵E为AB中点，∴AE=EB=√10，AB=2√10。以F为原点，FE为y轴，FB为x轴建系，F(0,0)，E(0,1)，B(3,0)。由E为AB中点得A(-3,2)；F为BD中点得D(-3,0)。∵AFCD是平行四边形，AF=(3,-2)，∴DC=(3,-2)，D(-3,0)，则C(0,-2)。∴BC=√[(3-0)²+(0+2)²]=√13。
6. 如果一个多边形的内角和等于$900^{\circ}$,那么这个多边形的边数是 (
A.6
B.7
C.8
D.9
B
)A.6
B.7
C.8
D.9
答案
B
解析
设这个多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式：内角和$=(n - 2)×180^{\circ}$。
已知该多边形内角和等于$900^{\circ}$，则可列出方程$(n - 2)×180^{\circ}=900^{\circ}$，
两边同时除以$180^{\circ}$得：$n - 2 = 5$，
移项可得$n = 5 + 2=7$。
已知该多边形内角和等于$900^{\circ}$，则可列出方程$(n - 2)×180^{\circ}=900^{\circ}$，
两边同时除以$180^{\circ}$得：$n - 2 = 5$，
移项可得$n = 5 + 2=7$。
7. 如图,在平面直角坐标系中,正六边形$ABCDEF$的中心与坐标原点$O$重合,顶点$C$,$F$在$x$轴上,若边长$AF = 3$,则点$A$的坐标为
(3/2, 3√3/2)
.答案
(3/2, 3√3/2)
解析
连接OA、OF，正六边形中心角为360°÷6=60°，故∠AOF=60°。因中心O为原点，F在x轴上，设F(3,0)，则OF=OA=3（正六边形半径等于边长）。OA与x轴正方向夹角为60°，点A坐标：x=OA·cos60°=3×1/2=3/2，y=OA·sin60°=3×√3/2=3√3/2。
8. (2025 湖南)图 1 为传统建筑中的一种窗格,图 2 为其窗框的示意图,多边形$ABCDEFGH$为正八边形,连接$AC$,$BD$,$AC$与$BD$交于点$M$,$\angle AMB =$
45
$^{\circ}$.答案
45
解析
正八边形内角和为$(8-2)×180°=1080°$，每个内角为$1080°÷8=135°$。在$\triangle ABC$中，$AB=BC$（正八边形边长相等），$\angle ABC=135°$，则$\angle BAC=(180°-135°)÷2=22.5°$。同理，在$\triangle BCD$中，$BC=CD$，$\angle BCD=135°$，则$\angle CBD=(180°-135°)÷2=22.5°$。$\angle ABD=\angle ABC-\angle CBD=135°-22.5°=112.5°$。在$\triangle AMB$中，$\angle AMB=180°-\angle MAB-\angle MBA=180°-22.5°-112.5°=45°$。
