1. 【结合勾股定理列方程】如图，在 $ \mathrm{Rt} \triangle ABC $ 中，$ \angle C = 90^{\circ} $，$ AC = 8 $，$ BC = 6 $，$ D $ 为 $ AC $ 上一点，若 $ BD $ 是 $ \triangle ABC $ 的角平分线，则 $ AD $ 的长为 。

5

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AC=8$，$BC=6$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$。设$AD=x$，则$DC=AC-AD=8-x$。过$D$作$DE⊥ AB$于$E$，由角平分线性质得$DE=DC=8-x$。易证$Rt\triangle BDE\cong Rt\triangle BDC(HL)$，故$BE=BC=6$，则$AE=AB-BE=10-6=4$。在$Rt\triangle ADE$中，由勾股定理得$AE^{2}+DE^{2}=AD^{2}$，即$4^{2}+(8-x)^{2}=x^{2}$，解得$x=5$，即$AD=5$。

2. 【全等三角形】如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ BC ＞ AB $，$ DE ⊥ BC $ 于点 $ E $，$ AD = DC $，$ BD $ 平分 $ \angle ABC $，求证：$ \angle BAD + \angle C = 180^{\circ} $。

∠BAD + ∠C = 180°

过点D作DF⊥BA交BA的延长线于点F。
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥BA，∴DF=DE（角平分线性质）。
在Rt△DFB和Rt△DEB中，$\left\{\begin{array}{l} BD=BD\\ DF=DE\end{array}\right.$，∴Rt△DFB≌Rt△DEB（HL）。
在Rt△DFA和Rt△DEC中，$\left\{\begin{array}{l} AD=DC\\ DF=DE\end{array}\right.$，∴Rt△DFA≌Rt△DEC（HL），∴∠DAF=∠C。
∵∠DAF+∠BAD=180°（平角定义），∴∠BAD+∠C=180°。

3. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ AC $ 平分 $ \angle BAD $。
(1) 【结合外角的性质】若 $ \angle B = \dfrac{1}{2} \angle D $，$ AD = 3 $，$ CD = 2 $，则 $ AB $ 的长为 ；
(2) 【等边三角形 + 勾股定理】若 $ BC = CD = 2 $，$ AB = 5 $，$ AD = 3 $，则 $ AC $ 的长为 。

5；√19

(1)在AB上截取AE=AD=3，∵AC平分∠BAD，∴∠EAC=∠DAC，又AC=AC，∴△AEC≌△ADC(SAS)，∴CE=CD=2，∠AEC=∠D。设∠B=β，则∠D=2β，∴∠AEC=2β。∵∠AEC是△BEC的外角，∴∠AEC=∠B+∠BCE，即2β=β+∠BCE，∴∠BCE=β=∠B，∴BE=CE=2，∴AB=AE+BE=3+2=5。
(2)在AB上截取AF=AD=3，连接CF，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC=∠DAC，又AC=AC，∴△AFC≌△ADC(SAS)，∴CF=CD=2。∵AB=5，∴FB=AB-AF=2，又BC=2，∴CF=BC=FB=2，∴△CFB是等边三角形，∠CFB=60°，∴∠AFC=120°。过C作CH⊥AF延长线于H，∠CFH=60°，在Rt△CHF中，CF=2，∴FH=1，CH=√3，∴AH=AF+FH=4，在Rt△AHC中，AC²=AH²+CH²=4²+(√3)²=19，∴AC=√19。