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9. 已知$ 2^{m}=3,2^{n}=5 $.
求:(1)$ 2^{3 m+2 n} $的值;
(2)$ 2^{2 m}-2^{3 n} $的值.
求:(1)$ 2^{3 m+2 n} $的值;
(2)$ 2^{2 m}-2^{3 n} $的值.
答案
9. 解: (1) 原式 $ = 2 ^ { 3 m } · 2 ^ { 2 n } = ( 2 ^ { m } ) ^ { 3 } · ( 2 ^ { n } ) ^ { 2 } = 3 ^ { 3 } × 5 ^ { 2 } = 2 7 × 2 5 = 6 7 5 $.
(2) 原式 $ = ( 2 ^ { m } ) ^ { 2 } - ( 2 ^ { n } ) ^ { 3 } = 3 ^ { 2 } - 5 ^ { 3 } = 9 - 1 2 5 = - 1 1 6 $.
(2) 原式 $ = ( 2 ^ { m } ) ^ { 2 } - ( 2 ^ { n } ) ^ { 3 } = 3 ^ { 2 } - 5 ^ { 3 } = 9 - 1 2 5 = - 1 1 6 $.
10. 若$ 2 × 8^{n} × 16^{n}=2^{22} $,则$ n $的值为 (
A.4
B.3
C.2
D.1
B
)A.4
B.3
C.2
D.1
答案
10. B
解析
$2×8^{n}×16^{n}=2×(2^{3})^{n}×(2^{4})^{n}=2×2^{3n}×2^{4n}=2^{1+3n+4n}=2^{1+7n}$，
因为$2×8^{n}×16^{n}=2^{22}$，所以$2^{1+7n}=2^{22}$，
则$1+7n=22$，
$7n=21$，
$n=3$。
B
因为$2×8^{n}×16^{n}=2^{22}$，所以$2^{1+7n}=2^{22}$，
则$1+7n=22$，
$7n=21$，
$n=3$。
B
11. (1)已知$ 4^{x}=2^{x+3} $,则$ x= $
(2)若$ x=2^{m}, y=1+4^{m} $,用含$ x $的代数式表示$ y $为
(3)若$ a^{3 n}=3, b^{2 n}=2 $,则$ a^{6 n} · b^{4 n}= $
(4)(2024·徐州期中)如果$ 2^{m}=3,2^{n}=2 $,那么$ 2^{m+2 n}= $
3
;已知$ (9^{n})^{2}=3^{20} $,则$ n $的值为5
;(2)若$ x=2^{m}, y=1+4^{m} $,用含$ x $的代数式表示$ y $为
$ y = 1 + x ^ { 2 } $
;(3)若$ a^{3 n}=3, b^{2 n}=2 $,则$ a^{6 n} · b^{4 n}= $
36
;(4)(2024·徐州期中)如果$ 2^{m}=3,2^{n}=2 $,那么$ 2^{m+2 n}= $
12
.答案
11. (1) 3 5 (2) $ y = 1 + x ^ { 2 } $ (3) 36 (4) 12
12. 已知$ n $为正整数,且$ x^{2 n}=3 $,求下列各式的值:
(1)$ x^{n-3} · x^{3(n+1)} $;
(2)$ 5(x^{3 n})^{2}-2(-x^{2})^{2 n} $.
(1)$ x^{n-3} · x^{3(n+1)} $;
(2)$ 5(x^{3 n})^{2}-2(-x^{2})^{2 n} $.
答案
12. 解: (1) 因为 $ n $ 为正整数, 且 $ x ^ { 2 n } = 3 $,
所以原式 $ = x ^ { n - 3 + 3 n + 3 } = x ^ { 4 n } = ( x ^ { 2 n } ) ^ { 2 } = 3 ^ { 2 } = 9 $.
(2) 原式 $ = 5 x ^ { 6 n } - 2 x ^ { 4 n } = 5 ( x ^ { 2 n } ) ^ { 3 } - 2 ( x ^ { 2 n } ) ^ { 2 } = 5 × 3 ^ { 3 } - 2 × 3 ^ { 2 } = 1 1 7 $.
所以原式 $ = x ^ { n - 3 + 3 n + 3 } = x ^ { 4 n } = ( x ^ { 2 n } ) ^ { 2 } = 3 ^ { 2 } = 9 $.
(2) 原式 $ = 5 x ^ { 6 n } - 2 x ^ { 4 n } = 5 ( x ^ { 2 n } ) ^ { 3 } - 2 ( x ^ { 2 n } ) ^ { 2 } = 5 × 3 ^ { 3 } - 2 × 3 ^ { 2 } = 1 1 7 $.
13. (1)已知$ 9^{n+1}-3^{2 n}=72 $,求$ n $的值;
(2)已知$ 27^{2}=a^{6}=9^{b} $,求$ b-a $的值.
(2)已知$ 27^{2}=a^{6}=9^{b} $,求$ b-a $的值.
答案
13. 解: (1) 因为 $ 9 ^ { n + 1 } - 3 ^ { 2 n } = 9 ^ { n + 1 } - 9 ^ { n } = 9 ^ { n } × ( 9 - 1 ) = 9 ^ { n } × 8 $, $ 7 2 = 9 × 8 $,
所以 $ 9 ^ { n } × 8 = 9 × 8 $, 即 $ 9 ^ { n } = 9 $, 解得 $ n = 1 $.
(2) 因为 $ 2 7 ^ { 2 } = a ^ { 6 } = 9 ^ { b } $,
所以 $ 2 7 ^ { 2 } = ( 3 ^ { 3 } ) ^ { 2 } = 3 ^ { 6 } = a ^ { 6 } = ( 3 ^ { 2 } ) ^ { b } = 3 ^ { 2 b } $,
所以 $ a = \pm 3 $, $ 2 b = 6 $, 所以 $ b = 3 $.
当 $ a = 3 $, $ b = 3 $ 时, $ b - a = 3 - 3 = 0 $;
当 $ a = - 3 $, $ b = 3 $ 时, $ b - a = 3 - ( - 3 ) = 6 $.
综上可知, $ b - a $ 的值为 0 或 6.
所以 $ 9 ^ { n } × 8 = 9 × 8 $, 即 $ 9 ^ { n } = 9 $, 解得 $ n = 1 $.
(2) 因为 $ 2 7 ^ { 2 } = a ^ { 6 } = 9 ^ { b } $,
所以 $ 2 7 ^ { 2 } = ( 3 ^ { 3 } ) ^ { 2 } = 3 ^ { 6 } = a ^ { 6 } = ( 3 ^ { 2 } ) ^ { b } = 3 ^ { 2 b } $,
所以 $ a = \pm 3 $, $ 2 b = 6 $, 所以 $ b = 3 $.
当 $ a = 3 $, $ b = 3 $ 时, $ b - a = 3 - 3 = 0 $;
当 $ a = - 3 $, $ b = 3 $ 时, $ b - a = 3 - ( - 3 ) = 6 $.
综上可知, $ b - a $ 的值为 0 或 6.
14. 阅读下列材料:
若$ a^{3}=2, b^{5}=3 $,比较$ a, b $的大小关系.
解:因为$ a^{15}=(a^{3})^{5}=2^{5}=32, b^{15}=(b^{5})^{3}=3^{3}=27,32＞27 $,所以$ a^{15}＞b^{15} $,所以$ a＞b $.
解答下列问题:
(1)在上述求解过程中,逆用了幂的哪条运算性质:
(2)已知$ x^{5}=2, y^{7}=3 $,比较$ x, y $的大小关系.
若$ a^{3}=2, b^{5}=3 $,比较$ a, b $的大小关系.
解:因为$ a^{15}=(a^{3})^{5}=2^{5}=32, b^{15}=(b^{5})^{3}=3^{3}=27,32＞27 $,所以$ a^{15}＞b^{15} $,所以$ a＞b $.
解答下列问题:
(1)在上述求解过程中,逆用了幂的哪条运算性质:
幂的乘方
;(2)已知$ x^{5}=2, y^{7}=3 $,比较$ x, y $的大小关系.
答案
14. (1) 幂的乘方
(2) 解: 因为 $ x ^ { 3 5 } = ( x ^ { 5 } ) ^ { 7 } = 2 ^ { 7 } = 1 2 8 $, $ y ^ { 3 5 } = ( y ^ { 7 } ) ^ { 5 } = 3 ^ { 5 } = 2 4 3 $, 而 $ 1 2 8 ＜ 2 4 3 $, 所以 $ x ^ { 3 5 } ＜ y ^ { 3 5 } $, 所以 $ x ＜ y $.
(2) 解: 因为 $ x ^ { 3 5 } = ( x ^ { 5 } ) ^ { 7 } = 2 ^ { 7 } = 1 2 8 $, $ y ^ { 3 5 } = ( y ^ { 7 } ) ^ { 5 } = 3 ^ { 5 } = 2 4 3 $, 而 $ 1 2 8 ＜ 2 4 3 $, 所以 $ x ^ { 3 5 } ＜ y ^ { 3 5 } $, 所以 $ x ＜ y $.
