1. 如图是一盏可调节台灯的示意图,固定支撑杆$AO$垂直底座$MN$于点$O$,$AB$与$BC$是分别可以绕点$A$和点$B$旋转的调节杆,台灯灯罩可绕点$C$旋转调节光线角度,在调节过程中,最外侧光线$CD$,$CE$组成的$∠DCE$始终保持不变。现调节台灯,使外侧光线$CD// MN$,$CE// BA$。若$∠DCE=67°$,则$∠BAO=$

157

$°$。

157 .【解析】如图,延长CE交MN于点L,延长BA交MN于点K。因为CD//MN,∠DCE=67°,所以∠KLC=∠DCE=67°。又因为CE//BA,所以∠AKO=∠KLC=67°。因为AO⊥MN,所以∠AOK=90°,所以∠OAK=180°-90°-67°=23°,所以∠BAO=180°-23°=157°。

【分析】
要解决这个问题，需通过添加辅助线，利用平行线的性质、垂线的定义和三角形内角和定理转化角的关系。先延长CE、BA分别交MN于L、K，将已知平行关系转化为角的等量关系，再结合AO垂直MN的条件逐步计算所求角。
【解析】
解：如图，延长CE交MN于点L，延长BA交MN于点K。
1. 因为CD//MN，根据“两直线平行，同位角相等”，得∠KLC = ∠DCE = 67°；
2. 又因为CE//BA，同理“两直线平行，同位角相等”，得∠AKO = ∠KLC = 67°；
3. 已知AO⊥MN，根据垂线定义，∠AOK = 90°；
4. 在△AOK中，由三角形内角和为180°，得∠OAK = 180° - 90° - 67° = 23°；
5. 因为∠BAO与∠OAK组成平角，所以∠BAO = 180° - 23° = 157°。
【答案】
157
【知识点】
平行线的性质、垂线的定义、三角形内角和定理
【点评】
本题结合实际台灯场景考查几何角的计算，核心是利用平行线性质转化角，需掌握辅助线构造方法，将分散角集中到可计算的三角形中，是典型的几何应用基础题。
【难度系数】
0.5

2. (2024·杭州市滨江区期末)如图，$AB// CD$，点$E,P,F$分别在$AB,AC,CD$上，联结$EP,PF$，且满足$EP⊥ PF$。
(1)若$∠ A=126°$，求$∠ ACF$的度数。
(2)若$∠ AEP=m°,∠ PFD=n°$，探索$m,n$之间的数量关系，并说明理由。

(1)解:因为AB//CD,所以∠A+∠ACF=180°。因为∠A=126°,所以∠ACF=54°。
(2)解:n−m=90。理由如下:如图,延长EP交DC的延长线于点K。因为AB//CD,所以∠PKC=∠AEP=m°。因为EP⊥PF,所以∠FPK=90°。因为∠PFK+∠FPK+∠PKF=180°,∠PFK+∠PFD=180°,所以∠FPK+∠PKF=∠PFD,所以∠FPK+∠AEP=∠PFD,即90°+m°=n°,所以n−m=90。

【分析】
第(1)问：已知AB//CD，根据平行线的性质，同旁内角互补，∠A与∠ACF是同旁内角，可直接利用该性质计算∠ACF的度数。
第(2)问：要探索∠AEP=m°与∠PFD=n°的数量关系，需添加辅助线延长EP交DC的延长线于点K，利用AB//CD得到内错角∠PKC=∠AEP，再结合EP⊥PF得到∠FPK=90°，最后通过角的和差关系推导m与n的关系。
【解析】
(1) 因为AB//CD，根据“两直线平行，同旁内角互补”，所以∠A + ∠ACF = 180°。
已知∠A=126°，代入得∠ACF = 180° - 126° = 54°。
(2) 数量关系为n - m = 90，理由如下：
如图，延长EP交DC的延长线于点K。
因为AB//CD，根据“两直线平行，内错角相等”，所以∠PKC = ∠AEP = m°。
因为EP⊥PF，根据垂直的定义，所以∠FPK = 90°。
在△PFK中，根据三角形内角和为180°，可得∠PFK + ∠FPK + ∠PKF = 180°；又因为∠PFK + ∠PFD = 180°（平角的定义），所以∠FPK + ∠PKF = ∠PFD。
将∠FPK=90°，∠PKF=m°代入，得90° + m° = n°，即n - m = 90。
【答案】
(1) 54°；(2) n−m=90
【知识点】
平行线的性质、垂直的定义、三角形内角和
【点评】
本题考查平行线性质的应用，第(1)问直接利用同旁内角互补求解，难度较低；第(2)问需添加辅助线构造内错角，结合角的和差推导数量关系，辅助线的添加是解题关键，整体难度中等。
【难度系数】
0.5