1[中]已知线段AB，画出它的中点C，再画出BC的中点D，再画出AD的中点E，再画出AE的中点F，那么AF等于AB的（）

A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{3}{8}$
C.$\frac{1}{8}$
D.$\frac{3}{16}$

1.D 【解析】如图,结合题意可知,$AF=\frac{1}{2}AE=\frac{1}{4}AD$,$AD=AB-BD=AB-\frac{1}{2}BC=AB-\frac{1}{4}AB=\frac{3}{4}AB$,所以 $AF=\frac{1}{4}AD=\frac{1}{4}×\frac{3}{4}AB=\frac{3}{16}AB$. 故选 D.

2[2026江苏南通期末,中]如图,平面上有四个点A,B,C,D,根据下列语句画图.
(1)画线段AB;
(2)连接CD,并反向延长CD至E,使DE=2CD;
(3)在平面内找到一点F,使F到A,B,C,D四点的距离之和FA+FB+FC+FD最小.

2.【解】(1)如图所示,线段 AB 即为所求.
(2)如图所示,DE 即为所求.
(3)如图所示,F 点即为所求.

3 方程思想 [2025浙江温州期末,中]已知点B在线段AC上,点D在线段AB上.

(1)如图(1),若AB=6 cm,BC=4 cm,D为线段AC的中点,求线段DB的长度;
(2)如图(2),若BD=$\frac{1}{4}AB=\frac{1}{3}CD$,E为线段AB的中点,EC=8 cm,求线段AC的长度.

3.【解】(1)因为 $AB=6\ \mathrm{cm},BC=4\ \mathrm{cm}$,所以 $AC=AB+BC=6+4=10(\mathrm{cm})$. 又因为 D 为线段 AC 的中点,所以 $DC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5(\mathrm{cm})$,所以 $DB=DC-BC=5-4=1(\mathrm{cm})$.
(2)因为 $BD=\frac{1}{4}AB=\frac{1}{3}CD$,所以设 $BD=x\ \mathrm{cm}$,则 $AB=4BD=4x\ \mathrm{cm},CD=3BD=3x\ \mathrm{cm}$,所以 $BC=DC-DB=3x-x=2x(\mathrm{cm})$,所以 $AC=AB+BC=4x+2x=6x(\mathrm{cm})$. 因为 E 为线段 AB 的中点,所以 $BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4x=2x(\mathrm{cm})$,所以 $EC=BE+BC=2x+2x=4x(\mathrm{cm})$. 又因为 $EC=8\ \mathrm{cm}$,所以 $4x=8$,解得 $x=2$,所以 $AC=6×2=12(\mathrm{cm})$.

4 分类讨论思想 [2025 江苏南京期末,中]如图,已知线段$AB=4$,延长AB到点C,使得$AB=2BC$,反向延长AB到点D,使$AC=2AD$.
(1)求线段CD的长;
(2)若Q为AB的中点,P为线段CD上一点,且$BP=\frac{1}{2}BC$,请画出示意图并求出PQ的长.

4.【解】(1)因为 $AB=4,AB=2BC$,所以 $BC=\frac{1}{2}AB=2$,所以 $AC=AB+BC=4+2=6$. 又因为 $AC=2AD$,所以 $AD=\frac{1}{2}AC=3$,所以 $CD=AD+AC=3+6=9$,故线段 CD 的长为 9.
(2)因为 Q 为 AB 的中点,所以 $BQ=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$.
因为 $BP=\frac{1}{2}BC,BC=\frac{1}{2}AB=2$,所以 $BP=\frac{1}{2}×2=1$. 由题意分以下两种情况:
①如图(1),当点 P 在点 B 左侧时,$PQ=BQ-BP=2-1=1$;

②如图(2),当点 P 在点 B 右侧时,$PQ=BQ+BP=2+1=3$.

综上,线段 PQ 的长为 1 或 3.

5 思想方法 分类讨论 [较难]如图，M是定长线段AB上一定点，C，D两点分别从M，B同时出发，分别以1 cm/s，3 cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）。
(1)若AB=10 cm，当点C，D运动了2 s时，求AC+MD的值。
(2)若点C，D运动时，总有MD=3AC，直接填空：AM=AB。
(3)在(2)的条件下，N是直线AB上一点，且AN-BN=MN，求$\frac{MN}{AB}$的值。

5.【解】(1)当点 C,D 运动了 2 s 时,$CM=2\ \mathrm{cm},BD=6\ \mathrm{cm}$.
又因为 $AB=10\ \mathrm{cm}$,所以 $AC+MD=AB-CM-BD=10-2-6=2(\mathrm{cm})$.
(2)$\frac{1}{4}$ 【解析】设运动时间为 $t\ \mathrm{s}$,则 $CM=t\ \mathrm{cm},BD=3t\ \mathrm{cm}$. 因为 $AC=AM-t,MD=BM-3t,MD=3AC$,所以 $BM-3t=3(AM-t )$,即 $BM=3AM$. 因为 $BM=AB-AM$,所以 $AB-AM=3AM$,所以 $AM=\frac{1}{4}AB$.
(3)①当点 N 在线段 AB 上时,如图(1).

因为 $AN-BN=MN,AN-AM=MN$,所以 $BN=AM=\frac{1}{4}AB$,所以 $MN=\frac{1}{2}AB$,即 $\frac{MN}{AB}=\frac{1}{2}$.
②当点 N 在线段 AB 的延长线上时,如图(2).

因为 $AN-BN=MN,AN-BN=AB$,所以 $MN=AB$,即 $\frac{MN}{AB}=1$.
综上所述,$\frac{MN}{AB}$ 的值为 $\frac{1}{2}$ 或 1.