数学天地三
数据观念在“三数”(平均数、中位数和众数)中的应用
数据观念主要是指对数据的意义和随机性有比较清晰的认识.知道数据蕴含着信息,需要根据问题的背景和所要研究的问题确定数据收集、整理和分析的方法;知道可以用定量的方法描述随机现象的变化趋势及随机事件发生的可能性大小.形成数据观念有助于理解和表达生活中随机现象发生的规律,感知大数据时代数据分析的重要性,养成重证据、讲道德的科学态度.
某校举办校园唱红歌比赛,选出10名同学担任评委,并事先拟定从如下四种方案中选择合理方案来确定演唱者的最后得分(满分为10分).
方案1:所有评委所给分的平均分;
方案2:在所有评委所给分中,去掉一个最高分和一个最低分,再计算其余给分的平均分;
方案3:所有评委所给分的中位数;
方案4:所有评委所给分的众数.
为了探究上述方案的合理性,先对某名同学的演唱成绩进行了统计试验,如图是这名同学的得分统计图.

55
【提出问题】
(1)按上述四种方案计算这名同学演唱的最后得分.
(2)根据(1)中的结果,请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这名同学演唱的最后得分.
【探究问题】
紧扣“三数”各自的特点进行计算并分析数据作决策.
(1)方案1最后得分:$\frac{1}{10} × (3.2+7.0+7.8+3×8+3×8.4+9.8)=7.7$(分);
方案2最后得分:$\frac{1}{8} × (7.0+7.8+3×8+3×8.4)=8$(分);
方案3最后得分:8分;
方案4最后得分:8分或8.4分.
(2)因为方案1中的平均数受极端值的影响,
所以方案1不适合作为最后得分的方案.
因为方案4中的众数有两个,众数失去了实际意义,
所以方案4不适合作为最后得分的方案.
【方法归纳】
解决统计问题时,要读懂统计图的横、纵坐标所表示的实际意义;区分加权平均数和算术平均数;计算中位数时要排序;众数有时不止一个;利用“三数”反映“一般水平”时,除了看是否受极端值的影响,还要考虑实际意义.
56

解：
(1) 方案1最后得分：
$\frac{1}{10} × (3.2+7.0+7.8+3×8.0+3×8.4+9.8)=7.7$（分）
方案2最后得分：
去掉一个最高分9.8和一个最低分3.2，剩余8个得分的平均分为$\frac{1}{8} × (7.0+7.8+3×8.0+3×8.4)=8$（分）
方案3最后得分：
将10个得分从小到大排序为：3.2，7.0，7.8，8.0，8.0，8.0，8.4，8.4，8.4，9.8，取第5、6个数据的平均数，得中位数为8分。
方案4最后得分：
得分8.0和8.4均出现3次，出现次数最多，因此众数为8分或8.4分。
(2) 方案1中的平均数受极端低分3.2的影响，不能合理反映这名同学的实际演唱水平，因此方案1不适合作为这名同学演唱的最后得分。
方案4的众数有两个，无法得到唯一的最终得分，在该比赛评分场景下失去了实际判定意义，因此方案4不适合作为这名同学演唱的最后得分。