20. (8分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点A作BC的垂线,垂足为E,延长BC到点F,使$CF=BE$,连接DF.
(1)求证:四边形AEFD是矩形;
(2)连接OE,若$AD=25$,$OE=5$,求AE的长.

20. 【点拨】本题考查矩形的判定,勾股定理及菱形的性质,掌握矩形的判定是解题的关键.
【解析】(1)证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形,
$\therefore AD // BC,AD = BC$.
$\because BE = CF, \therefore BE + EC = CF + EC$,
即 $BC = EF, \therefore AD = EF$.
$\because AD // EF, \therefore$ 四边形 $AEFD$ 是平行四边形.
$\because AE ⊥ BC, \therefore ∠AEF = 90°, \therefore$ 四边形 $AEFD$ 是矩形.
(2)$\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形,
$\therefore AC ⊥ BD,AO = CO,AB = BC = AD = 25$.
$\because AE ⊥ BC, \therefore ∠AEB = ∠AEC = 90°, \therefore AC = 2OE = 10$.
$\because AB^2 - BE^2 = AE^2 = AC^2 - CE^2$,
$\therefore 25^2 - BE^2 = 10^2 - (25 - BE)^2$,
$\therefore BE = 23, \therefore AE = \sqrt{AB^2 - BE^2} = \sqrt{25^2 - 23^2} =4\sqrt{6}$.

【分析】
要证明四边形AEFD是矩形，需先证它是平行四边形，再证有一个内角为直角。利用菱形对边平行且相等的性质，结合BE=CF可推出AD与EF平行且相等，得到平行四边形；再由AE⊥BC得直角，即可证矩形。求AE的长时，利用菱形对角线互相垂直平分，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半得AC=2OE，再通过勾股定理建立方程求解BE，进而算出AE。
【解析】
(1)证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，AD=BC。
∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，
∴AD=EF。
又
∵AD//EF，
∴四边形AEFD是平行四边形。
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°，
∴四边形AEFD是矩形。
(2)解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，AB=BC=AD=25。
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，在Rt△AEC中，O是AC中点，
∴AC=2OE=2×5=10。
设BE=x，则CE=BC - BE=25 - x，
由勾股定理得：AB² - BE² = AE²，AC² - CE² = AE²，
∴25² - x² = 10² - (25 - x)²，
展开得：625 - x² = 100 - (625 - 50x + x²)，
化简得：625 = -525 + 50x，
解得x=23，
∴AE=√(25² - 23²)=√(625 - 529)=√96=4√6。
【答案】
(1)证明见解析；(2)AE的长为4√6。
【知识点】
菱形的性质，矩形的判定，勾股定理
【点评】
本题综合考查菱形、矩形的性质与判定，以及勾股定理的应用，解题关键是熟练运用几何图形的性质，通过等量关系建立方程求解，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5

21. (8分)如图是由小正方形组成的$9 × 6$的网格,每个小正方形的顶点叫格点,$△ ABC$的三个顶点都是格点,$P$为$△ ABC$内一点.仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图,画图过程用虚线表示.

(1)在图1中,画格点$D$,连接$AD,CD$,使得四边形$ABCD$为平行四边形,并在边$CD$上画点$Q$,使直线$PQ$平分四边形$ABCD$的面积;
(2)在(1)的条件下,在图2中,画$△ ABC$的角平分线$BE$,再画点$D$关于直线$BE$的对称点$F$.

21. 【点拨】本题考查格点作图,平行四边形的性质,菱形的性质.
【解析】(1)如图1,线段 $AD,CD$,直线 $PQ$ 即为所求.
(2)如图2,线段 $BE$ 和点 $F$ 即为所求.

【分析】
本题为网格中的作图题，需结合平行四边形的性质、中心对称、角平分线的性质、轴对称的性质完成操作。
(1) 画平行四边形ABCD时，利用平行四边形对边平行且相等，通过网格格点确定点D；平行四边形是中心对称图形，过其对角线交点（对称中心）的直线平分面积，因此连接点P与对称中心，交CD于Q，即可得到平分面积的直线PQ。
(2) 画△ABC的角平分线BE，需结合角平分线性质，利用网格格点确定AC上的点E；再根据轴对称的性质，作点D关于BE的对称点F，即BE为DF的垂直平分线，通过网格格点找到对应位置的F。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 取格点D，使AD与BC平行且相等，连接AD、CD，得到平行四边形ABCD；
② 连接平行四边形ABCD的对角线AC、BD，交于点O（对称中心）；
③ 过点P、O作直线，交CD于点Q，直线PQ即为平分四边形ABCD面积的直线。
(2) 作图步骤：
① 根据角平分线的性质，结合网格格点，在AC上确定点E，连接BE，即为△ABC的角平分线；
② 作点D关于直线BE的对称点F，使BE垂直平分线段DF，点F即为所求。
【答案】
(1) 线段AD、CD，直线PQ；(2) 线段BE，点F（作图见参考答案对应图）
【知识点】
格点作图、平行四边形性质、轴对称性质
【点评】
本题考查格点作图的基本方法，核心是利用网格的平行、垂直关系，结合几何图形的性质确定格点位置，需熟练掌握平行四边形的中心对称性、角平分线的性质、轴对称的性质，是初中几何作图的典型题型。
【难度系数】
0.4

22. (10分)王老板经营甲、乙两个服装店铺,每个店铺各在同一段时间内都能售出A,B两种款式的服装合计30件,甲店售1件A款和2件B款可获利110元,售2件A款和1件B款可获利1000元,乙店每售出1件A款获利27元,1件B款获利36元.
(1)甲店售出1件A款和1件B款分别获利多少元?
(2)某日,王老板进了A款式的服装35件,B款式的服装25件,如果分配给甲店A款式的服装x件:
①求王老板获取的总利润w(元)与x(件)之间的函数关系式,并写出x的取值范围;
②由于甲、乙两个店铺所处的地段原因,王老板想在保证乙店利润不小于950元的前提下,使得自己获取的总利润最大,请你帮王老板设计一种最佳分配方案,并求最大的总利润是多少.

22. 【点拨】本题考查一次函数的应用,二元一次方程组的应用,一元一次不等式的应用,明确题意,掌握一次函数的性质是解题的关键.
【解析】(1)设甲店售出 1 件 A 款获利 $a$ 元,1 件 B 款获利 $b$ 元. 由题意,得 $\begin{cases} a + 2b = 110, \\ 2a + b = 100, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a = 30, \\ b = 40, \end{cases}$
答:甲店售出 1 件 A 款获利 30 元,1 件 B 款获利 40 元.
(2)①由题意,得 $w = 30x + 40(30 - x) + 27(35 - x) + 36[25 - (30 - x)] = -x + 1965$.
$\because x ≤ 30,35 - x ≤ 30, \therefore 5 ≤ x ≤ 30$,
$\therefore$ 王老板获取的总利润 $w$(元)与 $x$(件)之间的函数关系式是 $w = -x + 1965(5 ≤ x ≤ 30)$.
②$\because$ 王老板想保证乙店利润不小于 950 元,
$\therefore 27(35 - x) + 36[25 - (30 - x)] ≥ 950$,解得 $x ≥ 20\dfrac{5}{9}$.
$\because w = -x + 1965, \therefore w$ 随 $x$ 的增大而减小,
$\therefore$ 当 $x = 21$ 时,$w$ 取得最大值,此时 $w = 1944,30 - x = 9,35 - x = 14,25 - (30 - x) = 16$.
答:最佳分配方案是在甲店出售 A 款式的服装 21 件,B 款式的服装 9 件,在乙店出售 A 款式的服装 14 件,B 款式的服装16件,最大的总利润是 1 944 元.

【分析】
1. 第(1)问：需根据甲店两种销售组合的获利情况，设甲店A、B款单件获利为未知数，建立二元一次方程组求解，核心是找到两个等量关系。
2. 第(2)问①：先确定各店铺分配的A、B款数量，甲店A款为x件时，甲店B款、乙店A款、乙店B款可通过总数量关系表示，再结合单件获利计算总利润，化简得函数关系式，同时根据各款数量非负确定x的取值范围。
3. 第(2)问②：根据乙店利润不小于950元的条件列不等式，解出x的范围，再结合总利润函数的增减性（一次函数k＜0时，函数随x增大而减小），确定x取最小整数时总利润最大，进而得出分配方案和最大利润。
【解析】
(1) 设甲店售出1件A款获利$a$元，1件B款获利$b$元，根据题意列方程组：
$\begin{cases} a + 2b = 110 \\ 2a + b = 100 \end{cases}$
解得：$\begin{cases} a = 30 \\ b = 40 \end{cases}$
答：甲店售出1件A款获利30元，1件B款获利40元。
(2) ① 分配给甲店A款式服装$x$件，则：
甲店B款式服装：$(30 - x)$件；
乙店A款式服装：$(35 - x)$件；
乙店B款式服装：$25 - (30 - x) = (x - 5)$件；
总利润$w = 30x + 40(30 - x) + 27(35 - x) + 36(x - 5)$
化简得：$w = -x + 1965$；
根据各款数量非负，得$\begin{cases} 35 - x ≥ 0 \\ x - 5 ≥ 0 \\ 30 - x ≥ 0 \end{cases}$，解得$5 ≤ x ≤ 30$；
故函数关系式为$w = -x + 1965$（$5 ≤ x ≤ 30$）。
② 乙店利润不小于950元，列不等式：
$27(35 - x) + 36(x - 5) ≥ 950$
解得：$x ≥ 20\frac{5}{9}$；
因为$w = -x + 1965$中$k=-1＜0$，$w$随$x$增大而减小，故$x$取最小整数21时，$w$最大；
此时：甲店A款21件、B款$30-21=9$件；乙店A款$35-21=14$件、B款$21-5=16$件；
最大利润$w = -21 + 1965 = 1944$元；
答：最佳分配方案为甲店A款21件、B款9件，乙店A款14件、B款16件，最大总利润1944元。
【答案】
(1) 甲店售出1件A款获利30元，1件B款获利40元；
(2) ① $w=-x+1965$，$x$的取值范围是$5≤x≤30$；
② 最佳分配方案：甲店A款21件、B款9件，乙店A款14件、B款16件，最大总利润1944元。
【知识点】
二元一次方程组应用、一次函数应用、一元一次不等式应用
【点评】
本题是综合应用题，需先通过方程组求解单件获利，再建立总利润的一次函数模型，结合不等式确定自变量范围，利用一次函数增减性求最值，考查数学建模与逻辑分析能力，关键是理清各款服装的分配数量关系。
【难度系数】
0.5