1. 实验班原创 如图，动点$P$在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点$(-1,1)$，第2次接着运动到点$(-2,0)$，第3次接着运动到点$(-3,2)$，$···$，按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点$P$的坐标是().


A.$(2\,025,0)$
B.$(-2\,025,1)$
C.$(-2\,025,0)$
D.$(-2\,025,2)$

1.B [解析]根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(-1,1)，第2次接着运动到点(-2,0)，第3次接着运动到点(-3,2)，
∴第4次运动到点(-4,0)，第5次接着运动到点(-5,1)，…，
∴横坐标为运动次数的相反数，
∴经过第2025次运动后，动点P的横坐标为-2025.
∵纵坐标为1,0,2,0，每4次一轮，2025÷4=506……1，
∴经过第2025次运动后，动点P的纵坐标为四个数中的第1个，即为1，
∴经过第2025次运动后，动点P的坐标是(-2025,1). 故选B.

2. (2024·甘南州中考)如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点O出发,按向上,向右,向下,向右的方向不断地移动,每移动一个单位,得到点$A_1(0,1),A_2(1,1),A_3(1,0),A_4(2,0),\dots,$那么点$A_{2020}$的坐标为.

2.(1 010,0) [解析]根据题意可知，$A_1(0,1)$，$A_2(1,1)$，$A_3(1,0)$，$A_4(2,0)$，$A_5(2,1)$，$A_6(3,1)$，$A_7(3,0)$，$A_8(4,0)$，…，可得坐标规律为$A_{4n}(2n,0)$，$A_{4n+1}(2n,1)$，$A_{4n+2}(2n+1,1)$，$A_{4n+3}(2n+1,0)$.
∵2 020=4×505，
∴点$A_{2020}$的坐标为(1 010,0).

3. (2024·绥化中考)如图,已知$A_{1}(1,-\sqrt{3}),A_{2}(3,$$-\sqrt{3}),A_{3}(4,0),A_{4}(6,0),A_{5}(7,\sqrt{3}),A_{6}(9,$$\sqrt{3}),A_{7}(10,0),A_{8}(11,-\sqrt{3}),···$,依此规律,则点$A_{{2024}}$的坐标为.

3.(2 891,-√3) [解析]由题知，点$A_1$的坐标为$(1,-\sqrt{3})$，点$A_2$的坐标为$(3,-\sqrt{3})$，点$A_3$的坐标为$(4,0)$，点$A_4$的坐标为$(6,0)$，点$A_5$的坐标为$(7,\sqrt{3})$，点$A_6$的坐标为$(9,\sqrt{3})$，点$A_7$的坐标为$(10,0)$，点$A_8$的坐标为$(11,-\sqrt{3})$，点$A_9$的坐标为$(13,-\sqrt{3})$，点$A_{10}$的坐标为$(14,0)$，点$A_{11}$的坐标为$(16,0)$，…，由此可见，每隔七个点，点$A_n$的横坐标增加10，且纵坐标按$-\sqrt{3},-\sqrt{3},0,0,\sqrt{3},\sqrt{3},0$循环出现，又因为$2\ 024÷7=289······1$，所以$1+289×10=2\ 891$，则点$A_{2024}$的坐标为$(2\ 891,-\sqrt{3})$.

4. 在同一平面内,若一个点到一条直线的距离不大于1,则称这个点是该直线的“伴侣点”.在平面直角坐标系中,已知点$M(1,0)$,过点$M$作直线$l$平行于$y$轴,点$A(-1,a)$,点$B(b$,$2a)$,点$C(-\dfrac{1}{2},a-1)$,将三角形$ABC$进行平移,平移后点$A$的对应点为点$D$,点$B$的对应点为点$E$,点$C$的对应点为点$F$.
(1)试判断点$A$是否是直线$l$的“伴侣点”?请说明理由.
(2)若点$F$刚好落在直线$l$上,$F$的纵坐标为$a+b$,点$E$落在$x$轴上,且$△ MFD$的面积为$\dfrac{1}{12}$,试判断点$B$是否是直线$l$的“伴侣点”?请说明理由.
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精题详解

4.(1)不是. 理由如下：
∵点A的坐标为$(-1,a)$，
∴点A到直线l的距离为2.
又2＞1，
∴点A不是直线l的“伴侣点”.
(2)点B是直线l的“伴侣点”. 理由如下：
∵$C(-\dfrac{1}{2},a-1)$，$F(1,a+b)$，
∴平移后的对应点横坐标增加了$\dfrac{3}{2}$，纵坐标增加了$b+1$.
∴$D(\dfrac{1}{2},a+b+1)$，$E(b+\dfrac{3}{2},2a+b+1)$.
∵点E落在x轴上，
∴$2a+b+1=0$.
∵$△ MFD$的面积为$\dfrac{1}{12}$，
∴$\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}|a+b|=\dfrac{1}{12}$，
∴$a+b=\pm\dfrac{1}{3}$.
当$a+b=\dfrac{1}{3}$时，解得$a=-\dfrac{4}{3}$，$b=\dfrac{5}{3}$，此时点B的坐标为$(\dfrac{5}{3},-\dfrac{8}{3})$，点B是直线l的“伴侣点”；
当$a+b=-\dfrac{1}{3}$时，解得$a=-\dfrac{2}{3}$，$b=\dfrac{1}{3}$，此时点B的坐标为$(\dfrac{1}{3},-\dfrac{4}{3})$，点B是直线l的“伴侣点”.