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1. (2025·姑苏区期末)三角形内切圆的圆心是（
A.三条高的交点
B.三条中线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三条边的垂直平分线的交点
C
）A.三条高的交点
B.三条中线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三条边的垂直平分线的交点
答案
1. C
解析
【分析】
这道题考察三角形特殊点的定义，解题时首先抓住三角形内切圆的核心性质：内切圆的圆心到三角形三条边的距离都等于内切圆半径，也就是到三边距离相等。接下来我们结合不同线的交点的性质逐一匹配：到角两边距离相等的点在角平分线上，因此要找到同时到三角形三边距离都相等的点，必然是三条角平分线的交点，再逐一排除其余选项对应的特殊点，就能得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：三角形三条高的交点是垂心，不符合内切圆圆心的定义，该选项错误；
2. 选项B：三角形三条中线的交点是重心，是三角形的质量平衡点，该选项错误；
3. 选项C：三角形三条角平分线的交点是内心，角平分线上的任意点到角两边的距离相等，因此该点到三角形三边的距离相等，恰好等于内切圆的半径，就是三角形内切圆的圆心，该选项正确；
4. 选项D：三角形三条边的垂直平分线的交点是外心，是三角形外接圆的圆心，到三个顶点的距离相等，该选项错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心定义，三角形四心辨析
【点评】
本题属于几何基础概念题，核心是区分三角形的垂心、重心、内心、外心四个特殊点的定义和性质，易错点是容易混淆内切圆和外接圆的圆心性质，记忆时可以结合内切圆和三边相切、外接圆过三个顶点的特征辅助区分。
【难度系数】
0.9
这道题考察三角形特殊点的定义，解题时首先抓住三角形内切圆的核心性质：内切圆的圆心到三角形三条边的距离都等于内切圆半径，也就是到三边距离相等。接下来我们结合不同线的交点的性质逐一匹配：到角两边距离相等的点在角平分线上，因此要找到同时到三角形三边距离都相等的点，必然是三条角平分线的交点，再逐一排除其余选项对应的特殊点，就能得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：三角形三条高的交点是垂心，不符合内切圆圆心的定义，该选项错误；
2. 选项B：三角形三条中线的交点是重心，是三角形的质量平衡点，该选项错误；
3. 选项C：三角形三条角平分线的交点是内心，角平分线上的任意点到角两边的距离相等，因此该点到三角形三边的距离相等，恰好等于内切圆的半径，就是三角形内切圆的圆心，该选项正确；
4. 选项D：三角形三条边的垂直平分线的交点是外心，是三角形外接圆的圆心，到三个顶点的距离相等，该选项错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心定义，三角形四心辨析
【点评】
本题属于几何基础概念题，核心是区分三角形的垂心、重心、内心、外心四个特殊点的定义和性质，易错点是容易混淆内切圆和外接圆的圆心性质，记忆时可以结合内切圆和三边相切、外接圆过三个顶点的特征辅助区分。
【难度系数】
0.9
2. 如图,在$△ ABC$中,$AB=8$,$AC=6$,$O$为$△ ABC$的内心,若$△ ABO$的面积为20,则$△ ACO$的面积为（
A.20
B.15
C.18
D.12
B
）A.20
B.15
C.18
D.12
答案
2. B
解析
【分析】
首先看到题目中O是△ABC的内心，首先回忆内心的核心性质：三角形的内心是三个内角角平分线的交点，它到三角形三边的距离完全相等。我们可以分别把AB作为△ABO的底，AC作为△ACO的底，那么两个三角形对应的高就分别是O到AB、O到AC的距离，这两个高是相等的。解题步骤可以分为两步：第一步，利用已知的△ABO的面积和AB的长度，求出这个相等的高的数值；第二步，将求出的高和已知的AC长度代入三角形面积公式，直接计算得到△ACO的面积即可。也可以利用“高相等的两个三角形，面积比等于对应底边长的比”，直接通过AB和AC的长度比快速得到两个三角形的面积比，进而算出结果。
【解析】
解：过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E。
∵O是△ABC的内心，
∴OD=OE（三角形内心到三角形三边的距离相等）。
已知$S_{△ ABO} = \frac{1}{2} × AB × OD = 20$，AB=8，代入得：
$\frac{1}{2} × 8 × OD = 20$
解得OD=5，因此OE=OD=5。
则△ACO的面积为：
$S_{△ ACO} = \frac{1}{2} × AC × OE = \frac{1}{2} × 6 × 5 = 15$。
【答案】
B
【知识点】
三角形内心性质，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形内心性质的基础应用题，解题的关键是跳出常规求边长的思维误区，直接抓住“内心到三边距离相等”这个核心性质，不需要额外计算其他未知量就可以快速求解，也可以通过面积比等于底边长之比的方法更简便得到结果。
【难度系数】
0.7
首先看到题目中O是△ABC的内心，首先回忆内心的核心性质：三角形的内心是三个内角角平分线的交点，它到三角形三边的距离完全相等。我们可以分别把AB作为△ABO的底，AC作为△ACO的底，那么两个三角形对应的高就分别是O到AB、O到AC的距离，这两个高是相等的。解题步骤可以分为两步：第一步，利用已知的△ABO的面积和AB的长度，求出这个相等的高的数值；第二步，将求出的高和已知的AC长度代入三角形面积公式，直接计算得到△ACO的面积即可。也可以利用“高相等的两个三角形，面积比等于对应底边长的比”，直接通过AB和AC的长度比快速得到两个三角形的面积比，进而算出结果。
【解析】
解：过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E。
∵O是△ABC的内心，
∴OD=OE（三角形内心到三角形三边的距离相等）。
已知$S_{△ ABO} = \frac{1}{2} × AB × OD = 20$，AB=8，代入得：
$\frac{1}{2} × 8 × OD = 20$
解得OD=5，因此OE=OD=5。
则△ACO的面积为：
$S_{△ ACO} = \frac{1}{2} × AC × OE = \frac{1}{2} × 6 × 5 = 15$。
【答案】
B
【知识点】
三角形内心性质，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形内心性质的基础应用题，解题的关键是跳出常规求边长的思维误区，直接抓住“内心到三边距离相等”这个核心性质，不需要额外计算其他未知量就可以快速求解，也可以通过面积比等于底边长之比的方法更简便得到结果。
【难度系数】
0.7
3. 如图,$△ ABC$是$\odot O$的内接三角形,$AB$是$\odot O$的直径,$I$是$△ ABC$的内心,则$∠ BIA$的度数是
$135°$
。答案
3. $135°$
解析
【分析】
我们可以按以下思路逐步推导：首先从已知条件“AB是⊙O的直径”入手，回忆直径对应的圆周角的性质，先得到△ABC中∠ACB为90°，由此推出∠CAB与∠CBA的和为90°；接着根据I是△ABC的内心，明确内心是三角形内角平分线的交点，就能得到AI、BI分别平分∠CAB和∠CBA，进而算出∠IAB与∠IBA的和；最后利用三角形内角和定理，直接求出∠BIA的度数即可。
【解析】
1. 由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得：
$∠ ACB = 90°$
在$△ ABC$中，由三角形内角和为$180°$，得：
$∠ CAB + ∠ CBA = 180° - ∠ ACB = 90°$
2. 因为I是$△ ABC$的内心，即三角形三条内角平分线的交点，因此AI平分$∠ CAB$，BI平分$∠ CBA$：
$∠ IAB = \frac{1}{2}∠ CAB$，$∠ IBA = \frac{1}{2}∠ CBA$
代入可得：
$∠ IAB + ∠ IBA = \frac{1}{2}(∠ CAB + ∠ CBA) = \frac{1}{2} × 90° = 45°$
3. 在$△ AIB$中，再次利用三角形内角和为$180°$：
$∠ BIA = 180° - (∠ IAB + ∠ IBA) = 180° - 45° = 135°$
【答案】
$135°$
【知识点】
直径所对圆周角为直角，三角形内心性质，三角形内角和定理
【点评】
本题综合了圆的基础性质和三角形内心的相关考点，解题核心是不需要单独计算两个小角的具体度数，通过整体代换求出两个半角的和，就能快速得到目标角的结果，计算过程简洁清晰。
【难度系数】
0.6
我们可以按以下思路逐步推导：首先从已知条件“AB是⊙O的直径”入手，回忆直径对应的圆周角的性质，先得到△ABC中∠ACB为90°，由此推出∠CAB与∠CBA的和为90°；接着根据I是△ABC的内心，明确内心是三角形内角平分线的交点，就能得到AI、BI分别平分∠CAB和∠CBA，进而算出∠IAB与∠IBA的和；最后利用三角形内角和定理，直接求出∠BIA的度数即可。
【解析】
1. 由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得：
$∠ ACB = 90°$
在$△ ABC$中，由三角形内角和为$180°$，得：
$∠ CAB + ∠ CBA = 180° - ∠ ACB = 90°$
2. 因为I是$△ ABC$的内心，即三角形三条内角平分线的交点，因此AI平分$∠ CAB$，BI平分$∠ CBA$：
$∠ IAB = \frac{1}{2}∠ CAB$，$∠ IBA = \frac{1}{2}∠ CBA$
代入可得：
$∠ IAB + ∠ IBA = \frac{1}{2}(∠ CAB + ∠ CBA) = \frac{1}{2} × 90° = 45°$
3. 在$△ AIB$中，再次利用三角形内角和为$180°$：
$∠ BIA = 180° - (∠ IAB + ∠ IBA) = 180° - 45° = 135°$
【答案】
$135°$
【知识点】
直径所对圆周角为直角，三角形内心性质，三角形内角和定理
【点评】
本题综合了圆的基础性质和三角形内心的相关考点，解题核心是不需要单独计算两个小角的具体度数，通过整体代换求出两个半角的和，就能快速得到目标角的结果，计算过程简洁清晰。
【难度系数】
0.6
4.(2025·崇川区期末)如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，若$∠ A=70^{\circ }$，则$∠ BOC=\_\_\_\_\_\_^{\circ }$.
答案
4. 125
解析
【分析】
拿到题目首先识别条件：⊙O是△ABC的内切圆，首先回忆内切圆的核心性质：内切圆的圆心是三角形三个内角的角平分线的交点，因此BO平分∠ABC，CO平分∠ACB。接下来的思考路径是：1. 先在△ABC中，利用三角形内角和180°，结合已知的∠A=70°，求出∠ABC与∠ACB的和；2. 利用角平分线的性质，得到∠OBC和∠OCB分别是两个底角的一半，进而求出∠OBC+∠OCB的和；3. 最后在△BOC中再次使用三角形内角和定理，即可计算出∠BOC的度数。也可以直接推导得出常用结论：三角形内切圆对应的∠BOC=90°+1/2∠A，直接代入数值快速得到结果。
【解析】
解：
∵ ⊙O是△ABC的内切圆，
∴ BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
即 $∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB = \frac{1}{2}∠ ACB$。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° -70° = 110°$，
因此 $∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2} × 110° = 55°$。
在△BOC中，再次根据三角形内角和为180°：
$∠ BOC = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180° -55° = 125°$。
【答案】
125
【知识点】
三角形内切圆性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于三角形内切圆的基础常考题，核心考点是内切圆圆心为三角形角平分线交点的性质，推导过程中两次使用三角形内角和定理，也可以直接记忆结论“三角形内切圆圆心与两顶点连线的夹角等于90°加第三个内角的一半”，可以大幅提升解题速度，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
拿到题目首先识别条件：⊙O是△ABC的内切圆，首先回忆内切圆的核心性质：内切圆的圆心是三角形三个内角的角平分线的交点，因此BO平分∠ABC，CO平分∠ACB。接下来的思考路径是：1. 先在△ABC中，利用三角形内角和180°，结合已知的∠A=70°，求出∠ABC与∠ACB的和；2. 利用角平分线的性质，得到∠OBC和∠OCB分别是两个底角的一半，进而求出∠OBC+∠OCB的和；3. 最后在△BOC中再次使用三角形内角和定理，即可计算出∠BOC的度数。也可以直接推导得出常用结论：三角形内切圆对应的∠BOC=90°+1/2∠A，直接代入数值快速得到结果。
【解析】
解：
∵ ⊙O是△ABC的内切圆，
∴ BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
即 $∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB = \frac{1}{2}∠ ACB$。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° -70° = 110°$，
因此 $∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2} × 110° = 55°$。
在△BOC中，再次根据三角形内角和为180°：
$∠ BOC = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180° -55° = 125°$。
【答案】
125
【知识点】
三角形内切圆性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于三角形内切圆的基础常考题，核心考点是内切圆圆心为三角形角平分线交点的性质，推导过程中两次使用三角形内角和定理，也可以直接记忆结论“三角形内切圆圆心与两顶点连线的夹角等于90°加第三个内角的一半”，可以大幅提升解题速度，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
5. 如图,点$E$是$△ ABC$的内心,$AE$的延长线与$BC$相交于点$F$,与$△ ABC$的外接圆相交于点$D$,连接$BD$.
求证:(1)$∠ BAD=∠ CBD$;
(2)$DE=DB$.
求证:(1)$∠ BAD=∠ CBD$;
(2)$DE=DB$.
答案
5. 证明:(1)$\because$ 点 $E$ 是 $△ ABC$ 的内心, $\therefore∠ BAD=∠ CAD$.
$\because∠ CAD=∠ CBD,\therefore∠ BAD=∠ CBD$.
(2) 如答图,连接 $BE$.
$\because$ 点 $E$ 是 $△ ABC$ 的内心, $\therefore∠ ABE=∠ EBF$.
$\because∠ BED=∠ BAD+∠ ABE,∠ DBE=∠ EBF+∠ CBD$,且$∠ BAD=∠ CBD$,
$\therefore∠ BED=∠ DBE,\therefore DE=DB$.
解析
【分析】
这道题是圆与三角形内心结合的证明题，我们可以分两小问梳理思路：
1. 要证明∠BAD=∠CBD，首先回忆内心的定义：三角形的内心是三个内角角平分线的交点，所以AE作为从A过内心E的线段，必然平分∠BAC，得到∠BAD=∠CAD；再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，∠CAD和∠CBD都是弧CD所对的圆周角，因此∠CAD=∠CBD，通过等量代换就能得到第一问的结论。
2. 要证明DE=DB，根据等腰三角形“等角对等边”的判定思路，只需要证明∠BED=∠DBE即可。我们连接BE，利用内心的性质可知BE平分∠ABC，即∠ABE=∠FBE；再利用三角形外角的性质，把∠BED拆分为∠BAD+∠ABE，把∠DBE拆分为∠CBD+∠FBE，结合第一问已经证得的∠BAD=∠CBD，就能推出两个角相等，进而得到线段相等。
【解析】
证明：
(1)
∵ 点E是△ABC的内心，
∴ AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD。
又
∵ ∠CAD和∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴ ∠CAD=∠CBD，
通过等量代换可得∠BAD=∠CBD。
(2) 连接BE，
∵ 点E是△ABC的内心，
∴ BE平分∠ABC，即∠ABE=∠EBF。
根据三角形外角的性质：
∠BED是△ABE的外角，因此∠BED=∠BAD+∠ABE；
∠DBE=∠EBF+∠CBD，
由(1)已知∠BAD=∠CBD，结合∠ABE=∠EBF，
可得∠BED=∠DBE，
根据等角对等边，因此DE=DB。
【答案】
证明:(1)$\because$ 点 $E$ 是 $△ ABC$ 的内心, $\therefore∠ BAD=∠ CAD$.
$\because∠ CAD=∠ CBD,\therefore∠ BAD=∠ CBD$.
(2) 连接 $BE$.
$\because$ 点 $E$ 是 $△ ABC$ 的内心, $\therefore∠ ABE=∠ EBF$.
$\because∠ BED=∠ BAD+∠ ABE,∠ DBE=∠ EBF+∠ CBD$,且$∠ BAD=∠ CBD$,
$\therefore∠ BED=∠ DBE,\therefore DE=DB$.
【知识点】
三角形内心性质，圆周角定理，等腰三角形判定
【点评】
本题是圆与三角形内心结合的经典基础题型，核心考查角平分线性质、圆周角等量转换和外角性质的综合运用，解题的关键是通过“等角对等边”将线段相等的证明转化为角相等的证明，逻辑链条清晰，适合巩固圆与三角形结合的基础证明思路。
【难度系数】
0.6
这道题是圆与三角形内心结合的证明题，我们可以分两小问梳理思路：
1. 要证明∠BAD=∠CBD，首先回忆内心的定义：三角形的内心是三个内角角平分线的交点，所以AE作为从A过内心E的线段，必然平分∠BAC，得到∠BAD=∠CAD；再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，∠CAD和∠CBD都是弧CD所对的圆周角，因此∠CAD=∠CBD，通过等量代换就能得到第一问的结论。
2. 要证明DE=DB，根据等腰三角形“等角对等边”的判定思路，只需要证明∠BED=∠DBE即可。我们连接BE，利用内心的性质可知BE平分∠ABC，即∠ABE=∠FBE；再利用三角形外角的性质，把∠BED拆分为∠BAD+∠ABE，把∠DBE拆分为∠CBD+∠FBE，结合第一问已经证得的∠BAD=∠CBD，就能推出两个角相等，进而得到线段相等。
【解析】
证明：
(1)
∵ 点E是△ABC的内心，
∴ AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD。
又
∵ ∠CAD和∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴ ∠CAD=∠CBD，
通过等量代换可得∠BAD=∠CBD。
(2) 连接BE，
∵ 点E是△ABC的内心，
∴ BE平分∠ABC，即∠ABE=∠EBF。
根据三角形外角的性质：
∠BED是△ABE的外角，因此∠BED=∠BAD+∠ABE；
∠DBE=∠EBF+∠CBD，
由(1)已知∠BAD=∠CBD，结合∠ABE=∠EBF，
可得∠BED=∠DBE，
根据等角对等边，因此DE=DB。
【答案】
证明:(1)$\because$ 点 $E$ 是 $△ ABC$ 的内心, $\therefore∠ BAD=∠ CAD$.
$\because∠ CAD=∠ CBD,\therefore∠ BAD=∠ CBD$.
(2) 连接 $BE$.
$\because$ 点 $E$ 是 $△ ABC$ 的内心, $\therefore∠ ABE=∠ EBF$.
$\because∠ BED=∠ BAD+∠ ABE,∠ DBE=∠ EBF+∠ CBD$,且$∠ BAD=∠ CBD$,
$\therefore∠ BED=∠ DBE,\therefore DE=DB$.
【知识点】
三角形内心性质，圆周角定理，等腰三角形判定
【点评】
本题是圆与三角形内心结合的经典基础题型，核心考查角平分线性质、圆周角等量转换和外角性质的综合运用，解题的关键是通过“等角对等边”将线段相等的证明转化为角相等的证明，逻辑链条清晰，适合巩固圆与三角形结合的基础证明思路。
【难度系数】
0.6
6. 如图,四边形 $ABCD$ 内接于$\odot O$,点 $I$ 是$△ ABC$ 的内心,$∠ AIC=124°$,点 $E$ 在 $AD$ 的延长线上,则$∠ CDE$ 的度数为（
A.$56°$
B.$62°$
C.$68°$
D.$78°$
C
）A.$56°$
B.$62°$
C.$68°$
D.$78°$
答案
6. C
解析
【分析】
我们可以按照两步核心思路推导：首先，点I是△ABC的内心，也就是三角形内角平分线的交点，结合已知的∠AIC=124°，利用三角形内角和性质，先求出△ABC中∠B的度数；之后再利用圆内接四边形的外角等于内对角的性质，直接得到∠CDE的度数。具体推导逻辑：先在△AIC中算出两个小角的和，再根据角平分线的2倍关系得到△ABC两个内角的和，进而算出∠B，最后用圆内接四边形性质完成转化得到答案。
【解析】
解：
1. 由点I是△ABC的内心，可得AI平分∠BAC，CI平分∠ACB，即：
$∠ IAC=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ ICA=\frac{1}{2}∠ ACB$
2. 在$△ AIC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ IAC+∠ ICA=180°-∠ AIC=180°-124°=56°$
3. 代入角平分线的倍数关系，可得：
$∠ BAC+∠ ACB=2(∠ IAC+∠ ICA)=2×56°=112°$
4. 在$△ ABC$中，再次利用三角形内角和：
$∠ ABC=180°-(∠ BAC+∠ ACB)=180°-112°=68°$
5. 因为四边形ABCD内接于$\odot O$，根据圆内接四边形外角等于内对角的性质，可得$∠ CDE=∠ ABC=68°$。
【答案】C
【知识点】
三角形内心，圆内接四边形性质，三角形内角和
【点评】
本题是三角形和圆的基础综合题型，核心考点是内心的角度特征和圆内接四边形的外角性质，不需要额外构造辅助线，只要理清角度的传递关系就可以快速求解，适合巩固圆内接四边形相关性质的应用。
【难度系数】
0.7
我们可以按照两步核心思路推导：首先，点I是△ABC的内心，也就是三角形内角平分线的交点，结合已知的∠AIC=124°，利用三角形内角和性质，先求出△ABC中∠B的度数；之后再利用圆内接四边形的外角等于内对角的性质，直接得到∠CDE的度数。具体推导逻辑：先在△AIC中算出两个小角的和，再根据角平分线的2倍关系得到△ABC两个内角的和，进而算出∠B，最后用圆内接四边形性质完成转化得到答案。
【解析】
解：
1. 由点I是△ABC的内心，可得AI平分∠BAC，CI平分∠ACB，即：
$∠ IAC=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ ICA=\frac{1}{2}∠ ACB$
2. 在$△ AIC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ IAC+∠ ICA=180°-∠ AIC=180°-124°=56°$
3. 代入角平分线的倍数关系，可得：
$∠ BAC+∠ ACB=2(∠ IAC+∠ ICA)=2×56°=112°$
4. 在$△ ABC$中，再次利用三角形内角和：
$∠ ABC=180°-(∠ BAC+∠ ACB)=180°-112°=68°$
5. 因为四边形ABCD内接于$\odot O$，根据圆内接四边形外角等于内对角的性质，可得$∠ CDE=∠ ABC=68°$。
【答案】C
【知识点】
三角形内心，圆内接四边形性质，三角形内角和
【点评】
本题是三角形和圆的基础综合题型，核心考点是内心的角度特征和圆内接四边形的外角性质，不需要额外构造辅助线，只要理清角度的传递关系就可以快速求解，适合巩固圆内接四边形相关性质的应用。
【难度系数】
0.7
7.已知直角三角形的外接圆半径为6,内切圆半径为2,那么这个三角形的面积是
28
.答案
7. 28
解析
【分析】
解题时首先利用直角三角形外接圆的核心性质：直角三角形外接圆的圆心在斜边中点，外接圆半径等于斜边长度的一半，先直接求出斜边的长度。接着利用直角三角形内切圆半径和三边的关系，代入已知内切圆半径求出两条直角边的和。之后不需要单独计算两条直角边的具体数值，结合完全平方公式和勾股定理，通过整体代换直接推导出两直角边的乘积，最终就能快速得到三角形的面积，大幅简化运算步骤。
【解析】
设该直角三角形的两条直角边长为$a$、$b$，斜边长为$c$：
1. 求斜边长度：
根据直角三角形外接圆性质，外接圆半径$R=\frac{c}{2}$，已知$R=6$，因此斜边$c=2R=2×6=12$。
2. 求两直角边的和：
直角三角形内切圆半径满足公式$r=\frac{a+b-c}{2}$，已知内切圆半径$r=2$，代入得：
$2=\frac{a+b-12}{2}$，整理后可得$a+b=16$。
3. 整体代换求面积：
由勾股定理得$a^2+b^2=c^2=12^2=144$。
对$a+b=16$两边同时平方，得$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=16^2=256$。
将$a^2+b^2=144$代入上式，得$144+2ab=256$，解得$ab=56$。
因此直角三角形的面积$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×56=28$。
【答案】
28
【知识点】
直角三角形外接圆性质，直角三角形内切圆公式，完全平方公式
【点评】
本题采用整体代换的思路，避免了求解二元二次方程分别得到两条直角边的繁琐步骤，综合考察了直角三角形内外接圆的性质和代数变形能力，是几何与代数结合的典型基础题型。
【难度系数】
0.5
解题时首先利用直角三角形外接圆的核心性质：直角三角形外接圆的圆心在斜边中点，外接圆半径等于斜边长度的一半，先直接求出斜边的长度。接着利用直角三角形内切圆半径和三边的关系，代入已知内切圆半径求出两条直角边的和。之后不需要单独计算两条直角边的具体数值，结合完全平方公式和勾股定理，通过整体代换直接推导出两直角边的乘积，最终就能快速得到三角形的面积，大幅简化运算步骤。
【解析】
设该直角三角形的两条直角边长为$a$、$b$，斜边长为$c$：
1. 求斜边长度：
根据直角三角形外接圆性质，外接圆半径$R=\frac{c}{2}$，已知$R=6$，因此斜边$c=2R=2×6=12$。
2. 求两直角边的和：
直角三角形内切圆半径满足公式$r=\frac{a+b-c}{2}$，已知内切圆半径$r=2$，代入得：
$2=\frac{a+b-12}{2}$，整理后可得$a+b=16$。
3. 整体代换求面积：
由勾股定理得$a^2+b^2=c^2=12^2=144$。
对$a+b=16$两边同时平方，得$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=16^2=256$。
将$a^2+b^2=144$代入上式，得$144+2ab=256$，解得$ab=56$。
因此直角三角形的面积$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×56=28$。
【答案】
28
【知识点】
直角三角形外接圆性质，直角三角形内切圆公式，完全平方公式
【点评】
本题采用整体代换的思路，避免了求解二元二次方程分别得到两条直角边的繁琐步骤，综合考察了直角三角形内外接圆的性质和代数变形能力，是几何与代数结合的典型基础题型。
【难度系数】
0.5
