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2. 用配方法将下列各式化为 $ a(x + m)^{2}+n $ 的形式：
(1) $ \dfrac{1}{2}y^{2}+5y + 1= \dfrac{1}{2}(y + $______$)^{2}+ $______；
(2) $ 2x^{2}+2\sqrt{2}x + 4 = 2(x + $______$)^{2}+ $______。
(1) $ \dfrac{1}{2}y^{2}+5y + 1= \dfrac{1}{2}(y + $______$)^{2}+ $______；
(2) $ 2x^{2}+2\sqrt{2}x + 4 = 2(x + $______$)^{2}+ $______。
答案
(1)5, -$\frac{23}{2}$;
(2)$\frac{\sqrt{2}}{2}$, 3
3. 我们把关于 $ x $ 的一元二次方程 $ a_{1}(x - h)^{2}+k = 0 $ 和 $ a_{2}(x - h)^{2}+k = 0 $ 称为“同族二次方程”。若方程 $ 2(y - 1)^{2}+3 = 0 $ 和 $ ay^{2}+y + c = 0 $ 是关于 $ y $ 的“同族二次方程”,则 $ c $ 的值为______。
答案
$\frac{5}{2}$
解析
因为方程$2(y - 1)^{2}+3 = 0$和$ay^{2}+y + c = 0$是“同族二次方程”，所以它们可化为$a_{1}(y - h)^{2}+k = 0$和$a_{2}(y - h)^{2}+k = 0$的形式，其中$h$、$k$相同。
将$2(y - 1)^{2}+3 = 0$展开：$2(y^{2}-2y + 1)+3=0$，即$2y^{2}-4y + 2 + 3=0$，化简得$2y^{2}-4y + 5 = 0$，此方程中$h = 1$，$k = 3$。
设$ay^{2}+y + c = 0$可化为$a(y - 1)^{2}+3 = 0$，展开得$a(y^{2}-2y + 1)+3 = 0$，即$ay^{2}-2ay + a + 3 = 0$。
对比$ay^{2}-2ay + a + 3 = 0$与$ay^{2}+y + c = 0$，可得：$-2a = 1$，解得$a=-\frac{1}{2}$。
则$c = a + 3=-\frac{1}{2}+3=\frac{5}{2}$。
$\frac{5}{2}$
将$2(y - 1)^{2}+3 = 0$展开：$2(y^{2}-2y + 1)+3=0$，即$2y^{2}-4y + 2 + 3=0$，化简得$2y^{2}-4y + 5 = 0$，此方程中$h = 1$，$k = 3$。
设$ay^{2}+y + c = 0$可化为$a(y - 1)^{2}+3 = 0$，展开得$a(y^{2}-2y + 1)+3 = 0$，即$ay^{2}-2ay + a + 3 = 0$。
对比$ay^{2}-2ay + a + 3 = 0$与$ay^{2}+y + c = 0$，可得：$-2a = 1$，解得$a=-\frac{1}{2}$。
则$c = a + 3=-\frac{1}{2}+3=\frac{5}{2}$。
$\frac{5}{2}$
4. 用配方法解下列方程：
(1) $ x^{2}-16x + 28 = 0 $；
(2) $ x^{2}+10x + 9 = 0 $；
(3) $ x^{2}-3x - 4 = 0 $；
(4) $ x^{2}-3 = -3x $；
(5) $ 2x^{2}+3x + 1 = 0 $；
(6) $ x^{2}+px + q = 0(p^{2}-4q\geqslant0) $。
(1) $ x^{2}-16x + 28 = 0 $；
(2) $ x^{2}+10x + 9 = 0 $；
(3) $ x^{2}-3x - 4 = 0 $；
(4) $ x^{2}-3 = -3x $；
(5) $ 2x^{2}+3x + 1 = 0 $；
(6) $ x^{2}+px + q = 0(p^{2}-4q\geqslant0) $。
答案
(1)x₁=14, x₂=2;
(2)x₁=-1, x₂=-9;
(3)x₁=4, x₂=-1;
(4)x₁=$\frac{-3+\sqrt{21}}{2}$, x₂=$\frac{-3-\sqrt{21}}{2}$;
(5)x₁=-1, x₂=-$\frac{1}{2}$;
(6)x=$\frac{-p\pm\sqrt{p²-4q}}{2}$
5. 请你尝试证明：关于 $ x $ 的方程 $ (m^{2}-8m + 20)x^{2}+2mx + 1 = 0 $,不论 $ m $ 取何值,该方程都是一元二次方程。
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答案
根据题意可知,二次项系数为m²-8m+20=m²-8m+16+4=(m-4)²+4. $\because$(m-4)²≥0, $\therefore$(m-4)²+4≥4, 即m²-8m+20≠0, $\therefore$无论m取何值,原方程都是一元二次方程.
解析
要证明不论$m$取何值，方程$(m^{2}-8m + 20)x^{2}+2mx + 1 = 0$都是一元二次方程，只需证明二次项系数$m^{2}-8m + 20$恒不为$0$。
$\begin{aligned}m^{2}-8m + 20&=m^{2}-8m + 16 + 4\\&=(m - 4)^{2}+4\end{aligned}$
因为$(m - 4)^{2}\geq0$，所以$(m - 4)^{2}+4\geq4$，即$m^{2}-8m + 20\geq4\neq0$。
综上，无论$m$取何值，原方程都是一元二次方程。
$\begin{aligned}m^{2}-8m + 20&=m^{2}-8m + 16 + 4\\&=(m - 4)^{2}+4\end{aligned}$
因为$(m - 4)^{2}\geq0$，所以$(m - 4)^{2}+4\geq4$，即$m^{2}-8m + 20\geq4\neq0$。
综上，无论$m$取何值，原方程都是一元二次方程。
已知 $ A = a^{2}-a + 5 $,$ B = a + 2 $,求证：$ A - B\geqslant2 $。
答案
提示: A-B=a²-2a+3=(a²-2a+1)+2=(a-1)²+2≥2.
解析
证明：$A - B = (a^{2} - a + 5) - (a + 2)$
$= a^{2} - a + 5 - a - 2$
$= a^{2} - 2a + 3$
$= (a^{2} - 2a + 1) + 2$
$= (a - 1)^{2} + 2$
因为$(a - 1)^{2} \geq 0$，所以$(a - 1)^{2} + 2 \geq 2$，即$A - B \geq 2$。
$= a^{2} - a + 5 - a - 2$
$= a^{2} - 2a + 3$
$= (a^{2} - 2a + 1) + 2$
$= (a - 1)^{2} + 2$
因为$(a - 1)^{2} \geq 0$，所以$(a - 1)^{2} + 2 \geq 2$，即$A - B \geq 2$。
1. 对于一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$,$\Delta=$____. 当 $\Delta$____时,方程有两个不相等的实数根；当 $\Delta$____时,方程有两个相等的实数根；当 $\Delta$____时,方程没有实数根.
答案
$b^2-4ac$; $＞0$; $=0$; $＜0$
2. 方程 $3x^{2}+kx - 2 = 0$,$\Delta=$____,则方程____实数根(选填“有”或“没有”).
答案
$k^2+24$;有
