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基础知识·预习
问题1 什么样的多边形是正多边形？
问题2 正多边形与圆有什么关系？什么是正多边形的中心、半径、中心角和边心距？正多边形的中心角的度数怎么计算？
问题3 如何利用一个圆作一个正多边形？
问题1 什么样的多边形是正多边形？
问题2 正多边形与圆有什么关系？什么是正多边形的中心、半径、中心角和边心距？正多边形的中心角的度数怎么计算？
问题3 如何利用一个圆作一个正多边形？
答案
解：
1. 各边相等、各内角也分别相等的多边形是正多边形。
2. 正多边形与圆的关系：把一个圆分成n（n≥3）等份，依次连接各分点得到的多边形就是这个圆的内接正n边形，这个圆是该正n边形的外接圆，正多边形的所有顶点都在它的外接圆上。
相关定义：
正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心；
正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径；
正多边形的每一条边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角；
正多边形的中心到正多边形任意一条边的距离叫做正多边形的边心距。
正n边形中心角的度数计算公式为：$\mathrm{中心角}=\frac{360°}{n}$（n为正多边形的边数，$n\ge3$）。
3. 利用圆作正多边形的方法：将已知圆n等分（n≥3），顺次连接圆上的n个等分点，即可得到这个圆的内接正n边形。
常用等分圆周的方式：① 用量角器作大小为$\frac{360°}{n}$的圆心角，它对应的弧为圆周的$\frac{1}{n}$，在圆上依次截取与这段弧相等的弧，即可得到圆周的n个等分点；② 对于特殊正多边形可使用尺规作图等分圆周，例如作两条互相垂直的直径将圆四等分得到正四边形，从圆上一点开始连续截取长度等于半径的弦将圆六等分得到正六边形，还可通过逐次平分已有等分弧的方式，得到边数为对应整数倍的正多边形。
1. 各边相等、各内角也分别相等的多边形是正多边形。
2. 正多边形与圆的关系：把一个圆分成n（n≥3）等份，依次连接各分点得到的多边形就是这个圆的内接正n边形，这个圆是该正n边形的外接圆，正多边形的所有顶点都在它的外接圆上。
相关定义：
正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心；
正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径；
正多边形的每一条边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角；
正多边形的中心到正多边形任意一条边的距离叫做正多边形的边心距。
正n边形中心角的度数计算公式为：$\mathrm{中心角}=\frac{360°}{n}$（n为正多边形的边数，$n\ge3$）。
3. 利用圆作正多边形的方法：将已知圆n等分（n≥3），顺次连接圆上的n个等分点，即可得到这个圆的内接正n边形。
常用等分圆周的方式：① 用量角器作大小为$\frac{360°}{n}$的圆心角，它对应的弧为圆周的$\frac{1}{n}$，在圆上依次截取与这段弧相等的弧，即可得到圆周的n个等分点；② 对于特殊正多边形可使用尺规作图等分圆周，例如作两条互相垂直的直径将圆四等分得到正四边形，从圆上一点开始连续截取长度等于半径的弦将圆六等分得到正六边形，还可通过逐次平分已有等分弧的方式，得到边数为对应整数倍的正多边形。
解析
【分析】
这三道题是正多边形与圆相关的基础概念类问题，解题思路如下：1. 回答正多边形的定义时，需抓住正多边形的两个必备特征：各边长度相等、各内角大小相等，二者缺一不可；2. 回答正多边形与圆的关系时，核心是“等分圆周得正多边形”，正多边形的四个相关概念（中心、半径、中心角、边心距）均和它的外接圆相关，可结合外接圆的圆心、半径、圆心角、圆心到弦的距离对应记忆，中心角是正多边形的边对应外接圆的圆心角，周角为360°，因此n边形的中心角就是将360°平均分成n份，每份的度数就是中心角度数；3. 利用圆作正多边形的核心步骤是先将圆周n等分，再顺次连接等分点即可，等分圆周可通过量角器等分，特殊正多边形也可通过尺规作图的方式等分。
【解析】
我们逐个解答三个问题：
1. 正多边形需同时满足两个属性：各边长度相等、各内角大小相等，据此可得到正多边形的定义。
2. 正多边形和圆的关联以等分圆周为基础，正多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个圆就是正多边形的外接圆；正多边形的四个核心概念均以外接圆为参照定义，分别对应外接圆的圆心、半径、边对应的圆心角、圆心到边的距离；周角总度数为360°，正n边形的n个中心角大小相等，因此每个中心角的度数为360°除以边数n。
3. 要通过圆得到正n边形，只需先把圆周分成n个长度相等的弧，顺次连接各弧的端点就能得到对应的正多边形，等分圆周可通过量角器画等圆心角实现，部分特殊边数的正多边形也可通过尺规作图的方式快速等分圆周。
【答案】
1. 各边相等、各内角也分别相等的多边形是正多边形。
2. 正多边形与圆的关系：把一个圆分成n（n≥3）等份，依次连接各分点得到的多边形就是这个圆的内接正n边形，这个圆是该正n边形的外接圆，正多边形的所有顶点都在它的外接圆上。
相关定义：
正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心；
正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径；
正多边形的每一条边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角；
正多边形的中心到正多边形任意一条边的距离叫做正多边形的边心距。
正n边形中心角的度数计算公式为：$\mathrm{中心角}=\frac{360°}{n}$（n为正多边形的边数，$n\ge3$）。
3. 利用圆作正多边形的方法：将已知圆n等分（n≥3），顺次连接圆上的n个等分点，即可得到这个圆的内接正n边形。
常用等分圆周的方式：① 用量角器作大小为$\frac{360°}{n}$的圆心角，它对应的弧为圆周的$\frac{1}{n}$，在圆上依次截取与这段弧相等的弧，即可得到圆周的n个等分点；② 对于特殊正多边形可使用尺规作图等分圆周，例如作两条互相垂直的直径将圆四等分得到正四边形，从圆上一点开始连续截取长度等于半径的弦将圆六等分得到正六边形，还可通过逐次平分已有等分弧的方式，得到边数为对应整数倍的正多边形。
【知识点】
正多边形的定义；正多边形与圆的相关概念；正多边形的作法
【点评】
本题属于基础概念考查题，内容均为正多边形与圆章节的核心基础知识点，是后续开展正多边形相关计算、作图及综合应用的基础，需准确识记各定义、公式及作图方法。
【难度系数】
0.8
这三道题是正多边形与圆相关的基础概念类问题，解题思路如下：1. 回答正多边形的定义时，需抓住正多边形的两个必备特征：各边长度相等、各内角大小相等，二者缺一不可；2. 回答正多边形与圆的关系时，核心是“等分圆周得正多边形”，正多边形的四个相关概念（中心、半径、中心角、边心距）均和它的外接圆相关，可结合外接圆的圆心、半径、圆心角、圆心到弦的距离对应记忆，中心角是正多边形的边对应外接圆的圆心角，周角为360°，因此n边形的中心角就是将360°平均分成n份，每份的度数就是中心角度数；3. 利用圆作正多边形的核心步骤是先将圆周n等分，再顺次连接等分点即可，等分圆周可通过量角器等分，特殊正多边形也可通过尺规作图的方式等分。
【解析】
我们逐个解答三个问题：
1. 正多边形需同时满足两个属性：各边长度相等、各内角大小相等，据此可得到正多边形的定义。
2. 正多边形和圆的关联以等分圆周为基础，正多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个圆就是正多边形的外接圆；正多边形的四个核心概念均以外接圆为参照定义，分别对应外接圆的圆心、半径、边对应的圆心角、圆心到边的距离；周角总度数为360°，正n边形的n个中心角大小相等，因此每个中心角的度数为360°除以边数n。
3. 要通过圆得到正n边形，只需先把圆周分成n个长度相等的弧，顺次连接各弧的端点就能得到对应的正多边形，等分圆周可通过量角器画等圆心角实现，部分特殊边数的正多边形也可通过尺规作图的方式快速等分圆周。
【答案】
1. 各边相等、各内角也分别相等的多边形是正多边形。
2. 正多边形与圆的关系：把一个圆分成n（n≥3）等份，依次连接各分点得到的多边形就是这个圆的内接正n边形，这个圆是该正n边形的外接圆，正多边形的所有顶点都在它的外接圆上。
相关定义：
正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心；
正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径；
正多边形的每一条边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角；
正多边形的中心到正多边形任意一条边的距离叫做正多边形的边心距。
正n边形中心角的度数计算公式为：$\mathrm{中心角}=\frac{360°}{n}$（n为正多边形的边数，$n\ge3$）。
3. 利用圆作正多边形的方法：将已知圆n等分（n≥3），顺次连接圆上的n个等分点，即可得到这个圆的内接正n边形。
常用等分圆周的方式：① 用量角器作大小为$\frac{360°}{n}$的圆心角，它对应的弧为圆周的$\frac{1}{n}$，在圆上依次截取与这段弧相等的弧，即可得到圆周的n个等分点；② 对于特殊正多边形可使用尺规作图等分圆周，例如作两条互相垂直的直径将圆四等分得到正四边形，从圆上一点开始连续截取长度等于半径的弦将圆六等分得到正六边形，还可通过逐次平分已有等分弧的方式，得到边数为对应整数倍的正多边形。
【知识点】
正多边形的定义；正多边形与圆的相关概念；正多边形的作法
【点评】
本题属于基础概念考查题，内容均为正多边形与圆章节的核心基础知识点，是后续开展正多边形相关计算、作图及综合应用的基础，需准确识记各定义、公式及作图方法。
【难度系数】
0.8
【典型例题 1】如图，$\odot O$的周长为$16π$，正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$.
(1)求点$O$到$CD$的距离.
(2)求正六边形$ABCDEF$的面积.
【解】(1)如图，连接$OC$，$OD$，过点$O$作$OH ⊥ CD$，垂足为$H$，则$∠ CHO=90°$.
因为$\odot O$的周长为$16π$，
所以$OC=\dfrac{16π}{2π}=8$.
因为正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$，所以$∠ COD=60°$，$OC=OD$. 所以$∠ COH=30°$. 所以$CH=\dfrac{1}{2}OC=4$. 所以点$O$到$CD$的距离$OH=\sqrt{OC^2 - CH^2}=\sqrt{8^2 -4^2}=4\sqrt{3}$.
(2)由(1)知$∠ COD=60°,OC=OD$.
所以$△ OCD$是等边三角形.
所以$CD=OC=8$. 所以$S_{△ OCD}=\dfrac{1}{2}CD · OH=\dfrac{1}{2} × 8 × 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}$.
所以$S_{正六边形ABCDEF}=6S_{△ OCD}=6 × 16\sqrt{3}=96\sqrt{3}$.
规律方法 与正$n$边形有关的计算公式(正$n$边形的半径为$R$，边长为$a$，边心距为$r$)：
(1)正$n$边形的每个内角都是$\dfrac{(n-2) · 180°}{n}$.
(2)正$n$边形的每个中心角都是$\dfrac{360°}{n}$.
(3)正$n$边形的半径、边长与边心距的关系是$(\dfrac{a}{2})^2 + r^2 = R^2$.
(4)正$n$边形的周长$C=na$.
(5)正$n$边形的面积$S=\dfrac{1}{2}arn$.
(1)求点$O$到$CD$的距离.
(2)求正六边形$ABCDEF$的面积.
【解】(1)如图，连接$OC$，$OD$，过点$O$作$OH ⊥ CD$，垂足为$H$，则$∠ CHO=90°$.
因为$\odot O$的周长为$16π$，
所以$OC=\dfrac{16π}{2π}=8$.
因为正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$，所以$∠ COD=60°$，$OC=OD$. 所以$∠ COH=30°$. 所以$CH=\dfrac{1}{2}OC=4$. 所以点$O$到$CD$的距离$OH=\sqrt{OC^2 - CH^2}=\sqrt{8^2 -4^2}=4\sqrt{3}$.
(2)由(1)知$∠ COD=60°,OC=OD$.
所以$△ OCD$是等边三角形.
所以$CD=OC=8$. 所以$S_{△ OCD}=\dfrac{1}{2}CD · OH=\dfrac{1}{2} × 8 × 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}$.
所以$S_{正六边形ABCDEF}=6S_{△ OCD}=6 × 16\sqrt{3}=96\sqrt{3}$.
规律方法 与正$n$边形有关的计算公式(正$n$边形的半径为$R$，边长为$a$，边心距为$r$)：
(1)正$n$边形的每个内角都是$\dfrac{(n-2) · 180°}{n}$.
(2)正$n$边形的每个中心角都是$\dfrac{360°}{n}$.
(3)正$n$边形的半径、边长与边心距的关系是$(\dfrac{a}{2})^2 + r^2 = R^2$.
(4)正$n$边形的周长$C=na$.
(5)正$n$边形的面积$S=\dfrac{1}{2}arn$.
答案
解：
(1) 连接$OC$，$OD$，过点$O$作$OH ⊥ CD$，垂足为$H$，则$∠ CHO=90°$。
因为$\odot O$的周长为$16π$，
所以$\odot O$的半径$OC=\dfrac{16π}{2π}=8$。
因为正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$，
所以$∠ COD=\dfrac{360°}{6}=60°$，且$OC=OD$，
因此$△ OCD$为等腰三角形，$OH$平分$∠ COD$，得$∠ COH=30°$，
所以$CH=\dfrac{1}{2}OC=4$。
在$\mathrm{Rt}△ COH$中，由勾股定理得：
$OH=\sqrt{OC^2-CH^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$，
即点$O$到$CD$的距离为$4\sqrt{3}$。
(2) 由(1)知$∠ COD=60°$，$OC=OD=8$，
所以$△ OCD$是等边三角形，可得$CD=OC=8$。
$S_{△ OCD}=\dfrac{1}{2}· CD· OH=\dfrac{1}{2}× 8× 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}$。
正六边形$ABCDEF$可分割为6个与$△ OCD$全等的三角形，
因此$S_{\mathrm{正六边形}ABCDEF}=6S_{△ OCD}=6× 16\sqrt{3}=96\sqrt{3}$。
答：(1) 点$O$到$CD$的距离为$4\sqrt{3}$；(2) 正六边形$ABCDEF$的面积为$96\sqrt{3}$。
(1) 连接$OC$，$OD$，过点$O$作$OH ⊥ CD$，垂足为$H$，则$∠ CHO=90°$。
因为$\odot O$的周长为$16π$，
所以$\odot O$的半径$OC=\dfrac{16π}{2π}=8$。
因为正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$，
所以$∠ COD=\dfrac{360°}{6}=60°$，且$OC=OD$，
因此$△ OCD$为等腰三角形，$OH$平分$∠ COD$，得$∠ COH=30°$，
所以$CH=\dfrac{1}{2}OC=4$。
在$\mathrm{Rt}△ COH$中，由勾股定理得：
$OH=\sqrt{OC^2-CH^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$，
即点$O$到$CD$的距离为$4\sqrt{3}$。
(2) 由(1)知$∠ COD=60°$，$OC=OD=8$，
所以$△ OCD$是等边三角形，可得$CD=OC=8$。
$S_{△ OCD}=\dfrac{1}{2}· CD· OH=\dfrac{1}{2}× 8× 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}$。
正六边形$ABCDEF$可分割为6个与$△ OCD$全等的三角形，
因此$S_{\mathrm{正六边形}ABCDEF}=6S_{△ OCD}=6× 16\sqrt{3}=96\sqrt{3}$。
答：(1) 点$O$到$CD$的距离为$4\sqrt{3}$；(2) 正六边形$ABCDEF$的面积为$96\sqrt{3}$。
解析
【分析】
(1) 求点O到CD的距离即正六边形的边心距。解题时先连接OC、OD得到正六边形的中心角，过O作CD的垂线构造直角三角形；先根据圆的周长公式求出圆的半径OC，再利用正六边形中心角为$\frac{360°}{6}=60°$的性质，结合等腰三角形三线合一得到直角三角形的内角关系，最后用勾股定理求出边心距即可。
(2) 求正六边形面积可利用拆分思想，将正六边形拆为6个全等的等边三角形，先求出单个中心三角形的面积，再乘6即可得到正六边形的总面积。
【解析】
(1) 连接$OC$，$OD$，过点$O$作$OH ⊥ CD$，垂足为$H$，则$∠ CHO=90°$。
因为$\odot O$的周长为$16π$，
所以$\odot O$的半径$OC=\dfrac{16π}{2π}=8$。
因为正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$，
所以$∠ COD=\dfrac{360°}{6}=60°$，且$OC=OD$，
因此$△ OCD$为等腰三角形，$OH$平分$∠ COD$，得$∠ COH=30°$，
所以$CH=\dfrac{1}{2}OC=4$。
在$\mathrm{Rt}△ COH$中，由勾股定理得：
$OH=\sqrt{OC^2-CH^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$，
即点$O$到$CD$的距离为$4\sqrt{3}$。
(2) 由(1)知$∠ COD=60°$，$OC=OD=8$，
所以$△ OCD$是等边三角形，可得$CD=OC=8$。
$S_{△ OCD}=\dfrac{1}{2}· CD· OH=\dfrac{1}{2}× 8× 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}$。
正六边形$ABCDEF$可分割为6个与$△ OCD$全等的三角形，
因此$S_{\mathrm{正六边形}ABCDEF}=6S_{△ OCD}=6× 16\sqrt{3}=96\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $4\sqrt{3}$
(2) $96\sqrt{3}$
【知识点】
正多边形与圆的性质，勾股定理，正多边形面积计算
【点评】
本题是正多边形与圆的基础题型，核心解题思想是将正多边形问题转化为三角形问题求解，构造直角三角形求边心距、拆分正多边形求面积的方法适用于所有正多边形相关计算，需熟练掌握正n边形中心角、半径、边心距的数量关系。
【难度系数】
0.8
(1) 求点O到CD的距离即正六边形的边心距。解题时先连接OC、OD得到正六边形的中心角，过O作CD的垂线构造直角三角形；先根据圆的周长公式求出圆的半径OC，再利用正六边形中心角为$\frac{360°}{6}=60°$的性质，结合等腰三角形三线合一得到直角三角形的内角关系，最后用勾股定理求出边心距即可。
(2) 求正六边形面积可利用拆分思想，将正六边形拆为6个全等的等边三角形，先求出单个中心三角形的面积，再乘6即可得到正六边形的总面积。
【解析】
(1) 连接$OC$，$OD$，过点$O$作$OH ⊥ CD$，垂足为$H$，则$∠ CHO=90°$。
因为$\odot O$的周长为$16π$，
所以$\odot O$的半径$OC=\dfrac{16π}{2π}=8$。
因为正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$，
所以$∠ COD=\dfrac{360°}{6}=60°$，且$OC=OD$，
因此$△ OCD$为等腰三角形，$OH$平分$∠ COD$，得$∠ COH=30°$，
所以$CH=\dfrac{1}{2}OC=4$。
在$\mathrm{Rt}△ COH$中，由勾股定理得：
$OH=\sqrt{OC^2-CH^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$，
即点$O$到$CD$的距离为$4\sqrt{3}$。
(2) 由(1)知$∠ COD=60°$，$OC=OD=8$，
所以$△ OCD$是等边三角形，可得$CD=OC=8$。
$S_{△ OCD}=\dfrac{1}{2}· CD· OH=\dfrac{1}{2}× 8× 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}$。
正六边形$ABCDEF$可分割为6个与$△ OCD$全等的三角形，
因此$S_{\mathrm{正六边形}ABCDEF}=6S_{△ OCD}=6× 16\sqrt{3}=96\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $4\sqrt{3}$
(2) $96\sqrt{3}$
【知识点】
正多边形与圆的性质，勾股定理，正多边形面积计算
【点评】
本题是正多边形与圆的基础题型，核心解题思想是将正多边形问题转化为三角形问题求解，构造直角三角形求边心距、拆分正多边形求面积的方法适用于所有正多边形相关计算，需熟练掌握正n边形中心角、半径、边心距的数量关系。
【难度系数】
0.8
