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基础知识·预习
问题1 结合二次函数$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$和$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$的图象总结：
(1)抛物线$y=a(x-h)^2(a≠0)$的开口方向由哪个系数决定？它的对称轴在哪里？顶点坐标是什么？
(2)y随x的变化情况是怎样的？
问题2 二次函数$y=a(x-h)^2(a≠0)$的图象与$y=ax^2$的图象有什么关系？
问题1 结合二次函数$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$和$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$的图象总结：
(1)抛物线$y=a(x-h)^2(a≠0)$的开口方向由哪个系数决定？它的对称轴在哪里？顶点坐标是什么？
(2)y随x的变化情况是怎样的？
问题2 二次函数$y=a(x-h)^2(a≠0)$的图象与$y=ax^2$的图象有什么关系？
答案
解：
问题1
(1) 抛物线$y=a(x-h)^2(a≠0)$的开口方向由系数$a$决定：当$a＞0$时开口向上，当$a＜0$时开口向下。
它的对称轴是直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$。
(2) 分两种情况讨论$y$随$x$的变化情况：
① 若$a＞0$：
当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而增大。
② 若$a＜0$：
当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而减小。
问题2
二次函数$y=a(x-h)^2(a≠0)$的图象与$y=ax^2$的图象形状、开口方向、开口大小完全相同，仅位置不同：
当$h＞0$时，将抛物线$y=ax^2$向右平移$h$个单位长度，即可得到$y=a(x-h)^2$的图象；
当$h＜0$时，将抛物线$y=ax^2$向左平移$|h|$个单位长度，即可得到$y=a(x-h)^2$的图象。
问题1
(1) 抛物线$y=a(x-h)^2(a≠0)$的开口方向由系数$a$决定：当$a＞0$时开口向上，当$a＜0$时开口向下。
它的对称轴是直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$。
(2) 分两种情况讨论$y$随$x$的变化情况：
① 若$a＞0$：
当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而增大。
② 若$a＜0$：
当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而减小。
问题2
二次函数$y=a(x-h)^2(a≠0)$的图象与$y=ax^2$的图象形状、开口方向、开口大小完全相同，仅位置不同：
当$h＞0$时，将抛物线$y=ax^2$向右平移$h$个单位长度，即可得到$y=a(x-h)^2$的图象；
当$h＜0$时，将抛物线$y=ax^2$向左平移$|h|$个单位长度，即可得到$y=a(x-h)^2$的图象。
解析
【分析】
我们可以结合给出的两个具体二次函数的图象特征，类比已学的$y=ax^2$的性质推导结论：
1. 解决问题1(1)时，先观察两个给定函数的$a$值均为$-\frac{1}{2}$，开口都向下，可推导出开口方向由$a$决定；再看两个函数的对称轴分别是直线$x=-1$、$x=1$，对应表达式中$x+1=x-(-1)$、$x-1$，即可总结出对称轴为直线$x=h$，顶点在对称轴上且纵坐标为0，即顶点坐标$(h,0)$。
2. 解决问题1(2)时，结合开口方向和对称轴分析增减性：开口向上时对称轴左侧下降、右侧上升，开口向下时对称轴左侧上升、右侧下降，分$a＞0$和$a＜0$两种情况讨论即可。
3. 解决问题2时，回忆图象平移“左加右减”的规律，对比$y=ax^2$和$y=a(x-h)^2$的表达式差异，即可得出两者仅位置不同，形状、开口均一致，是左右平移的关系。
【解析】
问题1
(1) 抛物线$y=a(x-h)^2(a≠0)$的开口方向由系数$a$决定：当$a＞0$时开口向上，当$a＜0$时开口向下；它的对称轴是直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$。
(2) $y$随$x$的变化情况分两种情况讨论：
① 若$a＞0$：当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而增大。
② 若$a＜0$：当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而减小。
---
问题2
二次函数$y=a(x-h)^2(a≠0)$的图象与$y=ax^2$的图象形状、开口方向、开口大小完全相同，仅位置不同，平移规律如下：
当$h＞0$时，将抛物线$y=ax^2$向右平移$h$个单位长度，即可得到$y=a(x-h)^2$的图象；
当$h＜0$时，将抛物线$y=ax^2$向左平移$|h|$个单位长度，即可得到$y=a(x-h)^2$的图象。
【答案】
问题1
(1) 开口方向由系数$a$决定：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；对称轴是直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$。
(2) ①$a＞0$时：$x＜h$，$y$随$x$增大而减小；$x＞h$，$y$随$x$增大而增大。②$a＜0$时：$x＜h$，$y$随$x$增大而增大；$x＞h$，$y$随$x$增大而减小。
问题2
两者形状、开口方向、开口大小完全相同，仅位置不同：$h＞0$时，$y=ax^2$向右平移$h$个单位得$y=a(x-h)^2$；$h＜0$时，$y=ax^2$向左平移$|h|$个单位得$y=a(x-h)^2$。
【知识点】
二次函数$y=a(x-h)^2$的性质；二次函数图象平移规律；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数顶点式的基础考查题，重点要求掌握顶点式中各参数的几何意义，以及图象平移的规律，是后续学习更复杂二次函数的核心基础。
【难度系数】
0.8
我们可以结合给出的两个具体二次函数的图象特征，类比已学的$y=ax^2$的性质推导结论：
1. 解决问题1(1)时，先观察两个给定函数的$a$值均为$-\frac{1}{2}$，开口都向下，可推导出开口方向由$a$决定；再看两个函数的对称轴分别是直线$x=-1$、$x=1$，对应表达式中$x+1=x-(-1)$、$x-1$，即可总结出对称轴为直线$x=h$，顶点在对称轴上且纵坐标为0，即顶点坐标$(h,0)$。
2. 解决问题1(2)时，结合开口方向和对称轴分析增减性：开口向上时对称轴左侧下降、右侧上升，开口向下时对称轴左侧上升、右侧下降，分$a＞0$和$a＜0$两种情况讨论即可。
3. 解决问题2时，回忆图象平移“左加右减”的规律，对比$y=ax^2$和$y=a(x-h)^2$的表达式差异，即可得出两者仅位置不同，形状、开口均一致，是左右平移的关系。
【解析】
问题1
(1) 抛物线$y=a(x-h)^2(a≠0)$的开口方向由系数$a$决定：当$a＞0$时开口向上，当$a＜0$时开口向下；它的对称轴是直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$。
(2) $y$随$x$的变化情况分两种情况讨论：
① 若$a＞0$：当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而增大。
② 若$a＜0$：当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而减小。
---
问题2
二次函数$y=a(x-h)^2(a≠0)$的图象与$y=ax^2$的图象形状、开口方向、开口大小完全相同，仅位置不同，平移规律如下：
当$h＞0$时，将抛物线$y=ax^2$向右平移$h$个单位长度，即可得到$y=a(x-h)^2$的图象；
当$h＜0$时，将抛物线$y=ax^2$向左平移$|h|$个单位长度，即可得到$y=a(x-h)^2$的图象。
【答案】
问题1
(1) 开口方向由系数$a$决定：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；对称轴是直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$。
(2) ①$a＞0$时：$x＜h$，$y$随$x$增大而减小；$x＞h$，$y$随$x$增大而增大。②$a＜0$时：$x＜h$，$y$随$x$增大而增大；$x＞h$，$y$随$x$增大而减小。
问题2
两者形状、开口方向、开口大小完全相同，仅位置不同：$h＞0$时，$y=ax^2$向右平移$h$个单位得$y=a(x-h)^2$；$h＜0$时，$y=ax^2$向左平移$|h|$个单位得$y=a(x-h)^2$。
【知识点】
二次函数$y=a(x-h)^2$的性质；二次函数图象平移规律；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数顶点式的基础考查题，重点要求掌握顶点式中各参数的几何意义，以及图象平移的规律，是后续学习更复杂二次函数的核心基础。
【难度系数】
0.8
【典型例题 1】已知二次函数 $y=(x-3)^2$.
(1)写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(2)已知点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 在该二次函数图象上,且都在对称轴的右侧, $x_1＜x_2$,试比较 $y_1$ 与 $y_2$ 的大小.
【解】(1)二次函数 $y=(x-3)^2$ 的图象开口向上,对称轴是直线 $x=3$,顶点坐标为 $(3,0)$.
(2)由(1)知二次函数 $y=(x-3)^2$ 的图象开口向上.
∵点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 在该二次函数图象上,且都在对称轴右侧,$x_1＜x_2$,
∴$y_1＜y_2$.
(1)写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(2)已知点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 在该二次函数图象上,且都在对称轴的右侧, $x_1＜x_2$,试比较 $y_1$ 与 $y_2$ 的大小.
【解】(1)二次函数 $y=(x-3)^2$ 的图象开口向上,对称轴是直线 $x=3$,顶点坐标为 $(3,0)$.
(2)由(1)知二次函数 $y=(x-3)^2$ 的图象开口向上.
∵点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 在该二次函数图象上,且都在对称轴右侧,$x_1＜x_2$,
∴$y_1＜y_2$.
答案
解：
(1) 二次函数$y=(x-3)^2$中$a=1＞0$，因此该二次函数图象开口向上，对称轴是直线$x=3$，顶点坐标为$(3,0)$。
(2) 由(1)知该二次函数图象开口向上，在对称轴直线$x=3$的右侧，$y$随$x$的增大而增大。
∵点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$在该二次函数图象上，且都在对称轴右侧，$x_1＜x_2$，
∴$y_1＜y_2$。
(1) 二次函数$y=(x-3)^2$中$a=1＞0$，因此该二次函数图象开口向上，对称轴是直线$x=3$，顶点坐标为$(3,0)$。
(2) 由(1)知该二次函数图象开口向上，在对称轴直线$x=3$的右侧，$y$随$x$的增大而增大。
∵点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$在该二次函数图象上，且都在对称轴右侧，$x_1＜x_2$，
∴$y_1＜y_2$。
解析
【分析】
(1) 解题时先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的基本性质：参数$a$的正负决定开口方向，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。本题给出的函数$y=(x-3)^2$可对应顶点式找到$a=1$、$h=3$、$k=0$，代入对应性质即可求解。
(2) 开口向上的二次函数，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，左侧$y$随$x$的增大而减小。已知两点都在对称轴右侧，且$x_1＜x_2$，结合增减性规律即可直接比较$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
(1) 二次函数$y=(x-3)^2$中，二次项系数$a=1＞0$，因此该二次函数图象开口向上；根据顶点式的性质，可得对称轴是直线$x=3$，顶点坐标为$(3,0)$。
(2) 由(1)知该二次函数图象开口向上，因此在对称轴直线$x=3$的右侧，$y$随$x$的增大而增大。
∵点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$在该二次函数图象上，且都在对称轴右侧，$x_1＜x_2$，
∴$y_1＜y_2$。
【答案】
(1) 开口向上，对称轴是直线$x=3$，顶点坐标为$(3,0)$；
(2) $y_1＜y_2$
【知识点】
1. 顶点式二次函数性质
2. 二次函数增减性
3. 二次函数图象特征
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查顶点式参数与图象性质的对应关系，解题难度低，只要熟练掌握二次函数顶点式的基础概念即可快速解答，是巩固基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.9
(1) 解题时先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的基本性质：参数$a$的正负决定开口方向，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。本题给出的函数$y=(x-3)^2$可对应顶点式找到$a=1$、$h=3$、$k=0$，代入对应性质即可求解。
(2) 开口向上的二次函数，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，左侧$y$随$x$的增大而减小。已知两点都在对称轴右侧，且$x_1＜x_2$，结合增减性规律即可直接比较$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
(1) 二次函数$y=(x-3)^2$中，二次项系数$a=1＞0$，因此该二次函数图象开口向上；根据顶点式的性质，可得对称轴是直线$x=3$，顶点坐标为$(3,0)$。
(2) 由(1)知该二次函数图象开口向上，因此在对称轴直线$x=3$的右侧，$y$随$x$的增大而增大。
∵点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$在该二次函数图象上，且都在对称轴右侧，$x_1＜x_2$，
∴$y_1＜y_2$。
【答案】
(1) 开口向上，对称轴是直线$x=3$，顶点坐标为$(3,0)$；
(2) $y_1＜y_2$
【知识点】
1. 顶点式二次函数性质
2. 二次函数增减性
3. 二次函数图象特征
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查顶点式参数与图象性质的对应关系，解题难度低，只要熟练掌握二次函数顶点式的基础概念即可快速解答，是巩固基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.9
