探究 ，在圆形的纸片上画一个以圆心O为顶点的∠AOB,并把它剪下,把∠AOB绕圆心O旋转一个角度到∠A'OB'的位置,同时在该圆形纸上记下,连接AB,A'B',在这个过程中,你能发现哪些等量关系?
(1)根据旋转的性质,得∠AOB = ∠.
(2)由于同圆的半径相等,所以线段OA和线段重合,线段和线段重合,从而点A和点重合,点和点B'重合.因此,$\overset{\frown}{AB}$与重合,AB与重合,即$\overset{\frown}{AB}$ = , = A'B'.
归纳 (1)顶点在的角叫作圆心角.
(2)在同圆或等圆中,弧、弦、圆心角之间的关系如下表所示:
| 弧、弦、圆心角 | 示意图 | 等圆心角⇒等弧、等弦 | 等弧⇒等圆心角、等弦 | 等弦⇒等圆心角、等弧 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 等弧 ←→ 等弦
↙ ↗
等圆心角 | | ∵∠1 = ∠2,
∴$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{A'B'}$ ,
AB = A'B' | ∵$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{A'B'}$ ,
∴∠1 = ∠2 ,
AB = A'B' | ∵AB = A'B' ,
∴∠1 = ∠2 ,
$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{A'B'}$ |

探究 (1) A'OB'
(2) OA' OB OB' A' B $\overset{\frown}{A'B'}$ A'B' $\overset{\frown}{A'B'}$ AB
归纳 (1) 圆心

【分析】
这道题围绕圆的旋转不变性展开，考查旋转的性质、同圆半径的特征以及圆心角、弧、弦的对应关系。解题时首先回忆旋转的性质：旋转前后对应角相等、对应线段相等；再结合同圆所有半径相等的特点，就能推出旋转后对应的点、弧、弦都互相重合，进而得到等量关系；最后根据概念直接填写圆心角的定义即可。
【解析】
探究部分
(1) 根据旋转的性质，旋转前后对应角大小相等，∠AOB绕圆心O旋转后得到∠A'OB'，因此∠AOB = ∠A'OB'。
(2) 同圆的半径长度全部相等，旋转时半径OA绕O旋转后对应半径OA'，所以OA和OA'重合；同理半径OB对应旋转后的OB'，所以OB和OB'重合。端点重合的情况下，点A与A'重合，点B与B'重合。端点都重合的弧和弦也完全重合，因此$\overset{\frown}{AB}$与$\overset{\frown}{A'B'}$重合，弦AB与A'B'重合，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{A'B'}$，$AB = A'B'$。
归纳部分
(1) 根据圆心角的定义，顶点在圆心的角叫做圆心角。
【答案】
探究 (1) $\boldsymbol{A'OB'}$
(2) $\boldsymbol{OA'}$；$\boldsymbol{OB}$；$\boldsymbol{OB'}$；$\boldsymbol{A'}$；$\boldsymbol{B}$；$\boldsymbol{\overset{\frown}{A'B'}}$；$\boldsymbol{A'B'}$；$\boldsymbol{\overset{\frown}{A'B'}}$；$\boldsymbol{AB}$
归纳 (1) $\boldsymbol{圆心}$
【知识点】
旋转的性质；圆心角的定义；弧弦圆心角的关系
【点评】
本题属于基础探究类题目，通过动手操作的形式引导学生理解圆的旋转不变性，掌握同圆或等圆中圆心角、弧、弦三者的对应等量关系，是后续解决圆相关证明、计算问题的重要基础。
【难度系数】
0.85

1.【例1】如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$,$∠1=45°$,则$∠2=$（）

A.$60°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$40°$

1. C

【分析】
解题时首先提取已知条件：①已知是在同圆$\odot O$中；②$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$；③$∠1=45°$，要求$∠2$的度数。接下来联想到圆的基本性质：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等。然后找到两个弧对应的圆心角：$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角是$∠1$，$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角是$∠2$，由此可推出$∠2=∠1$，代入已知角度即可得到答案。
【解析】
解：$\because$在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等，可得$∠1=∠2$，
又$\because∠1=45°$，
$\therefore∠2=45°$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
弧与圆心角的关系
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆中弧和圆心角的对应性质，解题的关键是准确找到等弧对应的圆心角，熟记相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

3.【例2】如图，在$\odot O$中，AB是直径，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，$∠ AOE=60°$，则$∠ BOC$的度数为（）

A.$35°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$60°$

3. B

【分析】
首先，AB是圆的直径，可得∠AOB为平角即180°，结合已知∠AOE=60°，可先求出∠BOE的度数。再根据同圆中等弧所对的圆心角相等的性质，因为$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，所以它们对应的三个圆心角相等，而这三个角的和就是∠BOE，将∠BOE平均分成3份，每份的度数就是∠BOC的度数。
【解析】
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ AOB=180°$，
∴$∠ BOE=∠ AOB-∠ AOE=180°-60°=120°$，
又
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，
∴$∠ BOC=∠ COD=∠ DOE$（同圆中，等弧所对的圆心角相等），
∴$∠ BOC=\frac{1}{3}∠ BOE=\frac{1}{3}×120°=40°$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
1. 等弧对等圆心角
2. 直径对应平角
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，核心是利用同圆中弧与圆心角的对应关系求解，熟练掌握基础性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8

2. 如图，BC是$\odot O$的弦，点A是BC的中点，$AB=3$，$∠ B=20°$，则$AC=$，$∠ C=$。

2. 3 20°

【分析】
首先结合图形和题意可知，点A是劣弧BC的中点，可得弧AB与弧AC相等。接下来调用圆的相关性质解题：第一，等弧所对的弦长度相等，可直接推出AC与AB的长度关系；第二，等弧所对的圆周角相等，∠B对应弧AC，∠C对应弧AB，弧相等则对应的圆周角相等，可推出∠C与∠B的度数关系，按照这个思路就能直接得到结果。
【解析】
解：
∵点A是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，
根据等弧对等弦的性质，可得$AC=AB=3$；
∵圆周角∠B对的弧是$\overset{\frown}{AC}$，圆周角∠C对的弧是$\overset{\frown}{AB}$，且$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，
根据等弧所对的圆周角相等，可得$∠C=∠B=20°$。
【答案】
3；20°
【知识点】
弧中点的性质；等弧对等弦；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的性质的基础应用题，核心考查弧、弦、圆周角三者的对应关系，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9

4. 如图,在$\odot O$中,$BD = AC$, $∠ AOB = 45°$,则$∠ COD$的度数为 ()

A.$30°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$60°$

4. C

【分析】
解题时首先回忆圆的基本性质：在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等。题目给出$BD=AC$，因此两条弦对应的圆心角相等，即$∠ BOD=∠ AOC$。观察两个角的组成，二者都包含公共角$∠ BOC$，通过角的和差关系消去公共角，即可得到$∠ COD$和已知$∠ AOB$的等量关系，代入数值就能求出$∠ COD$的度数。
【解析】
在$\odot O$中，
∵ 弦$BD=AC$，根据同圆中相等的弦所对的圆心角相等，
∴ $∠ BOD = ∠ AOC$，
又
∵ $∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC$，$∠ BOD = ∠ COD + ∠ BOC$，
∴ $∠ AOB + ∠ BOC = ∠ COD + ∠ BOC$，
两边同时减去$∠ BOC$可得：$∠ COD = ∠ AOB$，
已知$∠ AOB=45°$，
∴ $∠ COD=45°$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
圆心角弧弦的关系；角的和差运算
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题型，重点考查同圆中弦与对应圆心角的等量关系，结合简单的角的和差计算即可求解，熟练掌握圆心角、弧、弦三者的对应相等关系是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.9