7. (★)已知∠AOB=80°, ∠BOC=30°,则∠AOC的度数为 【 】

A.50°
B.110°
C.50°或110°
D.无法确定

C

【分析】
本题没有给出OC的具体位置，因此需要分两种情况讨论OC与∠AOB的位置关系：①OC在∠AOB的内部；②OC在∠AOB的外部，再分别结合角的和差关系计算∠AOC的度数即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当OC在∠AOB内部时，根据角的差的关系，∠AOC = ∠AOB - ∠BOC，代入数值得：∠AOC = 80° - 30° = 50°；
2. 当OC在∠AOB外部时，根据角的和的关系，∠AOC = ∠AOB + ∠BOC，代入数值得：∠AOC = 80° + 30° = 110°。
综上，∠AOC的度数为50°或110°，故选C。
【答案】
C
【知识点】
角的和差运算，分类讨论思想
【点评】
本题是无图几何题的典型考法，解题的关键是考虑所有符合条件的位置情况，避免因漏算某一种情况导致出错。
【难度系数】
0.8

8. (★)计算：
(1)$56°36'+72°42'$；
(2)$180°-36°45'$.

解：
(1) 原式 = (56°+72°)+(36'+42')
= 128°+78'
= 128°+1°18'
= 129°18'
(2) 原式 = 179°60' - 36°45'
= (179°-36°)+(60'-45')
= 143°+15'
= 143°15'

【分析】
本题考查度分秒的加减运算，首先明确度分秒是60进制，即1°=60'，运算规则为同单位相加减：
1. 做加法运算时，分别将度与度相加、分与分相加，若分的计算结果≥60，需将分换算为度和剩余分，向度的部分进位；
2. 做减法运算时，若被减数的分小于减数的分，需先从被减数的度部分借1°当作60'，调整被减数的单位后，再分别将度与度相减、分与分相减。
【解析】
(1) 计算$56°36'+72°42'$时，先合并同单位的量：
原式 = $(56°+72°)+(36'+42')$
$= 128°+78'$
因为$78'=60'+18'=1°18'$，代入得：
$= 128°+1°18'$
$= 129°18'$
(2) 计算$180°-36°45'$时，先将$180°$转化为$179°60'$便于分位相减：
原式 = $179°60' - 36°45'$
$= (179°-36°)+(60'-45')$
$= 143°+15'$
$= 143°15'$
【答案】
(1)$\boxed{129°18'}$；(2)$\boxed{143°15'}$
【知识点】
度分秒的换算、角的和差运算、度分秒60进制
【点评】
本题属于角度运算的基础题型，解题核心是熟练掌握度分秒的60进制规则，加法注意满60进位，减法注意借1当60，掌握规则后即可快速准确计算。
【难度系数】
0.9

9. (★)如图,正方形网格中有∠α和∠β,若每个小正方形的边长都为1,则∠α与∠β的大小关系为
【】

A.∠α＜∠β
B.∠α=∠β
C.∠α＞∠β
D.无法估测

A

【分析】
比较两个锐角的大小，核心是比较它们的张口大小，张口越大角越大。我们可以利用网格的特点，给两个角分别构造出直角边为整格长度的直角三角形，固定水平方向的直角边长度相同，比较垂直方向直角边的长度：垂直边越长，说明角的张口越大，角就越大，按照这个思路就能判断两个角的大小关系。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 观察∠α：以∠α的顶点为端点，沿水平方向取3个单位长度作为直角三角形的一条直角边，过这个端点作水平线的垂线，与∠α的另一条边相交，得到的垂直直角边长度为3。
2. 观察∠β：同样以∠β的顶点为端点，沿水平方向取3个单位长度作为直角三角形的一条直角边，过这个端点作水平线的垂线，与∠β的另一条边相交，得到的垂直直角边长度为4。
3. 大小判断：当水平直角边长度相同时，垂直直角边越长，说明角的两条边张开的程度越大，角就越大。因为3＜4，所以∠α的张口小于∠β的张口，即∠α＜∠β。
【答案】
A
【知识点】
角的大小比较，正方形网格的应用
【点评】
本题主要考查角的大小比较的灵活运用，解题时结合网格特征，将角的大小比较转化为直角边长度的比较，直观易懂，避免盲目估测。
【难度系数】
0.7

10. (★)用一副三角尺不能准确画出的角度是 【 】
A. $15°$
B. $30°$
C. $105°$
D. $40°$
11. (★)计算:
(1) $84°46'+6°23' =$ ;
(2) $52°37'-31°15'12'' =$ .

10. $\boldsymbol{D}$
11. (1) $\boldsymbol{91°9'}$；(2) $\boldsymbol{21°21'48''}$

【分析】
第10题：解题时首先回忆一副三角尺的固定角度为30°、45°、60°、90°，可画出的角均为上述角度的和或差，也就是15°的整数倍，逐一验证选项即可判断。
第11题：度分秒采用60进制，加法运算规则为同单位相加，满60向高一级单位进1；减法运算时若低一级单位数值不足，需从高一级单位借1当作60再计算，按规则分步计算即可得到结果。
【解析】
10. 一副三角尺的角度分别为30°、60°、90°和45°、45°、90°：
A选项：$15°=45°-30°$，可准确画出；
B选项：30°是三角尺自带的角度，可准确画出；
C选项：$105°=60°+45°$，可准确画出；
D选项：40°不是15°的整数倍，无法通过三角尺角度的和或差得到，不能准确画出。
故选D。
11. (1) 计算$84°46'+6°23'$：
同单位分别相加，得$84°+6°=90°$，$46'+23'=69'$；
根据60进制规则，$69'=1°9'$，因此总和为$90°+1°9'=91°9'$。
(2) 计算$52°37'-31°15'12''$：
被减数没有秒位，先将$52°37'$换算为$52°36'60''$（从分位借1'当作60''）；
同单位分别相减，得$52°-31°=21°$，$36'-15'=21'$，$60''-12''=48''$，因此结果为$21°21'48''$。
【答案】
10. $\boldsymbol{D}$
11. (1) $\boldsymbol{91°9'}$；(2) $\boldsymbol{21°21'48''}$
【知识点】
三角尺的角度特征；度分秒的换算；度分秒的加减运算
【点评】
这两道题是角的相关基础题，第10题考查对三角尺角度的灵活运用，第11题考查度分秒60进制的运算规则，熟练掌握基础概念和运算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9

12. (★★)如图①,将两块直角三角尺的直角顶点A叠放在一起.
(1)若$∠PAQ=45°$,则$∠CAB$的度数为;若$∠CAB=130°$,则$∠PAQ$的度数为.
(2)猜想$∠CAB$与$∠PAQ$有何数量关系,并说明理由.
(3)如图②,若将两个同样大小的直角三角尺$45°$锐角的顶点A重合在一起,请直接写出$∠PAB$与$∠CAQ$的数量关系.

解：
(1) $135°$；$50°$
(2) 猜想：$∠ CAB + ∠ PAQ = 180°$，理由如下：
由题意可知 $∠ CAP = 90°$，$∠ BAQ = 90°$，
所以 $∠ CAB = ∠ CAP + ∠ BAP = 90° + ∠ BAP$，
又 $∠ BAP = ∠ BAQ - ∠ PAQ = 90° - ∠ PAQ$，
将$∠ BAP$代入得：$∠ CAB = 90° + 90° - ∠ PAQ$，
整理得 $∠ CAB + ∠ PAQ = 180°$。
(3) $∠ PAB + ∠ CAQ = 90°$。

【分析】
本题可结合直角三角尺的角度特性，通过角的拆分与和差运算求解：
(1) 两个三角尺的直角顶点重合，可得∠CAP=∠BAQ=90°。若已知∠PAQ，先计算∠BAP=∠BAQ-∠PAQ，再计算∠CAB=∠CAP+∠BAP；若已知∠CAB，先计算∠BAP=∠CAB-∠CAP，再计算∠PAQ=∠BAQ-∠BAP。
(2) 推导∠CAB与∠PAQ的关系时，可将两个角都用公共角∠BAP表示，消去公共角即可得到二者的数量关系。
(3) 两个45°角顶点重合时，将∠PAB、∠CAQ用公共角∠CAB表示，消去公共角即可推出二者的数量关系。
【解析】
(1) 由题意得∠CAP=∠BAQ=90°
① 当∠PAQ=45°时，$∠ BAP=∠ BAQ-∠ PAQ=90°-45°=45°$
则$∠ CAB=∠ CAP+∠ BAP=90°+45°=135°$
② 当∠CAB=130°时，$∠ BAP=∠ CAB-∠ CAP=130°-90°=40°$
则$∠ PAQ=∠ BAQ-∠ BAP=90°-40°=50°$
(2) 猜想：$\boldsymbol{∠ CAB + ∠ PAQ = 180°}$，理由如下：
∵$∠ CAP=90°$，$∠ BAQ=90°$
∴$∠ CAB=∠ CAP + ∠ BAP=90°+∠ BAP$
$∠ PAQ=∠ BAQ - ∠ BAP=90°-∠ BAP$
两式相加得：$∠ CAB + ∠ PAQ=90°+∠ BAP + 90°-∠ BAP=180°$
(3) 由题意得$∠ PAC=∠ QAB=45°$
∵$∠ PAB=∠ PAC + ∠ CAB=45°+∠ CAB$
$∠ CAQ=∠ QAB - ∠ CAB=45°-∠ CAB$
两式相加得：$∠ PAB + ∠ CAQ=45°+∠ CAB + 45°-∠ CAB=90°$
【答案】
(1) $\boxed{135°}$；$\boxed{50°}$
(2) $\boxed{∠ CAB + ∠ PAQ = 180°}$，理由见解析
(3) $\boxed{∠ PAB + ∠ CAQ = 90°}$
【知识点】
角的和差计算，直角的性质，角度运算
【点评】
本题是角度计算的典型题型，侧重考查角的和差关系的应用，解题核心是找准角的拆分关系，通过公共角建立已知角和未知角的联系，熟练掌握角的和差运算即可顺利解答。
【难度系数】
0.7