基础知识·预习
问题1 一元二次方程的求根公式是什么？
问题2 公式里的a,b,c分别指什么？当方程里没有一次项或常数项时，b,c怎么代入公式？
问题3 所有的方程都能用公式法求解吗？

1. 对于一般形式的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$时，方程的求根公式为：$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
2. a是一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中的二次项系数，b是一次项系数，c是常数项；当方程没有一次项时，说明一次项系数为0，代入b=0即可；当方程没有常数项时，说明常数项为0，代入c=0即可。
3. 不是所有一元二次方程都能在实数范围内用公式法求解：当判别式$\Delta = b^2-4ac ＜ 0$时，一元二次方程没有实数根，此时在实数范围内无法用求根公式得到对应的实数解。

【分析】
这三个问题均属于公式法解一元二次方程的基础认知类问题，可按以下思路思考：①先回忆一元二次方程的一般形式，明确求根公式的推导前提是方程为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，再结合判别式的取值范围记忆求根公式；②明确$a、b、c$是对应一般形式下的各项系数，若方程缺某一项，即代表该项的系数为0，直接代入0即可；③结合实数范围内二次根式有意义的要求，可知根号下的数不能为负，因此判别式小于0时无实根，即可判断不是所有方程都能用公式法求实数根。
【解析】
1. 首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，先计算判别式$\Delta = b^2-4ac$，当$\Delta ≥0$时，方程存在两个实数根，可通过求根公式计算根的数值。
2. 对照一元二次方程的一般形式，$a$是二次项的系数，$b$是一次项的系数，$c$是常数项；如果方程没有一次项，说明一次项系数为0，代入公式时取$b=0$即可；如果方程没有常数项，说明常数项为0，代入公式时取$c=0$即可。
3. 结合实数范围内二次根式的取值要求，根号下的表达式不能为负数，因此当$\Delta = b^2-4ac ＜0$时，求根公式中的二次根式无意义，此时方程没有实数根，无法在实数范围内用公式法求解。
【答案】
1. 对于一般形式的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$时，方程的求根公式为：$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
2. a是一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中的二次项系数，b是一次项系数，c是常数项；当方程没有一次项时，说明一次项系数为0，代入b=0即可；当方程没有常数项时，说明常数项为0，代入c=0即可。
3. 不是所有一元二次方程都能在实数范围内用公式法求解：当判别式$\Delta = b^2-4ac ＜ 0$时，一元二次方程没有实数根，此时在实数范围内无法用求根公式得到对应的实数解。
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 一元二次方程项与系数
3. 判别式的应用
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础概念题，侧重考查求根公式相关的基础定义、适用条件的掌握情况，是后续熟练运用公式法解方程的核心基础，需准确记忆相关概念，避免因概念混淆出现代入系数错误、忽略判别式取值的问题。
【难度系数】
0.8

【典型例题】用公式法解下列方程.
(1)$x^2 - x = -2$.
(2)$x^2 - 2x = 2x + 1$.
(3)$(3x - 1)(x + 2) = 11x - 4$.
【解】(1)方程化为$x^2 - x + 2 = 0$,
此时$a=1,b=-1,c=2$,
所以$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×2 = -7 ＜ 0$.
方程无实数根.
(2)方程化为$x^2 - 4x - 1 = 0$,
此时$a=1,b=-4,c=-1$,
所以$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4×1×(-1) = 20 ＞ 0$.
方程有两个不相等的实数根$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{20}}{2×1} = 2 \pm \sqrt{5}$,
即$x_1 = 2 + \sqrt{5}, x_2 = 2 - \sqrt{5}$.
(3)方程化为$3x^2 - 6x + 2 = 0$,
此时$a=3,b=-6,c=2$,
所以$\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4×3×2 = 12 ＞ 0$.
方程有两个不相等的实数根$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{12}}{2×3} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$,
即$x_1 = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}, x_2 = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$.
规律方法 用公式法解一元二次方程的一般步骤:
(1)把一元二次方程化为一般形式.
(2)确定$a,b,c$的值.
(3)求出$b^2 - 4ac$的值.
(4)当$b^2 - 4ac ≥ 0$时,把$a,b,c$的值
代入求根公式,求出$x_1$和$x_2$的值.当$b^2 - 4ac ＜ 0$时,方程无实数根;当$b^2 - 4ac = 0$时,必须把原方程的根写成$x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$的形式,这样才能说明方程有两个相等的实数根.
【即学即练】
方程$x(x + 4) = x - 1$的一般形式为,其中$a =$, $b =$, $c =$,则$\Delta = b^2 - 4ac =$,进而方程的根为.

1. 一般形式 $x^2 + 3x + 1 = 0$
2. a 1
3. b 3
4. c 1
5. $\Delta$ 5
6. 方程的根 $x_1 = \frac{-3+\sqrt{5}}{2},x_2 = \frac{-3-\sqrt{5}}{2}$

【分析】
解题时需严格遵循公式法解一元二次方程的步骤：首先将原方程去括号、移项、合并同类项，化为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，再准确确定$a$（二次项系数）、$b$（一次项系数）、$c$（常数项）的取值，注意符号不能出错；接着代入判别式$\Delta = b^2-4ac$计算，判断根的情况，最后$\Delta≥0$时代入求根公式即可求出方程的根。
【解析】
1. 化方程为一般形式
先展开左边得$x(x+4)=x^2+4x$，原方程变形为：
$x^2+4x = x -1$
移项（移项要变号）、合并同类项得：
$x^2 + 3x + 1 = 0$
2. 确定$a,b,c$的值
对比一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$，可得$a=1$，$b=3$，$c=1$。
3. 计算判别式$\Delta$
代入公式$\Delta = b^2-4ac$得：
$\Delta = 3^2 - 4×1×1 = 9-4=5＞0$，方程有两个不相等的实数根。
4. 代入求根公式求根
将$a,b,\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{2×1}=\frac{-3±\sqrt{5}}{2}$
即$x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
$x^2 + 3x + 1 = 0$；$1$；$3$；$1$；$5$；$x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；根的判别式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础应用题型，核心考查解方程的标准步骤，易错点为移项时符号出错、确定$a,b,c$时漏带符号，熟练掌握步骤即可快速准确解题。
【难度系数】
0.8