1. （2026·杭州期末）已知$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$为直线$y=-2x+1$上的三个点，且$y_1＜y_2＜y_3$，则以下判断正确的是（）

A.若$y_1y_3＜0$，则$x_1x_2＞0$
B.若$y_1y_2＞0$，则$x_2x_3＞0$
C.若$y_2y_3＜0$，则$x_1x_3＞0$
D.若$y_2y_3＜0$，则$x_1x_2＞0$

1. D 解析:
∵ 直线y=-2x+1中,k=-2＜0,
∴ y随x增大而减小.
∵ y₁＜y₂＜y₃,
∴ x₁＞x₂＞x₃,A.若y₁y₃＜0,则y₁＜0,y₃＞0,对于y=-2x+1,当y=0时,x=$\frac{1}{2}$,当y＜0时,x＞$\frac{1}{2}$,当y＞0时,x＜$\frac{1}{2}$,
∴ x₁＞$\frac{1}{2}$,x₃＜$\frac{1}{2}$,而x₂的符号不能确定,
∴ 不能判定x₁x₂＞0,故A错误,不符合题意;B.若y₁y₂＞0,则y₁与y₂同号,若同为负数时,
∵ y₁＜y₂＜y₃,
∴ y₁＜0,y₂＜0,同理x₁＞$\frac{1}{2}$,x₂＞$\frac{1}{2}$,而x₃的符号不能确定,
∴ 不能判定x₂x₃＞0;若同为正数时,当0＜y₁＜y₂时,可以取y₁=0.5,y₂=0.8,y₃=3,此时x₁=0.25,x₂=0.1,x₃=-1,满足x₁＞x₂＞x₃,但x₂x₃＜0.综上,B错误,不符合题意;C.若y₂y₃＜0,则y₃与y₂异号,
∵ y₁＜y₂＜y₃,
∴ y₂＜0,y₃＞0,同理x₂＞$\frac{1}{2}$,x₃＜$\frac{1}{2}$,而x₁＞x₂,
∴ x₁＞$\frac{1}{2}$,
∴ 不能判定x₁x₃＞0,故C错误,不符合题意;D.若y₂y₃＜0,则y₃与y₂异号,
∵ y₁＜y₂＜y₃,
∴ y₂＜0,y₃＞0,同理x₂＞$\frac{1}{2}$,x₃＜$\frac{1}{2}$,而x₁＞x₂,
∴ x₁＞$\frac{1}{2}$,
∴ 能判定x₁x₂＞0,故D正确,符合题意.故选 D.

2. （2026·宁波期末）A,B两地相距80 km,甲、乙两人沿同一条路从A地到B地.甲、乙两人离开A地的距离s(单位:km)与时间t(单位:h)之间的关系如图所示,则下列结论:①乙比甲提前出发1 h;②甲行驶的速度为40 km/h;③当$t=3$时,甲、乙两人相距50 km;④在$0≤t≤3$内,当甲、乙两人相距10 km时,乙行驶了$\frac{9}{8}$ h或$\frac{15}{8}$ h.其中,正确的有 ()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

2. B 解析:根据甲行驶的函数图象可知,直线与x轴的交点为(1,0),即时间过了1 h甲的路程为0 km,即乙比甲提前出发1 h,故①正确,符合题意;根据函数图象知甲2个小时行驶了80 km,则甲的速度为$\frac{80}{2}$=40(km/h),故②正确,符合题意;设甲的表达式为$s_1 = kt + b$,代入$(1, 0)$,$(3, 80)$,得$\begin{cases}k+b=0,\\3k+b=80,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=40,\\b=-40,\end{cases}$则$s_1 = 40t - 40$,设乙的表达式为$s_2 = pt$,代入$(1.5, 20)$,得$20 = \frac{3}{2}p$,解得$p=\frac{40}{3}$,则$s_2=\frac{40}{3}t$,当$t=3$时,$s_1=80$,$s_2=\frac{40}{3}×3=40$,$\therefore s_1-s_2=40$,$\therefore$ 当$t=3$时,甲、乙两人相距40 km,故③错误,不符合题意;当甲出发前,乙比甲多行驶10 km时,根据题意得$10=\frac{40}{3}t$,解得$t=\frac{3}{4}$,当甲出发后,乙比甲多行驶10 km时,根据题意得$\frac{40}{3}t=40t-40+10$,解得$t=\frac{9}{8}$,当甲出发后,甲比乙多行驶10 km时,根据题意得$\frac{40}{3}t=40t-40-10$,解得$t=\frac{15}{8}$.综上,当$t=\frac{3}{4}$,$t=\frac{9}{8}$或$t=\frac{15}{8}$时,甲、乙两人相距10 km,故④错误,不符合题意.$\therefore$ 正确的个数为2个,故选 B.

3. ★★ (2026·衢州期末)如图,动点P从△ABC的顶点A出发,沿边AB→BC以每秒1个单位长度的速度匀速运动,运动到点C时停止.设点P运动的时间为x(s),AP的长为y,y关于x的函数图象如图所示,则△ABC的面积为 ()

A.15
B.16
C.$10\sqrt{5}$
D.$6\sqrt{14}$

3. C 解析:
∵ 动点P从△ABC的顶点A出发,沿边AB→BC以每秒1个单位长度的速度匀速运动,由函数图象可知动点P匀速运动6 s到达B,
∴ AB=a=1×6=6,$AC=2\sqrt{14}$,$AB+BC=(n+2)×1=n+2$,$\therefore BC=n-4$.如图,作$AD ⊥ BC$交BC于点D,作$AE=AB=a$交DC于点E,由垂线段最短结合函数图象可知,当点P到达点D时,对应$(m,b)$,即$AD=b$,$AB+BD=m$,$\therefore BD=m-6$,$CD=n+2-m$,由函数图象可知,当$AP=AB=a$时,$AB+BP=n$,即$AB+BE=n$,$\therefore BE=n-6$,$\therefore DE=BE-BD=n-m$.$\because AE=AB=a$,$AD ⊥ BC$,$\therefore BD=DE$,$\therefore m-6=n-m$,$\therefore n=2m-6$,$\therefore CD=n+2-m=2m-6+2-m=m-4$.$\because AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2$,$\therefore 6^2-(m-6)^2=(2\sqrt{14})^2-(m-4)^2$,$\therefore 36-m^2+12m-36 = 56 - m^2 + 8m - 16$, 解 得 $m = 10$,$\therefore BD=10-6=4$,$CD=10-4=6$,$\therefore BC=10$,$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt{5}$,$\therefore △ ABC$的面积$=\frac{1}{2}×10×2\sqrt{5}=10\sqrt{5}$.故选 C.

4. （2026·杭州期末）已知一次函数$y_1=ax(a≠0)$和$y_2=\frac{1}{2}x+1$，当$x≤1$时，函数$y_2$的图象在函数$y_1$的图象上方，则$a$的取值范围为。

4. $\frac{1}{2}≤a＜\frac{3}{2}$ 解析:可知$y_1=ax$过原点,$\because y_2=\frac{1}{2}x+1$中,$x=1$时,$y_2=\frac{3}{2}$,$\therefore$ 当$y_1=ax$过点$(1,\frac{3}{2})$时,$\frac{3}{2}=a×1$,得$a=\frac{3}{2}$;当$y_1=ax$与$y_2=\frac{1}{2}x+1$平行时,得$a=\frac{1}{2}$.由函数图象知,当$x≤1$时,函数$y_2$的图象在函数$y_1$的图象上方,$\therefore a$的取值范围为$\frac{1}{2}≤a＜\frac{3}{2}$.故答案为$\frac{1}{2}≤a＜\frac{3}{2}$.

5. （2026·金华月考）当前我国的军事国防能力稳步提升，特别是激光武器发展迅速.
(1)如图①，一束激光从点C出发，射向x轴上的点P，经过反射后射向点M，已知光线的反射满足反射定律(即反射角i=入射角i).若点C(0,2)，点P(1,0)，则直线MP与y轴的交点Q的坐标为；
(2)如图②，线段AB是一根激光感应器，其函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x+8(1≤x≤10)$，从点C(0,2)射出的激光射向位于x轴上的镜面DE，经过反射后MN恰好覆盖线段AB上的4个整数点(横、纵坐标都为整数的点)，则DE的最小值为.

5. (1)$(0,-2)$ (2)$\frac{20}{9}$ 解析:(1)如图,过C作$CC'// x$轴交MQ于$C'$.$\because$ 入射角等于反射角,$\therefore$ 点C和$C'$关于直线$x=1$对称,$\therefore C'(2,2)$.设直线MP的表达式为$y=kx+b$,将点P和点$C'$坐标代入,得$\begin{cases}2k+b=2,\\k+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=-2,\end{cases}$ $\therefore$ 直线MP的表达式为$y=2x-2$.令$x=0$,得$y=-2$,$\therefore Q(0,-2)$.
(2)当$1≤x≤10$时,直线AB:$y=-\frac{1}{2}x+8$经过$(2,7)$,$(4,6)$,$(6,5)$,$(8,4)$,$(10,3)$这5个整数点,$\therefore$ MN覆盖的4个整数点可能为$(2,7)$,$(4,6)$,$(6,5)$,$(8,4)$或$(4,6)$,$(6,5)$,$(8,4)$,$(10,3)$.由(1)可知,点C的反射光线会经过其关于x轴对称点$Q(0,-2)$,①当MN覆盖$(2,7)$,$(4,6)$,$(6,5)$,$(8,4)$四个点时,此时$M(2,7)$,$N(8,4)$,设直线MQ的表达式为$y=mx+n$,将点M和点Q坐标代入,得$\begin{cases}2m+n=7,\\n=-2,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=\frac{9}{2},\\n=-2,\end{cases}$ $\therefore$ 直线MQ的表达式为$y=\frac{9}{2}x-2$,$\therefore D(\frac{4}{9},0)$.同理可得直线NQ的表达式为$y=\frac{3}{4}x-2$,$\therefore E(\frac{8}{3},0)$,$\therefore DE=\frac{8}{3}-\frac{4}{9}=\frac{20}{9}$;②当MN覆盖$(4,6)$,$(6,5)$,$(8,4)$,$(10,3)$四个点时,同理可求直线MQ的表达式为$y=2x-2$,$\therefore D(1,0)$,直线NQ的表达式为$y=\frac{1}{2}x-2$,$\therefore E(4,0)$,$\therefore DE=3$.$\because \frac{20}{9}＜3$,$\therefore DE$最小值为$\frac{20}{9}$.