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1. 如图,在CD上作一点P,使它到OA,OB的距离相等,则点P是(
A.线段CD的中点
B.△OCD的边CD上的高与CD的交点
C.CD与∠AOB的平分线的交点
D.以上答案都不对
C
).A.线段CD的中点
B.△OCD的边CD上的高与CD的交点
C.CD与∠AOB的平分线的交点
D.以上答案都不对
答案
1. C
2. 如图，$PM = PN$，$∠ BOC = 30°$，则$∠ AOB=$
60°
。答案
2. 60°
3.如图,在平面内画∠AOB,在OA,OB上分别截取OD,OE,使OD=OE,过点D作OD的垂线,过点E作OE的垂线.若两条垂线相交于点P,则点P在∠DOE的平分线上吗?为什么?
答案
解 点 P 在∠DOE 的平分线上，
理由：
∵ OD ⊥ PD，OE ⊥ PE，OD=OE，
∴PO 平分∠DPE，即∠DPO=∠EPO，
∵DP⊥OD，PE⊥OE，
∴90°−∠DPO=90°−∠EPO，
即∠DOP=∠EOP，
∴OP 为∠DOE 的平分线，即点 P 在∠DOE 的平分线上。
理由：
∵ OD ⊥ PD，OE ⊥ PE，OD=OE，
∴PO 平分∠DPE，即∠DPO=∠EPO，
∵DP⊥OD，PE⊥OE，
∴90°−∠DPO=90°−∠EPO，
即∠DOP=∠EOP，
∴OP 为∠DOE 的平分线，即点 P 在∠DOE 的平分线上。
4. 如图，$∠ ADC + ∠ ABC = 180°$，$DC = BC$. 求证:点C在$∠ DAB$的平分线上.
答案
证明 如图，作 CE 垂直 AB，CF 垂直 AD 的延长线，垂足分别为 E，F，
∴∠BEC=∠DFC=90°。
∵∠ADC+∠ABC=180°,∠ADC+∠CDF=180°，
∴∠ABC=∠CDF。
在△CBE 和△CDF 中，
$\begin{cases}∠EBC=∠FDC,\\∠BEC=∠DFC,\\BC=DC,\end{cases}$
∴△CBE≌△CDF(AAS)，
∴FC=EC，
∴点 C 在∠DAB 的平分线上。
5. 如图，在$∠ AOB$的两边$OA$，$OB$上分别取$OM=ON$，$OD=OE$，$DN$和$EM$相交于点$C$. 求证：点$C$在$∠ AOB$的平分线上.
答案
证明 过点 C 作 CG⊥OA 于点 G，CF⊥OB 于点 F，如图，
在△MOE 和△NOD 中，
$\begin{cases}OM=ON,\\∠MOE=∠NOD,\\OE=OD,\end{cases}$
∴△MOE≌△NOD(SAS)，
∴$S_{△MOE}=S_{△NOD}$，即$S_{△MDC}=S_{△NEC}$。
∵OM=ON,OD=OE，
∴MD=NE,
∴CG=CF。
∵CG⊥OA,CF⊥OB，
∴点 C 在∠AOB 的平分线上。
