4. ★★★（科学思维 分类讨论）冬天，小德想做一个电热保温箱帮奶奶酿甜酒，他找到了$R_1$和$R_2$两根电热丝，电功率计量插座(如图甲)可为用电器提供220 V的电压，同时可测出用电器的功率。小德进行一系列测试和设计：
第一步：如图乙，小德把一根电热丝$R_1$用导线接入电功率计量插座，闭合开关，电功率计量插座的示数为88 W；

第二步：小德把另一根电热丝$R_2$以某种方式连入图乙电路后，闭合开关，电功率计量插座的示数为264 W。
(1)求$R_1$的阻值。
(2)求图乙中通电10 min，电热丝$R_1$消耗的电能。
(3)求$R_2$的阻值。
(4)小德在图丙中用电热丝$R_1$和$R_2$设计了一个高、中、低三挡位的电热器，其中$S_2$为温控开关，高、中两挡的功率之比为3:2，请把$R_1$、$R_2$、开关$S_1$的元件符号填在适当的位置，并简述各挡位的开关闭合情况和功率。(若计算结果除不尽，保留1位小数)

【解】(1)$R_1$ 的阻值 $ R_1=\frac{U^2}{P_1}=\frac{(220\ \mathrm{V})^2}{88\ \mathrm{W}}=550\ \Omega $。
(2)图乙中通电 10 min,电热丝 $ R_1 $ 消耗的电能 $ W=P_1 t=88\ \mathrm{W}×10×60\ \mathrm{s}=5.28×10^4\ \mathrm{J} $。
(3)把另一根电热丝 $ R_2 $ 连入图乙,总功率变大了,说明 $ R_1 $ 与 $ R_2 $ 并联, $ R_2 $ 的功率 $ P_2=P_{\mathrm{总}}-P_1=264\ \mathrm{W}-88\ \mathrm{W}=176\ \mathrm{W} $,
$ R_2 $ 的阻值 $ R_2=\frac{U^2}{P_2}=\frac{(220\ \mathrm{V})^2}{176\ \mathrm{W}}=275\ \Omega $。
(4)两根电热丝并联,其总功率为 264 W,电热丝 $ R_1 $ 单独接入电路,其功率为 88 W,电热丝 $ R_2 $ 单独接入电路,其功率为 176 W,两电阻串联,电路总功率 $ P_{\mathrm{串}}=\frac{(220\ \mathrm{V})^2}{275\ \Omega+550\ \Omega}=58.7\ \mathrm{W} $,又因为 $ \frac{264\ \mathrm{W}}{176\ \mathrm{W}}=\frac{3}{2} $,与题意符合,故高挡位时开关 $ S_1 $ 闭合,温控开关 $ S_2 $ 接触 b,两根电热丝并联,其总功率为 264 W;中挡位为开关 $ S_1 $ 闭合,温控开关 $ S_2 $ 接 a, $ R_2 $ 单独接入电路,其功率为 176 W;低挡位为开关 $ S_1 $ 断开,温控开关 $ S_2 $ 接 a,两电热丝串联,其功率约为 58.7 W,故电路图如图所示。(合理即可)

5. [长沙中考]冬天，为了给鱼缸内的水加热，小星购买了标有“220 V 440 W”的电热丝$R_1$和标有“220 V 275 W”的电热丝$R_2$各一根，电热丝的电阻不随温度变化。
(1)求电热丝$R_1$正常工作时的电流。
(2)将$R_1$和$R_2$串联接入电路中，求$R_1$与$R_2$两端的电压之比。
(3)为了给鱼缸提供适宜的水温，小星想设计的加热电路需要满足以下要求：
(a)当水温低于$20\ °\mathrm{C}$时，启动高挡快速加热，功率为440 W；
(b)当水温在$20\ °\mathrm{C}$至$30\ °\mathrm{C}$之间时，启动低挡保温；
(c)当水温高于$30\ °\mathrm{C}$时，断开整个电路。
为此，他找到了4个温控开关(功能见下表)，从中选择两个开关设计了如图所示的电路。

①请在电路图相应的位置标出电热丝和所选开关的符号；
②按设计连好电路后，为调整功率，小星取下某一根电热丝，剪掉一截后接回原电路。再启动低挡，测得其中一根电热丝两端的电压为99 V，请计算此时电路的总功率。

【解】(1)电热丝 $ R_1 $ 正常工作时,根据 $ P=UI $ 知,电流 $ I_1=\frac{P_1}{U}=\frac{440\ \mathrm{W}}{220\ \mathrm{V}}=2\ \mathrm{A} $。
(2)由 $ P=\frac{U^2}{R} $ 可知,电热丝 $ R_1 $ 的电阻 $ R_1=\frac{U^2}{P_1}=\frac{(220\ \mathrm{V})^2}{440\ \mathrm{W}}=110\ \Omega $;电热丝 $ R_2 $ 的电阻 $ R_2=\frac{U^2}{P_2}=\frac{(220\ \mathrm{V})^2}{275\ \mathrm{W}}=176\ \Omega $;根据串联电路中各电阻两端电压之比等于电阻之比有 $ \frac{U_1}{U_2}=\frac{R_1}{R_2}=\frac{110\ \Omega}{176\ \Omega}=\frac{5}{8} $。
(3)①如图所示。

②未剪前,低挡时 $ R_1 $ 和 $ R_2 $ 串联; $ R_1 $ 两端的电压 $ U_1=IR_1=\frac{220\ \mathrm{V}}{176\ \Omega+110\ \Omega}×110\ \Omega=84.6\ \mathrm{V} $, $ R_2 $ 两端的电压 $ U_2=U-U_1=220\ \mathrm{V}-84.6\ \mathrm{V}=135.4\ \mathrm{V} $;
情况一:若剪短的是 $ R_1 $,将它接回原电路时,由串联分压的规律可知 $ U_1 $ 将减小, $ U_2 $ 将增大,都不可能变为 99 V,不符合题意;
情况二:若剪短的是 $ R_2 $,将它接回原电路时,由串联分压的规律可知 $ U_2 $ 将减小, $ U_1 $ 将增大,都有可能变为 99 V,符合题意;
(a)若将 $ R_2 $ 剪短后接回原电路, $ R_1 $ 两端的电压 $ U_1'=99\ \mathrm{V} $,低挡时电路的实际电流 $ I'=\frac{U_1'}{R_1}=\frac{99\ \mathrm{V}}{110\ \Omega}=0.9\ \mathrm{A} $,此时低挡的总功率 $ P_{\mathrm{总}}=UI'=220\ \mathrm{V}×0.9\ \mathrm{A}=198\ \mathrm{W} $;
(b)若 $ R_2 $ 剪短后接回原电路, $ R_2 $ 两端的电压 $ U_2'=99\ \mathrm{V} $,低挡时电路的实际电流 $ I''=I_1'=\frac{U_1''}{R_1}=\frac{220\ \mathrm{V}-99\ \mathrm{V}}{110\ \Omega}=1.1\ \mathrm{A} $,此时低挡的总功率 $ P_{\mathrm{总}}'=UI''=220\ \mathrm{V}×1.1\ \mathrm{A}=242\ \mathrm{W} $。
【点拨】(3)①当水温低于 20 ℃时,启动高挡快速加热,电路中电流较大,故把一根电热丝短路,故选择 $ S_1 $ 与左侧电阻并联,当水温高于 30 ℃时,断开整个电路,故选择 $ S_3 $ 放在右侧;根据启动高挡快速加热,功率为 440 W,可知标有“220 V 440 W”的电热丝 $ R_1 $ 是右侧的电阻;标出元件符号如图所示。