13.如图，BP平分$∠ ABC$交CD于点F，DP平分$∠ ADC$交AB于点E，AB与CD相交于点G，如果$∠ A=42°$，$∠ C=38°$，那么$∠ P$的度数为。

$\boldsymbol{40°}$

解：
根据三角形内角和与对顶角相等，可得：
在△ADE和△PEB中，$∠ A + ∠ ADE = ∠ P + ∠ ABE$ ①
在△PFD和△CFB中，$∠ C + ∠ CBF = ∠ P + ∠ PDF$ ②
∵ DP平分$∠ ADC$，BP平分$∠ ABC$
∴ $∠ ADE = ∠ PDF$，$∠ CBF = ∠ ABE$
将①+②，得：
$∠ A + ∠ ADE + ∠ C + ∠ CBF = 2∠ P + ∠ ABE + ∠ PDF$
抵消等式两边的相等项后可得：
$∠ A + ∠ C = 2∠ P$
代入$∠ A=42°$，$∠ C=38°$：
$∠ P = \frac{1}{2}(∠ A + ∠ C) = \frac{1}{2}×(42° + 38°) = 40°$
最终

14.已知$△ ABC$不是直角三角形，但$∠ A = 45°$，高$BD$和$CE$所在直线交于点$H$，求$∠ BHC$的度数.

解：分两种情况讨论：
1. 当△ABC为锐角三角形时：
∵ BD、CE是△ABC的高，
∴ ∠ADB = 90°，∠AEC = 90°。
在四边形AEHD中，
∠EHD = 360° - ∠A - ∠ADB - ∠AEC
= 360° - 45° - 90° - 90°
= 135°。
∵ ∠BHC与∠EHD是对顶角，
∴ ∠BHC = ∠EHD = 135°。
2. 当△ABC为钝角三角形时，不妨设∠ACB ＞ 90°：
∵ BD⊥AC，CE⊥AB，
∴ ∠ADH = 90°，∠AEC = 90°。
在Rt△ACE中，∠ACE = 180° - 90° - ∠A = 45°，
即∠HCD = ∠ACE = 45°。
在Rt△HDC中，∠HDC = 90°，
∴ ∠BHC = 180° - 90° - ∠HCD = 45°。
综上，∠BHC的度数为135°或45°。

15.(1)如图①,有一款车尾灯内两面镜子AB,BC互相垂直,当光线经过镜子反射时,$∠1=∠2,∠3=∠4$.说明为什么进入车尾灯的光线与离开车尾灯的光线互相平行.
(2)小明受车尾灯设计启发,进行实验尝试:
(ⅰ)如图②,两面镜子的夹角为$α(0°＜α＜90°)$时,进入车尾灯的光线与离开车尾灯的光线的夹角为$β(0°＜β＜90°)$.试探索$α$与$β$的数量关系;
(ⅱ)两面镜子的夹角为$α(90°＜α＜180°)$时,进入车尾灯的光线与离开车尾灯的光线所在直线的夹角为$β(0°＜β＜90°)$.请直接写出$α$与$β$的数量关系.

解：(1) 因为AB⊥BC，所以∠ABC=90°，
在△BEG中，∠2+∠3=180°-∠ABC=90°。
由题意得∠1=∠2，∠3=∠4，
所以∠1+∠2+∠3+∠4=2(∠2+∠3)=180°。
又因为∠FEG=180°-(∠1+∠2)，∠EGH=180°-(∠3+∠4)，
所以∠FEG+∠EGH=360°-(∠1+∠2+∠3+∠4)=180°，
根据同旁内角互补，两直线平行，可得EF//GH，
即进入车尾灯的光线与离开车尾灯的光线互相平行。
(2)(ⅰ) 在△BEG中，∠2+∠3=180°-α，
由∠1=∠2，∠3=∠4，得
∠1+∠2+∠3+∠4=2(∠2+∠3)=2(180°-α)=360°-2α。
在△EFG中，
β=180°-∠FEG-∠EGF
=180°-[180°-(∠1+∠2)]-[180°-(∠3+∠4)]
=∠1+∠2+∠3+∠4-180°
=360°-2α-180°
=180°-2α，
即2α+β=180°。
(ⅱ) β=2α-180°。