登录
14.(12分) [2026滁州模拟] 如图，三角形ABC在平面直角坐标系中，把三角形ABC先向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到三角形$A_1B_1C_1$.
(1)求三角形ABC的面积；
(2)请你在图中画出三角形$A_1B_1C_1$，并写出点$A_1$的坐标；
(3)若点$P(a,b)$是三角形ABC内一点，直接写出点$P$平移后对应点的坐标.
(1)求三角形ABC的面积；
(2)请你在图中画出三角形$A_1B_1C_1$，并写出点$A_1$的坐标；
(3)若点$P(a,b)$是三角形ABC内一点，直接写出点$P$平移后对应点的坐标.
答案
14.【解】(1)$S_{\mathrm{三角形}ABC}=4×5-\frac{1}{2}×4×2-\frac{1}{2}×1×3-\frac{1}{2}×3×5=20-4-1.5-7.5=7$。
(2)如图所示，三角形$A_1B_1C_1$即为所求，$A_1(1,1)$。
(3)由题意知，点$P(a,b)$平移后对应点的坐标为$(a+2,b+2)$。
解析
【分析】
(1) 求网格中斜三角形的面积优先用割补法：先找到能完全包围△ABC的最小矩形，用矩形面积减去矩形内△ABC周围三个直角三角形的面积即可。先确定三个顶点坐标，再分别计算矩形和三个小直角三角形的面积，作差就能得到△ABC的面积。
(2) 平移作图先算顶点平移后的坐标：平移规则为向上平移2个单位（纵坐标+2）、向右平移2个单位（横坐标+2），算出A、B、C三点平移后的坐标后描点连线，即可得到△A₁B₁C₁，代入A点原坐标就能算出A₁的坐标。
(3) 平移时点的坐标遵循“右加左减，上加下减”的变化规律，已知点P的坐标，结合平移规则直接套用规律即可得到对应点的坐标。
【解析】
(1) 由图可知A(-1,-1)，B(4,2)，C(1,3)，取包围△ABC的最小矩形，矩形横向长为$4-(-1)=5$，纵向宽为$3-(-1)=4$，则矩形面积为$4×5=20$。
矩形内△ABC外的三个直角三角形面积分别为：$\frac{1}{2}×4×2=4$，$\frac{1}{2}×1×3=1.5$，$\frac{1}{2}×3×5=7.5$。
因此$S_{△ ABC}=20-4-1.5-7.5=7$。
(2) 根据平移规则，各点平移后坐标为：$A_1(-1+2,-1+2)=(1,1)$，$B_1(4+2,2+2)=(6,4)$，$C_1(1+2,3+2)=(3,5)$，描出三点后依次连接，得到△A₁B₁C₁。
(3) 向右平移2个单位横坐标加2，向上平移2个单位纵坐标加2，因此点$P(a,b)$平移后对应点坐标为$(a+2,b+2)$。
【答案】
(1) $S_{\mathrm{三角形}ABC}=7$；
(2)，$A_1(1,1)$；
(3) 平移后对应点的坐标为$(a+2,b+2)$。
【知识点】
割补法求面积，平移作图，平移的坐标变化规律
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，既考察了动手作图能力，也考察了不规则图形面积计算方法和平移坐标变化规律的掌握程度，解题核心是熟练运用割补法和“右加左减、上加下减”的平移坐标规则。
【难度系数】
0.7
(1) 求网格中斜三角形的面积优先用割补法：先找到能完全包围△ABC的最小矩形，用矩形面积减去矩形内△ABC周围三个直角三角形的面积即可。先确定三个顶点坐标，再分别计算矩形和三个小直角三角形的面积，作差就能得到△ABC的面积。
(2) 平移作图先算顶点平移后的坐标：平移规则为向上平移2个单位（纵坐标+2）、向右平移2个单位（横坐标+2），算出A、B、C三点平移后的坐标后描点连线，即可得到△A₁B₁C₁，代入A点原坐标就能算出A₁的坐标。
(3) 平移时点的坐标遵循“右加左减，上加下减”的变化规律，已知点P的坐标，结合平移规则直接套用规律即可得到对应点的坐标。
【解析】
(1) 由图可知A(-1,-1)，B(4,2)，C(1,3)，取包围△ABC的最小矩形，矩形横向长为$4-(-1)=5$，纵向宽为$3-(-1)=4$，则矩形面积为$4×5=20$。
矩形内△ABC外的三个直角三角形面积分别为：$\frac{1}{2}×4×2=4$，$\frac{1}{2}×1×3=1.5$，$\frac{1}{2}×3×5=7.5$。
因此$S_{△ ABC}=20-4-1.5-7.5=7$。
(2) 根据平移规则，各点平移后坐标为：$A_1(-1+2,-1+2)=(1,1)$，$B_1(4+2,2+2)=(6,4)$，$C_1(1+2,3+2)=(3,5)$，描出三点后依次连接，得到△A₁B₁C₁。
(3) 向右平移2个单位横坐标加2，向上平移2个单位纵坐标加2，因此点$P(a,b)$平移后对应点坐标为$(a+2,b+2)$。
【答案】
(1) $S_{\mathrm{三角形}ABC}=7$；
(2)
，$A_1(1,1)$；(3) 平移后对应点的坐标为$(a+2,b+2)$。
【知识点】
割补法求面积，平移作图，平移的坐标变化规律
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，既考察了动手作图能力，也考察了不规则图形面积计算方法和平移坐标变化规律的掌握程度，解题核心是熟练运用割补法和“右加左减、上加下减”的平移坐标规则。
【难度系数】
0.7
15.(12分) 在如图所示的平面直角坐标系中，点$A(-4,0),B(6,0),C(2,4),D(-3,2)$.
(1)求四边形ABCD的面积；
(2)在$y$轴上找一点$P$，使三角形$APB$的面积等于四边形$ABCD$面积的一半，求点$P$的坐标.
(1)求四边形ABCD的面积；
(2)在$y$轴上找一点$P$，使三角形$APB$的面积等于四边形$ABCD$面积的一半，求点$P$的坐标.
答案
15.【解】(1)如图，分别过 C,D 两点作 x 轴的垂线，垂足分别为 E,F。
由各点的坐标易得$AF=1,DF=2,EF=5,CE=4,BE=4$，
则$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{\mathrm{三角形}ADF}+S_{\mathrm{梯形}CDFE}+S_{\mathrm{三角形}BCE}=\frac{1}{2}×1×2+\frac{1}{2}×(2+4)×5+\frac{1}{2}×4×4=24$。
(2)因为$A(-4,0),B(6,0)$，所以$AB=10$。设三角形 APB 的边 AB 上的高为 h，则由$S_{\mathrm{三角形}APB}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{四边形}ABCD}$，得$\frac{1}{2}×10× h=\frac{1}{2}×24$，解得$h=2.4$。
又因为点 P 在 y 轴上，所以$P(0,2.4)$或$(0,-2.4)$。
解析
【分析】
(1) 四边形ABCD为不规则图形，无法直接套用面积公式求解，因此采用割补法转化为规则图形计算：过D、C两点分别作x轴的垂线，将四边形分割为直角三角形ADF、梯形CDFE、直角三角形BCE三部分，分别计算三个规则图形的面积后求和，即可得到四边形ABCD的面积。
(2) 首先计算线段AB的长度，根据△APB的面积是四边形ABCD面积的一半，利用三角形面积公式求出AB边上的高；由于点P在y轴上，其横坐标为0，且AB在x轴上，因此AB边上的高等于点P纵坐标的绝对值，分P在y轴正半轴、负半轴两种情况讨论，即可得到P点的坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 如图，分别过C,D两点作x轴的垂线，垂足分别为E,F。
由各点坐标计算可得：$AF=-3-(-4)=1$，$DF=2$，$EF=2-(-3)=5$，$CE=4$，$BE=6-2=4$。
则四边形ABCD的面积为三个规则图形面积之和：
$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ADF}+S_{\mathrm{梯形}CDFE}+S_{△ BCE}$
$=\frac{1}{2}×1×2+\frac{1}{2}×(2+4)×5+\frac{1}{2}×4×4$
$=1+15+8=24$。
(2) 由$A(-4,0)$、$B(6,0)$可得$AB=6-(-4)=10$。
设$△ APB$中AB边上的高为h，根据题意$S_{△ APB}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{四边形}ABCD}$，代入得：
$\frac{1}{2}×10×h=\frac{1}{2}×24$
解得$h=2.4$。
因为点P在y轴上，AB在x轴上，所以h等于点P纵坐标的绝对值，即$|y_P|=2.4$，因此$y_P=2.4$或$y_P=-2.4$，对应P点坐标为$(0,2.4)$或$(0,-2.4)$。
【答案】
(1) 四边形ABCD的面积为24；
(2) 点P的坐标为$(0,2.4)$或$(0,-2.4)$。
【知识点】
割补法求面积；坐标与图形性质；三角形面积计算
【点评】
本题考查平面直角坐标系中图形面积的求解和坐标轴上点的特征，第一问用到的割补法是坐标系中求解不规则图形面积的常用方法，可将未知问题转化为熟悉的规则图形面积计算问题；第二问需要注意y轴上的点位置不唯一，需考虑正负半轴两种情况，避免漏解，整体侧重对基础方法和思维严谨性的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 四边形ABCD为不规则图形，无法直接套用面积公式求解，因此采用割补法转化为规则图形计算：过D、C两点分别作x轴的垂线，将四边形分割为直角三角形ADF、梯形CDFE、直角三角形BCE三部分，分别计算三个规则图形的面积后求和，即可得到四边形ABCD的面积。
(2) 首先计算线段AB的长度，根据△APB的面积是四边形ABCD面积的一半，利用三角形面积公式求出AB边上的高；由于点P在y轴上，其横坐标为0，且AB在x轴上，因此AB边上的高等于点P纵坐标的绝对值，分P在y轴正半轴、负半轴两种情况讨论，即可得到P点的坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 如图，分别过C,D两点作x轴的垂线，垂足分别为E,F。
由各点坐标计算可得：$AF=-3-(-4)=1$，$DF=2$，$EF=2-(-3)=5$，$CE=4$，$BE=6-2=4$。
则四边形ABCD的面积为三个规则图形面积之和：
$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ADF}+S_{\mathrm{梯形}CDFE}+S_{△ BCE}$
$=\frac{1}{2}×1×2+\frac{1}{2}×(2+4)×5+\frac{1}{2}×4×4$
$=1+15+8=24$。
(2) 由$A(-4,0)$、$B(6,0)$可得$AB=6-(-4)=10$。
设$△ APB$中AB边上的高为h，根据题意$S_{△ APB}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{四边形}ABCD}$，代入得：
$\frac{1}{2}×10×h=\frac{1}{2}×24$
解得$h=2.4$。
因为点P在y轴上，AB在x轴上，所以h等于点P纵坐标的绝对值，即$|y_P|=2.4$，因此$y_P=2.4$或$y_P=-2.4$，对应P点坐标为$(0,2.4)$或$(0,-2.4)$。
【答案】
(1) 四边形ABCD的面积为24；
(2) 点P的坐标为$(0,2.4)$或$(0,-2.4)$。
【知识点】
割补法求面积；坐标与图形性质；三角形面积计算
【点评】
本题考查平面直角坐标系中图形面积的求解和坐标轴上点的特征，第一问用到的割补法是坐标系中求解不规则图形面积的常用方法，可将未知问题转化为熟悉的规则图形面积计算问题；第二问需要注意y轴上的点位置不唯一，需考虑正负半轴两种情况，避免漏解，整体侧重对基础方法和思维严谨性的考查。
【难度系数】
0.7
16.（12分）💥💥💥 初高衔接 已知在平面内有两点$P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$，这两点间的距离$P_1P_2=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$，特别地，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为$|x_2-x_1|$或$|y_2-y_1|$.
(1)已知点A的坐标为$(2,4)$，点B的坐标为$(-3,-8)$，则$AB=$
(2)已知$AB// y$轴，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为$-1$，则$AB=$
(3)已知三角形ABC各顶点的坐标分别为$A(-2,1),B(1,4),C(1,-2)$，请通过计算判断AB与AC的数量关系.
(1)已知点A的坐标为$(2,4)$，点B的坐标为$(-3,-8)$，则$AB=$
13
；(2)已知$AB// y$轴，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为$-1$，则$AB=$
6
；(3)已知三角形ABC各顶点的坐标分别为$A(-2,1),B(1,4),C(1,-2)$，请通过计算判断AB与AC的数量关系.
答案
16.【解】(1)13 (2)6
(3)因为$A(-2,1),B(1,4),C(1,-2)$，
所以$AB=\sqrt{(1+2)^2+(4-1)^2}=\sqrt{18}$，
$AC=\sqrt{(1+2)^2+(-2-1)^2}=\sqrt{18}$，
所以$AB=AC$。
(3)因为$A(-2,1),B(1,4),C(1,-2)$，
所以$AB=\sqrt{(1+2)^2+(4-1)^2}=\sqrt{18}$，
$AC=\sqrt{(1+2)^2+(-2-1)^2}=\sqrt{18}$，
所以$AB=AC$。
解析
【分析】
(1) 已知两点的具体坐标，直接代入通用两点间距离公式计算就能得到AB的长度；
(2) AB平行于y轴，属于两点所在直线平行于坐标轴的特殊情况，按照简化公式，用纵坐标差的绝对值计算距离即可；
(3) 要判断AB和AC的数量关系，只需要分别用两点间距离公式算出AB、AC的长度，再对比两个长度的大小即可。
【解析】
(1) 将A(2,4)、B(-3,-8)代入两点间距离公式：
$AB=\sqrt{[2-(-3)]^2+[4-(-8)]^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$
(2) 因为$AB// y$轴，两点距离为纵坐标差的绝对值：
$AB=|5-(-1)|=|6|=6$
(3) 分别计算AB、AC的长度：
$AB=\sqrt{[1-(-2)]^2+(4-1)^2}=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}$
$AC=\sqrt{[1-(-2)]^2+(-2-1)^2}=\sqrt{3^2+(-3)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}$
因此$AB=AC$
【答案】
(1)13；(2)6；(3)$AB=AC$
【知识点】
1. 两点间距离公式
2. 平行坐标轴的两点距离计算
3. 线段数量关系判定
【点评】
本题属于初高衔接类基础应用题，核心考查两点间距离公式的常规应用和特殊场景下的简化计算，掌握对应公式即可快速解题，通过计算边长判断线段相等也是平面几何中的常用方法。
【难度系数】
0.8
(1) 已知两点的具体坐标，直接代入通用两点间距离公式计算就能得到AB的长度；
(2) AB平行于y轴，属于两点所在直线平行于坐标轴的特殊情况，按照简化公式，用纵坐标差的绝对值计算距离即可；
(3) 要判断AB和AC的数量关系，只需要分别用两点间距离公式算出AB、AC的长度，再对比两个长度的大小即可。
【解析】
(1) 将A(2,4)、B(-3,-8)代入两点间距离公式：
$AB=\sqrt{[2-(-3)]^2+[4-(-8)]^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$
(2) 因为$AB// y$轴，两点距离为纵坐标差的绝对值：
$AB=|5-(-1)|=|6|=6$
(3) 分别计算AB、AC的长度：
$AB=\sqrt{[1-(-2)]^2+(4-1)^2}=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}$
$AC=\sqrt{[1-(-2)]^2+(-2-1)^2}=\sqrt{3^2+(-3)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}$
因此$AB=AC$
【答案】
(1)13；(2)6；(3)$AB=AC$
【知识点】
1. 两点间距离公式
2. 平行坐标轴的两点距离计算
3. 线段数量关系判定
【点评】
本题属于初高衔接类基础应用题，核心考查两点间距离公式的常规应用和特殊场景下的简化计算，掌握对应公式即可快速解题，通过计算边长判断线段相等也是平面几何中的常用方法。
【难度系数】
0.8
