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21.如图，在平面直角坐标系中，直线$y=-\frac{1}{2}x -1$与直线$y=-2x +2$相交于点P，并分别与x轴相交于点A，B。
(1)求交点P的坐标；
(2)求$△ PAB$的面积；
(3)请把图象中直线$y=-2x +2$在直线$y=-\frac{1}{2}x -1$上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量x的取值范围。
(1)求交点P的坐标；
(2)求$△ PAB$的面积；
(3)请把图象中直线$y=-2x +2$在直线$y=-\frac{1}{2}x -1$上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量x的取值范围。
答案
21.解:(1)由$\begin{cases}y=-\dfrac{1}{2}x-1,\\y=-2x+2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=2,\\y=-2,\end{cases}$
$\therefore P(2,-2).$
(2)直线$y=-\dfrac{1}{2}x-1$与直线$y=-2x+2$中,令$y=0,$
则$\begin{cases}-\dfrac{1}{2}x-1=0,\\-2x+2=0,\end{cases}$
解得$x=-2$与$x=1,$
$\therefore A(-2,0),B(1,0).$
$\therefore AB=3.$
$\therefore S_{△ PAB}=\dfrac{1}{2}AB·|y_P|=\dfrac{1}{2}×3×2=3.$
(3)如右图所示:
自变量$x$的取值范围是$x＜2.$
解析
【分析】
(1) 两条直线的交点坐标同时满足两个直线的解析式，因此可将两个解析式联立为二元一次方程组，解方程组得到的x、y值即为交点P的横、纵坐标。
(2) 要求△PAB的面积，首先需要确定底边AB的长度和对应高的长度：A、B是两条直线与x轴的交点，x轴上点的纵坐标为0，分别令两个解析式的y=0，求解得到A、B的横坐标，即可算出AB的长度；△PAB的高是点P到x轴的距离，即P点纵坐标的绝对值，最后代入三角形面积公式计算即可。
(3) 直线$y=-2x+2$在直线$y=-\frac{1}{2}x-1$上方，即相同x值下$y=-2x+2$的函数值更大，可通过观察图像判断范围：两条直线交点横坐标为2，交点左侧$y=-2x+2$位置更高，因此x的取值范围为$x＜2$，对应描黑交点左侧的$y=-2x+2$的部分即可。
【解析】
(1) 联立两条直线的解析式得方程组：
$\begin{cases}y=-\dfrac{1}{2}x-1\\y=-2x+2\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=2\\y=-2\end{cases}$，即$P(2,-2)$。
(2) 令两个解析式的$y=0$，得：
$\begin{cases}-\dfrac{1}{2}x-1=0\\-2x+2=0\end{cases}$
分别解得$x=-2$和$x=1$，因此$A(-2,0)$，$B(1,0)$，$AB=|1-(-2)|=3$。
点P到x轴的距离为$|y_P|=|-2|=2$，因此$S_{△ PAB}=\dfrac{1}{2}× AB × |y_P|=\dfrac{1}{2}×3×2=3$。
(3) 观察图像可得，交点P左侧直线$y=-2x+2$位置更高，对应自变量x的取值范围是$x＜2$，描黑部分见下图：
【答案】
(1) $P(2,-2)$；
(2) $△ PAB$的面积为3；
(3) 描黑部分如下图，自变量x的取值范围是$x＜2$。
【知识点】
一次函数交点求解；一次函数与坐标轴交点；一次函数与不等式
【点评】
本题是一次函数基础综合题，考察的都是一次函数的核心基础知识点，解题的关键是理解一次函数解析式和图像的对应关系，熟练掌握二元一次方程组的解法，这类题目是后续一次函数综合应用的基础，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.7
(1) 两条直线的交点坐标同时满足两个直线的解析式，因此可将两个解析式联立为二元一次方程组，解方程组得到的x、y值即为交点P的横、纵坐标。
(2) 要求△PAB的面积，首先需要确定底边AB的长度和对应高的长度：A、B是两条直线与x轴的交点，x轴上点的纵坐标为0，分别令两个解析式的y=0，求解得到A、B的横坐标，即可算出AB的长度；△PAB的高是点P到x轴的距离，即P点纵坐标的绝对值，最后代入三角形面积公式计算即可。
(3) 直线$y=-2x+2$在直线$y=-\frac{1}{2}x-1$上方，即相同x值下$y=-2x+2$的函数值更大，可通过观察图像判断范围：两条直线交点横坐标为2，交点左侧$y=-2x+2$位置更高，因此x的取值范围为$x＜2$，对应描黑交点左侧的$y=-2x+2$的部分即可。
【解析】
(1) 联立两条直线的解析式得方程组：
$\begin{cases}y=-\dfrac{1}{2}x-1\\y=-2x+2\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=2\\y=-2\end{cases}$，即$P(2,-2)$。
(2) 令两个解析式的$y=0$，得：
$\begin{cases}-\dfrac{1}{2}x-1=0\\-2x+2=0\end{cases}$
分别解得$x=-2$和$x=1$，因此$A(-2,0)$，$B(1,0)$，$AB=|1-(-2)|=3$。
点P到x轴的距离为$|y_P|=|-2|=2$，因此$S_{△ PAB}=\dfrac{1}{2}× AB × |y_P|=\dfrac{1}{2}×3×2=3$。
(3) 观察图像可得，交点P左侧直线$y=-2x+2$位置更高，对应自变量x的取值范围是$x＜2$，描黑部分见下图：
【答案】
(1) $P(2,-2)$；
(2) $△ PAB$的面积为3；
(3) 描黑部分如下图，自变量x的取值范围是$x＜2$。
【知识点】
一次函数交点求解；一次函数与坐标轴交点；一次函数与不等式
【点评】
本题是一次函数基础综合题，考察的都是一次函数的核心基础知识点，解题的关键是理解一次函数解析式和图像的对应关系，熟练掌握二元一次方程组的解法，这类题目是后续一次函数综合应用的基础，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.7
22.为了了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入(单位:百万元)的情况,从这两座城市的邮政企业中,各随机抽取了25家邮政企业,获得了它们4月份收入的数据,并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
a.甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下:(数据分成5组:$6≤x＜8$,$8≤x＜10$,$10≤x＜12$,$12≤x＜14$,$14≤x≤16$)
b.甲城市邮政企业4月份收入的数据在$10≤x＜12$这一组的是:
10.0 10.0 10.1 10.9 11.4 11.5 11.6 11.8
c.甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下:
根据以上信息,回答下列问题:
(1)写出表中$m$的值;
(2)在甲城市抽取的邮政企业中,记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为$p_1$.在乙城市抽取的邮政企业中,记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为$p_2$.比较$p_1,p_2$的大小,并说明理由;
(3)若乙城市共有200家邮政企业,估计乙城市的邮政企业4月份的总收入.(直接写出结果)
a.甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下:(数据分成5组:$6≤x＜8$,$8≤x＜10$,$10≤x＜12$,$12≤x＜14$,$14≤x≤16$)
b.甲城市邮政企业4月份收入的数据在$10≤x＜12$这一组的是:
10.0 10.0 10.1 10.9 11.4 11.5 11.6 11.8
c.甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下:
根据以上信息,回答下列问题:
(1)写出表中$m$的值;
(2)在甲城市抽取的邮政企业中,记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为$p_1$.在乙城市抽取的邮政企业中,记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为$p_2$.比较$p_1,p_2$的大小,并说明理由;
(3)若乙城市共有200家邮政企业,估计乙城市的邮政企业4月份的总收入.(直接写出结果)
答案
22.解:(1)由题意可得$m$为甲城市的中位数,由于总共有25家邮政企业,所以第13家邮政企业的收入作为该数据的中位数.
$\because 6≤ x＜8$有3家,$8≤ x＜10$有7家,
$10≤ x＜12$有8家,
$\therefore$中位数落在$10≤ x＜12$上,
$\therefore m=10.1.$
(2)由(1),得甲城市中位数低于平均数,则$p_1$最大为12个;乙城市中位数高于平均数,则$p_2$至少为13个,
$\therefore p_1＜p_2.$
(3)由题意,得$200×11=2200$(百万元).
答:乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200百万元.
$\because 6≤ x＜8$有3家,$8≤ x＜10$有7家,
$10≤ x＜12$有8家,
$\therefore$中位数落在$10≤ x＜12$上,
$\therefore m=10.1.$
(2)由(1),得甲城市中位数低于平均数,则$p_1$最大为12个;乙城市中位数高于平均数,则$p_2$至少为13个,
$\therefore p_1＜p_2.$
(3)由题意,得$200×11=2200$(百万元).
答:乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200百万元.
解析
【分析】
（1）求中位数$m$时，首先明确25个数据的中位数是从小到大排列后的第13个数据。先统计前两组的总频数，确定第13个数据所在的分组，再在该组的已知数据中找到对应位置的数即可得到$m$。
（2）比较$p_1$和$p_2$时，结合中位数和平均数的大小关系判断：中位数代表数据的中间水平，若中位数低于平均数，说明超过一半的数据小于平均数，高于平均数的数量不足一半；若中位数高于平均数，说明至少一半的数据大于平均数，高于平均数的数量不少于一半，由此即可比较二者大小。
（3）估计乙城市总收入时，用样本平均数代表总体平均水平，乘以总企业数即可得到总收入。
【解析】
(1) 甲城市共抽取25家邮政企业，数据的中位数是将收入从小到大排列后第13个数据。
由频数分布可知：$6≤x＜8$组有3家，$8≤x＜10$组有7家，前两组共$3+7=10$家；$10≤x＜12$组有8家，因此第11~18个数据都在$10≤x＜12$组内，第13个数据是该组从小到大排列的第$13-10=3$个。
该组数据从小到大排列为：10.0，10.0，10.1，10.9，11.4，11.5，11.6，11.8，第3个为10.1，故$m=10.1$。
(2) $p_1 ＜ p_2$，理由如下：
甲城市收入的中位数10.1低于平均数，说明前13个数据均小于平均数，因此收入高于平均收入的企业最多有$25-13=12$家，即$p_1 ≤12$；
乙城市收入的中位数高于平均数，说明后13个数据均大于等于中位数，即大于平均数，因此收入高于平均收入的企业至少有13家，即$p_2 ≥13$；
因此$p_1 ＜ p_2$。
(3) 用样本平均数估计总体平均收入，乙城市共200家邮政企业，平均收入为11百万元，因此总收入为$200×11=2200$（百万元）。
【答案】
(1) $m=10.1$；
(2) $p_1 ＜ p_2$；
(3) 2200百万元
【知识点】
中位数，频数分布直方图，用样本估计总体
【点评】
本题考查统计基础知识点的综合应用，重点考查对中位数、平均数概念的理解，以及利用样本特征估计总体的能力，解题的关键是准确把握中位数的取值位置，结合平均数大小判断数据分布情况。
【难度系数】
0.7
（1）求中位数$m$时，首先明确25个数据的中位数是从小到大排列后的第13个数据。先统计前两组的总频数，确定第13个数据所在的分组，再在该组的已知数据中找到对应位置的数即可得到$m$。
（2）比较$p_1$和$p_2$时，结合中位数和平均数的大小关系判断：中位数代表数据的中间水平，若中位数低于平均数，说明超过一半的数据小于平均数，高于平均数的数量不足一半；若中位数高于平均数，说明至少一半的数据大于平均数，高于平均数的数量不少于一半，由此即可比较二者大小。
（3）估计乙城市总收入时，用样本平均数代表总体平均水平，乘以总企业数即可得到总收入。
【解析】
(1) 甲城市共抽取25家邮政企业，数据的中位数是将收入从小到大排列后第13个数据。
由频数分布可知：$6≤x＜8$组有3家，$8≤x＜10$组有7家，前两组共$3+7=10$家；$10≤x＜12$组有8家，因此第11~18个数据都在$10≤x＜12$组内，第13个数据是该组从小到大排列的第$13-10=3$个。
该组数据从小到大排列为：10.0，10.0，10.1，10.9，11.4，11.5，11.6，11.8，第3个为10.1，故$m=10.1$。
(2) $p_1 ＜ p_2$，理由如下：
甲城市收入的中位数10.1低于平均数，说明前13个数据均小于平均数，因此收入高于平均收入的企业最多有$25-13=12$家，即$p_1 ≤12$；
乙城市收入的中位数高于平均数，说明后13个数据均大于等于中位数，即大于平均数，因此收入高于平均收入的企业至少有13家，即$p_2 ≥13$；
因此$p_1 ＜ p_2$。
(3) 用样本平均数估计总体平均收入，乙城市共200家邮政企业，平均收入为11百万元，因此总收入为$200×11=2200$（百万元）。
【答案】
(1) $m=10.1$；
(2) $p_1 ＜ p_2$；
(3) 2200百万元
【知识点】
中位数，频数分布直方图，用样本估计总体
【点评】
本题考查统计基础知识点的综合应用，重点考查对中位数、平均数概念的理解，以及利用样本特征估计总体的能力，解题的关键是准确把握中位数的取值位置，结合平均数大小判断数据分布情况。
【难度系数】
0.7
