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1[2025浙江杭州校级质检]已知P为线段AB的黄金分割点，且$AP＜PB$，则（
A.$AP^2 = AB · PB$
B.$AB^2 = AP · PB$
C.$PB^2 = AP · AB$
D.$AP · BP = AB$
C
）A.$AP^2 = AB · PB$
B.$AB^2 = AP · PB$
C.$PB^2 = AP · AB$
D.$AP · BP = AB$
答案
1.C 【解析】
∵ P 为线段 AB 的黄金分割点,且 AP＜ PB,
∴ $\frac{PB}{AB}=\frac{AP}{PB}$,即 $PB^2=AP · AB$. 故选 C.
∵ P 为线段 AB 的黄金分割点,且 AP＜ PB,
∴ $\frac{PB}{AB}=\frac{AP}{PB}$,即 $PB^2=AP · AB$. 故选 C.
解析
【分析】
解题首先要回忆黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比值等于较短部分与较长部分的比值。先根据题干给出的$AP＜PB$，判断出$PB$是较长线段，$AP$是较短线段，再代入黄金分割的比例关系，交叉相乘后对比选项即可得出答案。
【解析】
∵ P为线段AB的黄金分割点，且$AP＜PB$，
∴ 较长线段PB与全长AB的比等于较短线段AP与较长线段PB的比，即$\frac{PB}{AB}=\frac{AP}{PB}$，
根据比例的基本性质交叉相乘可得：$PB^2=AP·AB$。
故选C。
【答案】C
【知识点】
黄金分割的定义、比例的基本性质
【点评】
本题是黄金分割的基础考查题，解题核心是准确判断较长、较短线段，对应黄金分割的比例关系即可求解，做题时需注意题干给出的线段大小关系，避免因搞反长短段导致错误。
【难度系数】
0.8
解题首先要回忆黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比值等于较短部分与较长部分的比值。先根据题干给出的$AP＜PB$，判断出$PB$是较长线段，$AP$是较短线段，再代入黄金分割的比例关系，交叉相乘后对比选项即可得出答案。
【解析】
∵ P为线段AB的黄金分割点，且$AP＜PB$，
∴ 较长线段PB与全长AB的比等于较短线段AP与较长线段PB的比，即$\frac{PB}{AB}=\frac{AP}{PB}$，
根据比例的基本性质交叉相乘可得：$PB^2=AP·AB$。
故选C。
【答案】C
【知识点】
黄金分割的定义、比例的基本性质
【点评】
本题是黄金分割的基础考查题，解题核心是准确判断较长、较短线段，对应黄金分割的比例关系即可求解，做题时需注意题干给出的线段大小关系，避免因搞反长短段导致错误。
【难度系数】
0.8
2[2026上海静安区质检]已知点P为线段AB的黄金分割点，被分得的较长线段$PA=4\ \mathrm{cm}$，那么较短的线段$PB$的长度为（
A.$(2\sqrt{5}-2)\ \mathrm{cm}$
B.$(6-2\sqrt{5})\ \mathrm{cm}$
C.$(2\sqrt{5}+2)\ \mathrm{cm}$
D.$(6+2\sqrt{5})\ \mathrm{cm}$
A
）A.$(2\sqrt{5}-2)\ \mathrm{cm}$
B.$(6-2\sqrt{5})\ \mathrm{cm}$
C.$(2\sqrt{5}+2)\ \mathrm{cm}$
D.$(6+2\sqrt{5})\ \mathrm{cm}$
答案
2.A 【解析】
∵ P 是 AB 的黄金分割点,且 PA 是较长的线段,
∴ $\frac{PA}{AB}=\frac{PB}{PA}$. 设 $PB=x$ cm,则 $AB=(4+x)$ cm,
∴ $\frac{4}{4+x}=\frac{x}{4}$,即 $4×4=x×(4+x)$,整理得 $x^2+4x-16=0$,解得 $x=\frac{-4±\sqrt{4^2-4×1×(-16)}}{2×1}=\frac{-4±\sqrt{16+64}}{2}=\frac{-4±\sqrt{80}}{2}=\frac{-4±4\sqrt{5}}{2}=-2±2\sqrt{5}$.
∵ $x＞0$,
∴ $x=2\sqrt{5}-2$,
∴ $PB=(2\sqrt{5}-2)$ cm. 故选 A.
∵ P 是 AB 的黄金分割点,且 PA 是较长的线段,
∴ $\frac{PA}{AB}=\frac{PB}{PA}$. 设 $PB=x$ cm,则 $AB=(4+x)$ cm,
∴ $\frac{4}{4+x}=\frac{x}{4}$,即 $4×4=x×(4+x)$,整理得 $x^2+4x-16=0$,解得 $x=\frac{-4±\sqrt{4^2-4×1×(-16)}}{2×1}=\frac{-4±\sqrt{16+64}}{2}=\frac{-4±\sqrt{80}}{2}=\frac{-4±4\sqrt{5}}{2}=-2±2\sqrt{5}$.
∵ $x＞0$,
∴ $x=2\sqrt{5}-2$,
∴ $PB=(2\sqrt{5}-2)$ cm. 故选 A.
解析
【分析】
解题首先要回忆黄金分割的核心性质：若点是线段的黄金分割点，且PA为较长线段，则较长线段与整条线段的比值等于较短线段与较长线段的比值。本题已知较长线段PA的长度，要求较短线段PB，可先设PB的长度为x cm，得到整条线段AB的长度为(4+x)cm，再根据黄金分割的比例关系列方程求解，最后结合线段长度为正数的要求舍去不符合题意的解即可。
【解析】
∵ P是线段AB的黄金分割点，且PA为较长线段，
∴ 满足比例关系$\frac{PA}{AB}=\frac{PB}{PA}$。
设$PB=x\ \mathrm{cm}$，则线段$AB=PA+PB=(4+x)\ \mathrm{cm}$，
代入比例式得：$\frac{4}{4+x}=\frac{x}{4}$，
根据比例的基本性质交叉相乘得：$x(x+4)=4×4$，
整理为一元二次方程标准形式：$x^2+4x-16=0$，
用求根公式解得：$x=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4×1×(-16)}}{2×1}=\frac{-4\pm4\sqrt{5}}{2}=-2\pm2\sqrt{5}$，
∵ 线段长度为正数，即$x＞0$，
∴ 舍去负根$x=-2-2\sqrt{5}$，得$x=2\sqrt{5}-2$，
即$PB=(2\sqrt{5}-2)\ \mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
1.黄金分割的定义 2.比例的基本性质 3.一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是准确掌握黄金分割的比例关系，列方程求解后要注意结合实际意义舍去不符合要求的负根。
【难度系数】
0.7
解题首先要回忆黄金分割的核心性质：若点是线段的黄金分割点，且PA为较长线段，则较长线段与整条线段的比值等于较短线段与较长线段的比值。本题已知较长线段PA的长度，要求较短线段PB，可先设PB的长度为x cm，得到整条线段AB的长度为(4+x)cm，再根据黄金分割的比例关系列方程求解，最后结合线段长度为正数的要求舍去不符合题意的解即可。
【解析】
∵ P是线段AB的黄金分割点，且PA为较长线段，
∴ 满足比例关系$\frac{PA}{AB}=\frac{PB}{PA}$。
设$PB=x\ \mathrm{cm}$，则线段$AB=PA+PB=(4+x)\ \mathrm{cm}$，
代入比例式得：$\frac{4}{4+x}=\frac{x}{4}$，
根据比例的基本性质交叉相乘得：$x(x+4)=4×4$，
整理为一元二次方程标准形式：$x^2+4x-16=0$，
用求根公式解得：$x=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4×1×(-16)}}{2×1}=\frac{-4\pm4\sqrt{5}}{2}=-2\pm2\sqrt{5}$，
∵ 线段长度为正数，即$x＞0$，
∴ 舍去负根$x=-2-2\sqrt{5}$，得$x=2\sqrt{5}-2$，
即$PB=(2\sqrt{5}-2)\ \mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
1.黄金分割的定义 2.比例的基本性质 3.一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是准确掌握黄金分割的比例关系，列方程求解后要注意结合实际意义舍去不符合要求的负根。
【难度系数】
0.7
3 定义:如图(1),点P在线段MN上,若满足$MP^2 = PN·MN$,则称点P为线段MN的黄金分割点.如图(2),在$△ ABC$中,$AB=AC=1$,$∠ A=36°$,BD平分$∠ ABC$,交AC于点D.(1)求证:点D是线段AC的黄金分割点.(2)求出线段AD的长.
答案
3.(1)【证明】
∵ $∠ A=36°$,$AB=AC$,
∴ $∠ ABC=∠ C=72°$. 又
∵ BD 平分$∠ ABC$,
∴ $∠ DBC=∠ ABD=36°=∠ A$,
∴ $AD=BD$.
∵ $∠ BDC=∠ A+∠ ABD=72°=∠ C$,
∴ $BD=BC$,
∴ $AD=BD=BC$. 在$△ ABC$ 与$△ BDC$ 中,
∵ $∠ A=∠ DBC$,$∠ C=∠ C$,
∴ $△ ABC∽△ BDC$,
∴ $\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{DC}$,即 $BC^2=AC · DC$,即 $AD^2=AC · DC$,
∴ 点 D 是线段 AC 的黄金分割点.
(2)【解】设 $AD=x$,则 $DC=1-x$. 由(1)中的结论,得 $x^2=1-x$. 解得 $x=\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2}$ 或 $x=-\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2}$(舍去),
∴ $AD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
∵ $∠ A=36°$,$AB=AC$,
∴ $∠ ABC=∠ C=72°$. 又
∵ BD 平分$∠ ABC$,
∴ $∠ DBC=∠ ABD=36°=∠ A$,
∴ $AD=BD$.
∵ $∠ BDC=∠ A+∠ ABD=72°=∠ C$,
∴ $BD=BC$,
∴ $AD=BD=BC$. 在$△ ABC$ 与$△ BDC$ 中,
∵ $∠ A=∠ DBC$,$∠ C=∠ C$,
∴ $△ ABC∽△ BDC$,
∴ $\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{DC}$,即 $BC^2=AC · DC$,即 $AD^2=AC · DC$,
∴ 点 D 是线段 AC 的黄金分割点.
(2)【解】设 $AD=x$,则 $DC=1-x$. 由(1)中的结论,得 $x^2=1-x$. 解得 $x=\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2}$ 或 $x=-\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2}$(舍去),
∴ $AD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
解析
【分析】
(1)要证明点D是线段AC的黄金分割点，需根据定义推出$AD^2=AC· DC$。首先利用等腰三角形内角和性质求出底角，结合角平分线得到等角，推导出多组等边，再证明$△ ABC$与$△ BDC$相似，得到线段比例关系，将等线段替换即可得到符合黄金分割定义的等式。
(2)设AD的长度为$x$，用含$x$的式子表示出DC，代入(1)得到的等式列一元二次方程，求解后舍去不符合线段长度为正的负根，即可得到AD的长。
【解析】
(1)证明：
$\because ∠ A=36°$，$AB=AC$，
$\therefore ∠ ABC=∠ C=\frac{180°-36°}{2}=72°$。
$\because BD$平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ DBC=∠ ABD=36°=∠ A$，
$\therefore AD=BD$。
$\because ∠ BDC=∠ A+∠ ABD=36°+36°=72°=∠ C$，
$\therefore BD=BC$，
$\therefore AD=BD=BC$。
在$△ ABC$和$△ BDC$中，
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ DBC\\∠ C=∠ C\end{array} $，
$\therefore △ ABC∽△ BDC$，
$\therefore \frac{AC}{BC}=\frac{BC}{DC}$，即$BC^2=AC· DC$，
将$BC=AD$代入得$AD^2=AC· DC$，
$\therefore$点D是线段AC的黄金分割点。
(2)解：设$AD=x$，$\because AC=1$，$\therefore DC=1-x$。
由(1)的结论$AD^2=AC· DC$可得：
$x^2=1×(1-x)$，整理得$x^2+x-1=0$，
解得$x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$x_2=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$（线段长度为正，舍去）。
【答案】
(1)点D是线段AC的黄金分割点，证明如上；
(2)$AD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
【知识点】
黄金分割的定义；相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是等腰三角形、相似三角形与黄金分割的综合应用题，解题核心是通过角的关系推导等边，再借助相似得到的比例式转化为黄金分割所需的线段关系，计算时要注意结合实际意义舍去无效解。
【难度系数】
0.65
(1)要证明点D是线段AC的黄金分割点，需根据定义推出$AD^2=AC· DC$。首先利用等腰三角形内角和性质求出底角，结合角平分线得到等角，推导出多组等边，再证明$△ ABC$与$△ BDC$相似，得到线段比例关系，将等线段替换即可得到符合黄金分割定义的等式。
(2)设AD的长度为$x$，用含$x$的式子表示出DC，代入(1)得到的等式列一元二次方程，求解后舍去不符合线段长度为正的负根，即可得到AD的长。
【解析】
(1)证明：
$\because ∠ A=36°$，$AB=AC$，
$\therefore ∠ ABC=∠ C=\frac{180°-36°}{2}=72°$。
$\because BD$平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ DBC=∠ ABD=36°=∠ A$，
$\therefore AD=BD$。
$\because ∠ BDC=∠ A+∠ ABD=36°+36°=72°=∠ C$，
$\therefore BD=BC$，
$\therefore AD=BD=BC$。
在$△ ABC$和$△ BDC$中，
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ DBC\\∠ C=∠ C\end{array} $，
$\therefore △ ABC∽△ BDC$，
$\therefore \frac{AC}{BC}=\frac{BC}{DC}$，即$BC^2=AC· DC$，
将$BC=AD$代入得$AD^2=AC· DC$，
$\therefore$点D是线段AC的黄金分割点。
(2)解：设$AD=x$，$\because AC=1$，$\therefore DC=1-x$。
由(1)的结论$AD^2=AC· DC$可得：
$x^2=1×(1-x)$，整理得$x^2+x-1=0$，
解得$x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$x_2=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$（线段长度为正，舍去）。
【答案】
(1)点D是线段AC的黄金分割点，证明如上；
(2)$AD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
【知识点】
黄金分割的定义；相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是等腰三角形、相似三角形与黄金分割的综合应用题，解题核心是通过角的关系推导等边，再借助相似得到的比例式转化为黄金分割所需的线段关系，计算时要注意结合实际意义舍去无效解。
【难度系数】
0.65
4[2026山东济南期中]如图，玻璃瓶中装入不同质量的水，敲击时能发出不同的音符.实验发现，当水面高度AC与瓶高AB之比为黄金比$(AC＞BC)$时，可以敲击出音符“sol”的声音.若$AB=8\ \mathrm{cm}$，且敲击时发出音符“sol”的声音，则水面高度AC约为 (
A.$(4-2\sqrt{5})\mathrm{cm}$
B.$(4\sqrt{5}-4)\mathrm{cm}$
C.$(4\sqrt{5}+4)\mathrm{cm}$
D.$(2\sqrt{5}-2)\mathrm{cm}$
B
)A.$(4-2\sqrt{5})\mathrm{cm}$
B.$(4\sqrt{5}-4)\mathrm{cm}$
C.$(4\sqrt{5}+4)\mathrm{cm}$
D.$(2\sqrt{5}-2)\mathrm{cm}$
答案
4.B 【解析】由题意知水面高度 AC 与瓶高 AB 之比为黄金比$(AC＞BC)$,
∴ $AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×8=(4\sqrt{5}-4)$ cm. 故选 B.
∴ $AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×8=(4\sqrt{5}-4)$ cm. 故选 B.
解析
【分析】
解题时首先回忆黄金比的相关概念：当两条线段的比为黄金比时，较长线段与整条线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。本题已知$AC$与瓶高$AB$的比为黄金比，且$AC＞BC$，说明$AC$是$AB$上的较长线段，因此只需用$AB$的长度乘以黄金比即可求出$AC$的长度，计算后对比选项就能得到答案，也可先排除数值大于$8\mathrm{cm}$的不合理选项（如选项C）缩小范围。
【解析】
由题意得，水面高度$AC$与瓶高$AB$的比为黄金比，且$AC＞BC$，因此较长线段$AC$与总长度$AB$的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
将$AB=8\mathrm{cm}$代入计算：
$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}× AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×8=4(\sqrt{5}-1)=(4\sqrt{5}-4)\mathrm{cm}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
黄金分割，二次根式运算
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查黄金比的实际应用，解题的关键是明确黄金比的比值，结合题干中$AC＞BC$的条件确定对应比例关系，计算时注意二次根式的化简即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆黄金比的相关概念：当两条线段的比为黄金比时，较长线段与整条线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。本题已知$AC$与瓶高$AB$的比为黄金比，且$AC＞BC$，说明$AC$是$AB$上的较长线段，因此只需用$AB$的长度乘以黄金比即可求出$AC$的长度，计算后对比选项就能得到答案，也可先排除数值大于$8\mathrm{cm}$的不合理选项（如选项C）缩小范围。
【解析】
由题意得，水面高度$AC$与瓶高$AB$的比为黄金比，且$AC＞BC$，因此较长线段$AC$与总长度$AB$的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
将$AB=8\mathrm{cm}$代入计算：
$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}× AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×8=4(\sqrt{5}-1)=(4\sqrt{5}-4)\mathrm{cm}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
黄金分割，二次根式运算
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查黄金比的实际应用，解题的关键是明确黄金比的比值，结合题干中$AC＞BC$的条件确定对应比例关系，计算时注意二次根式的化简即可。
【难度系数】
0.8
5[2025广西河池质检]宽与长的比是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的矩形叫黄金矩形.心理测试表明:黄金矩形令人赏心悦目,它给我们以协调、匀称的美感.如图,现按照如下的步骤作图:
第一步:作一个正方形ABCD;
第二步:分别取AD,BC的中点M,N,连接MN;
第三步:以点N为圆心,ND长为半径画弧,交BC的延长线于点E;
第四步:过点E作EF⊥AD,交AD的延长线于F.
则所作图形中是黄金矩形的是 (
A.矩形MNCD
B.矩形DCEF
C.矩形MNEF
D.矩形DCEF和矩形ABEF
第一步:作一个正方形ABCD;
第二步:分别取AD,BC的中点M,N,连接MN;
第三步:以点N为圆心,ND长为半径画弧,交BC的延长线于点E;
第四步:过点E作EF⊥AD,交AD的延长线于F.
则所作图形中是黄金矩形的是 (
D
)A.矩形MNCD
B.矩形DCEF
C.矩形MNEF
D.矩形DCEF和矩形ABEF
答案
5.D 【解析】设正方形 ABCD 的边长为 2a. A 选项,
∵ 点 N 是 BC 的中点,
∴ $BN=CN=\frac{1}{2}BC=a$,
∴ $\frac{CN}{CD}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}≠\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
∴ 矩形 MNCD 不是黄金矩形. B 选项,在 $Rt△ DCN$ 中, $CN=a$, $CD=2a$,
∴ $DN=\sqrt{CN^2+CD^2}=\sqrt{a^2+(2a)^2}=\sqrt{5}a$. 由题意得 $DN=NE=\sqrt{5}a$,
∴ $CE=EN-CN=(\sqrt{5}-1)a$,
∴ $\frac{CE}{CD}=\frac{(\sqrt{5}-1)a}{2a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
∴ 矩形 DCEF 是黄金矩形. C 选项,
∵ 四边形 DCEF 是矩形,
∴ $EF=CD=2a$,
∴ $\frac{EF}{NE}=\frac{2a}{\sqrt{5}a}=\frac{2\sqrt{5}}{5}≠\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
∴ 矩形 MNEF 不是黄金矩形. D 选项,
∵ $BN=a$,$NE=\sqrt{5}a$,
∴ $BE=BN+NE=(\sqrt{5}+1)a$,
∴ $\frac{AB}{BE}=\frac{2a}{(\sqrt{5}+1)a}=\frac{2}{\sqrt{5}+1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
∴ 矩形 ABEF 是黄金矩形,
∴ 矩形 DCEF 和矩形 ABEF 都是黄金矩形. 故选 D.
∵ 点 N 是 BC 的中点,
∴ $BN=CN=\frac{1}{2}BC=a$,
∴ $\frac{CN}{CD}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}≠\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
∴ 矩形 MNCD 不是黄金矩形. B 选项,在 $Rt△ DCN$ 中, $CN=a$, $CD=2a$,
∴ $DN=\sqrt{CN^2+CD^2}=\sqrt{a^2+(2a)^2}=\sqrt{5}a$. 由题意得 $DN=NE=\sqrt{5}a$,
∴ $CE=EN-CN=(\sqrt{5}-1)a$,
∴ $\frac{CE}{CD}=\frac{(\sqrt{5}-1)a}{2a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
∴ 矩形 DCEF 是黄金矩形. C 选项,
∵ 四边形 DCEF 是矩形,
∴ $EF=CD=2a$,
∴ $\frac{EF}{NE}=\frac{2a}{\sqrt{5}a}=\frac{2\sqrt{5}}{5}≠\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
∴ 矩形 MNEF 不是黄金矩形. D 选项,
∵ $BN=a$,$NE=\sqrt{5}a$,
∴ $BE=BN+NE=(\sqrt{5}+1)a$,
∴ $\frac{AB}{BE}=\frac{2a}{(\sqrt{5}+1)a}=\frac{2}{\sqrt{5}+1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
∴ 矩形 ABEF 是黄金矩形,
∴ 矩形 DCEF 和矩形 ABEF 都是黄金矩形. 故选 D.
解析
【分析】
要判断哪个是黄金矩形，首先明确黄金矩形的判定依据：宽与长的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。解题时我们可以先设正方形ABCD的边长为2a（利用中点的性质，使分得的线段长度为a，简化计算），再通过勾股定理求出半径ND的长度，进而得到各矩形的相邻边长，逐一计算宽长比并和黄金比对比即可得出结论。
【解析】
设正方形ABCD的边长为2a：
1. 分析选项A（矩形MNCD）：
∵N是BC的中点，
∴$CN=\frac{1}{2}BC=a$，
则$\frac{CN}{CD}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}≠\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，故矩形MNCD不是黄金矩形，排除A。
2. 分析选项B（矩形DCEF）：
在$Rt△ DCN$中，$CN=a$，$CD=2a$，由勾股定理得：
$DN=\sqrt{CN^2+CD^2}=\sqrt{a^2+(2a)^2}=\sqrt{5}a$，
由作图可知$NE=DN=\sqrt{5}a$，
∴$CE=NE-CN=(\sqrt{5}-1)a$，
则$\frac{CE}{CD}=\frac{(\sqrt{5}-1)a}{2a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，故矩形DCEF是黄金矩形。
3. 分析选项C（矩形MNEF）：
矩形MNEF中，$EF=CD=2a$，$NE=\sqrt{5}a$，
则$\frac{EF}{NE}=\frac{2a}{\sqrt{5}a}=\frac{2\sqrt{5}}{5}≠\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，故矩形MNEF不是黄金矩形，排除C。
4. 分析选项D中的矩形ABEF：
$BE=BN+NE=a+\sqrt{5}a=(\sqrt{5}+1)a$，$AB=2a$，
则$\frac{AB}{BE}=\frac{2a}{(\sqrt{5}+1)a}=\frac{2}{\sqrt{5}+1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，故矩形ABEF也是黄金矩形。
综上，矩形DCEF和矩形ABEF都是黄金矩形，故选D。
【答案】
D
【知识点】
黄金矩形的判定，勾股定理，分母有理化
【点评】
本题结合作图考查黄金矩形的判定，解题的关键是合理设置参数简化线段长度的计算，计算比值时要注意区分宽和长，同时掌握分母有理化的运算方法，是黄金分割相关知识的典型应用题目。
【难度系数】
0.65
要判断哪个是黄金矩形，首先明确黄金矩形的判定依据：宽与长的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。解题时我们可以先设正方形ABCD的边长为2a（利用中点的性质，使分得的线段长度为a，简化计算），再通过勾股定理求出半径ND的长度，进而得到各矩形的相邻边长，逐一计算宽长比并和黄金比对比即可得出结论。
【解析】
设正方形ABCD的边长为2a：
1. 分析选项A（矩形MNCD）：
∵N是BC的中点，
∴$CN=\frac{1}{2}BC=a$，
则$\frac{CN}{CD}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}≠\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，故矩形MNCD不是黄金矩形，排除A。
2. 分析选项B（矩形DCEF）：
在$Rt△ DCN$中，$CN=a$，$CD=2a$，由勾股定理得：
$DN=\sqrt{CN^2+CD^2}=\sqrt{a^2+(2a)^2}=\sqrt{5}a$，
由作图可知$NE=DN=\sqrt{5}a$，
∴$CE=NE-CN=(\sqrt{5}-1)a$，
则$\frac{CE}{CD}=\frac{(\sqrt{5}-1)a}{2a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，故矩形DCEF是黄金矩形。
3. 分析选项C（矩形MNEF）：
矩形MNEF中，$EF=CD=2a$，$NE=\sqrt{5}a$，
则$\frac{EF}{NE}=\frac{2a}{\sqrt{5}a}=\frac{2\sqrt{5}}{5}≠\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，故矩形MNEF不是黄金矩形，排除C。
4. 分析选项D中的矩形ABEF：
$BE=BN+NE=a+\sqrt{5}a=(\sqrt{5}+1)a$，$AB=2a$，
则$\frac{AB}{BE}=\frac{2a}{(\sqrt{5}+1)a}=\frac{2}{\sqrt{5}+1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，故矩形ABEF也是黄金矩形。
综上，矩形DCEF和矩形ABEF都是黄金矩形，故选D。
【答案】
D
【知识点】
黄金矩形的判定，勾股定理，分母有理化
【点评】
本题结合作图考查黄金矩形的判定，解题的关键是合理设置参数简化线段长度的计算，计算比值时要注意区分宽和长，同时掌握分母有理化的运算方法，是黄金分割相关知识的典型应用题目。
【难度系数】
0.65
6 主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体.如图所示，如果舞台AB的长为12米，一名主持人现在站在A处，则她要到达最理想的位置至少走
$18-6\sqrt{5}$
米. 答案
6.$18-6\sqrt{5}$ 【解析】
如图所示,$AP＜BP$,所以 $AP=12×(1-\frac{\sqrt{5}-1}{2})=(18-6\sqrt{5})$ 米,即至少走 $(18-6\sqrt{5})$ 米.解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆黄金分割的定义：线段的黄金分割点将线段分为较长段和较短段，较长段与总线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（约0.618）。首先明确一条线段有2个黄金分割点，题目要求主持人从A出发走的距离最少，因此需要选择距离A点更近的黄金分割点，此时该点到A的距离是较短线段，到B的距离是较长线段，我们可以通过较短线段对应的比例乘以总长度求出需要走的距离。
【解析】
根据黄金分割的性质，较长线段与整条线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
要使主持人走的距离最短，需选择离A更近的黄金分割点P，此时$AP＜BP$，BP为较长线段：
$BP = AB × \frac{\sqrt{5}-1}{2}$
则$AP = AB - BP = AB × (1 - \frac{\sqrt{5}-1}{2})$
代入$AB=12$米：
$AP = 12 × \frac{3-\sqrt{5}}{2} = 6×(3-\sqrt{5}) = 18-6\sqrt{5}$（米）
【答案】
$18-6\sqrt{5}$
【知识点】
黄金分割的概念，线段长度计算
【点评】
本题考查黄金分割在实际场景中的应用，解题时需注意线段有两个黄金分割点，要结合题干“至少走多少米”的限制条件，选择距离起点更近的分割点，避免混淆长短线段的比例关系导致计算错误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆黄金分割的定义：线段的黄金分割点将线段分为较长段和较短段，较长段与总线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（约0.618）。首先明确一条线段有2个黄金分割点，题目要求主持人从A出发走的距离最少，因此需要选择距离A点更近的黄金分割点，此时该点到A的距离是较短线段，到B的距离是较长线段，我们可以通过较短线段对应的比例乘以总长度求出需要走的距离。
【解析】
根据黄金分割的性质，较长线段与整条线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
要使主持人走的距离最短，需选择离A更近的黄金分割点P，此时$AP＜BP$，BP为较长线段：
$BP = AB × \frac{\sqrt{5}-1}{2}$
则$AP = AB - BP = AB × (1 - \frac{\sqrt{5}-1}{2})$
代入$AB=12$米：
$AP = 12 × \frac{3-\sqrt{5}}{2} = 6×(3-\sqrt{5}) = 18-6\sqrt{5}$（米）
【答案】
$18-6\sqrt{5}$
【知识点】
黄金分割的概念，线段长度计算
【点评】
本题考查黄金分割在实际场景中的应用，解题时需注意线段有两个黄金分割点，要结合题干“至少走多少米”的限制条件，选择距离起点更近的分割点，避免混淆长短线段的比例关系导致计算错误。
【难度系数】
0.7
7[2026河北保定期中]如图所示的五角星中，$AD=BC$，且$C$，$D$两点都是$AB$的黄金分割点，若$AB=6$，则$CD$的长是
$6\sqrt{5}-12$
.(结果保留根号)答案
7.$6\sqrt{5}-12$ 【解析】
∵ C,D 两点都是 AB 的黄金分割点,
∴ $AC=BD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$,
∴ $BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB-CD$.
∵ $AC+BC=AB$,
∴ $\frac{\sqrt{5}-1}{2}×6+\frac{\sqrt{5}-1}{2}×6-CD=6$,
∴ $CD=6\sqrt{5}-12$. 故答案为 $6\sqrt{5}-12$.
∵ C,D 两点都是 AB 的黄金分割点,
∴ $AC=BD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$,
∴ $BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB-CD$.
∵ $AC+BC=AB$,
∴ $\frac{\sqrt{5}-1}{2}×6+\frac{\sqrt{5}-1}{2}×6-CD=6$,
∴ $CD=6\sqrt{5}-12$. 故答案为 $6\sqrt{5}-12$.
解析
【分析】
解题首先回忆黄金分割的定义：线段的黄金分割点将线段分为较长段和较短段，其中较长段的长度是原线段长度的$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。本题已知C、D都是AB的黄金分割点，因此可先得到AC、BD的长度表达式，再结合线段的和差关系，将已知AB的长度代入关系式即可求出CD的长。
【解析】
∵ C，D两点都是AB的黄金分割点，
∴ $AC=BD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$，
∵ $AC + BC = AB$，且$BC=BD-CD$，
把$AB=6$代入得：
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}×6 + (\frac{\sqrt{5}-1}{2}×6 - CD) = 6$，
计算得：$3(\sqrt{5}-1) + 3(\sqrt{5}-1) - CD = 6$，
即 $6\sqrt{5} -6 -CD =6$，
解得 $CD=6\sqrt{5}-12$。
【答案】
$6\sqrt{5}-12$
【知识点】
黄金分割，线段和差计算
【点评】
本题重点考查黄金分割的应用，解题的核心是牢记黄金分割的比值，准确梳理线段间的数量关系。
【难度系数】
0.6
解题首先回忆黄金分割的定义：线段的黄金分割点将线段分为较长段和较短段，其中较长段的长度是原线段长度的$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。本题已知C、D都是AB的黄金分割点，因此可先得到AC、BD的长度表达式，再结合线段的和差关系，将已知AB的长度代入关系式即可求出CD的长。
【解析】
∵ C，D两点都是AB的黄金分割点，
∴ $AC=BD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$，
∵ $AC + BC = AB$，且$BC=BD-CD$，
把$AB=6$代入得：
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}×6 + (\frac{\sqrt{5}-1}{2}×6 - CD) = 6$，
计算得：$3(\sqrt{5}-1) + 3(\sqrt{5}-1) - CD = 6$，
即 $6\sqrt{5} -6 -CD =6$，
解得 $CD=6\sqrt{5}-12$。
【答案】
$6\sqrt{5}-12$
【知识点】
黄金分割，线段和差计算
【点评】
本题重点考查黄金分割的应用，解题的核心是牢记黄金分割的比值，准确梳理线段间的数量关系。
【难度系数】
0.6
8 如图,点 E 是正方形 ABCD 的边 AB 上的黄金分割点,且 AE＞EB,以 AE 为边作正方形 AEHF,F 在 AD 上,延长 EH 交 CD 于点 I,连接 BF 交 EI 于点 G,连接 BI,则 $S_{△ BCI}:S_{△ FGH}$ 的值为
视频解析鸭
刷易错 小心有坑~
$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
.视频解析鸭
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答案
8.$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ 【解析】
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ $BC=CD=DA=AB$.
∵ 点 E 是正方形 ABCD 的边 AB 上的黄金分割点,且 $AE＞EB$,
∴ $\frac{AE}{AB}=\frac{BE}{AE}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
∵ 四边形 AEHF 是正方形,
∴ $EH=HF=FA=AE$,$FH// AE$,
∴ 易证 $△ FHG∽△ BEG$,
∴ $\frac{GH}{GE}=\frac{FH}{BE}$,
∴ $\frac{GH}{GH+GE}=\frac{GH}{HE}=\frac{FH}{FH+BE}=\frac{AE}{AE+BE}=\frac{AE}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
∴ $GH=\frac{\sqrt{5}-1}{2}HE=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AE$.
∵ $∠ C=∠ CBE=∠ BEI=90°$,
∴ 四边形 BCIE 是矩形,
∴ $IC=BE$,
∴ $S_{△ BCI}:S_{△ FGH}=\frac{\frac{1}{2}BC·IC}{\frac{1}{2}FH·HG}=\frac{AB·BE}{AE·HG}=\frac{BE}{AE}·\frac{AB}{HG}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}·\frac{AB}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}AE}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}·\frac{1}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}×\frac{\sqrt{5}-1}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$. 故答案为 $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ $BC=CD=DA=AB$.
∵ 点 E 是正方形 ABCD 的边 AB 上的黄金分割点,且 $AE＞EB$,
∴ $\frac{AE}{AB}=\frac{BE}{AE}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
∵ 四边形 AEHF 是正方形,
∴ $EH=HF=FA=AE$,$FH// AE$,
∴ 易证 $△ FHG∽△ BEG$,
∴ $\frac{GH}{GE}=\frac{FH}{BE}$,
∴ $\frac{GH}{GH+GE}=\frac{GH}{HE}=\frac{FH}{FH+BE}=\frac{AE}{AE+BE}=\frac{AE}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
∴ $GH=\frac{\sqrt{5}-1}{2}HE=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AE$.
∵ $∠ C=∠ CBE=∠ BEI=90°$,
∴ 四边形 BCIE 是矩形,
∴ $IC=BE$,
∴ $S_{△ BCI}:S_{△ FGH}=\frac{\frac{1}{2}BC·IC}{\frac{1}{2}FH·HG}=\frac{AB·BE}{AE·HG}=\frac{BE}{AE}·\frac{AB}{HG}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}·\frac{AB}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}AE}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}·\frac{1}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}×\frac{\sqrt{5}-1}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$. 故答案为 $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$.
解析
【分析】
要解决这道题可按以下思路思考：①先利用正方形性质得到各边等量关系，结合黄金分割点的定义，明确AE、BE、AB之间的比例关系；②观察到FH平行于BE，可判定△FHG与△BEG相似，利用相似三角形对应边成比例的性质，推导出GH的长度表达式；③△BCI和△FGH均为直角三角形，面积比等于两条直角边乘积的比，将各边的比例关系代入后化简，最后做好分母有理化即可得到结果。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $BC=CD=DA=AB$，$∠ C=∠ CBA=90°$。
∵ 点E是正方形ABCD的边AB上的黄金分割点，且$AE＞EB$，
∴ $\frac{AE}{AB}=\frac{BE}{AE}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
∵ 四边形AEHF是正方形，
∴ $EH=HF=FA=AE$，$FH// AE$，$∠ FHG=90°$，
∴ $∠ HFG=∠ EBG$，又$∠ FHG=∠ BEG=90°$，
∴ $△ FHG ∽ △ BEG$，
∴ $\frac{GH}{GE}=\frac{FH}{BE}$，
由合比性质得：$\frac{GH}{GH+GE}=\frac{GH}{HE}=\frac{FH}{FH+BE}=\frac{AE}{AE+BE}=\frac{AE}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴ $GH=\frac{\sqrt{5}-1}{2}HE=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AE$。
∵ $∠ C=∠ CBE=∠ BEI=90°$，
∴ 四边形BCIE是矩形，
∴ $IC=BE$。
∴ $S_{△ BCI}:S_{△ FGH}=\frac{\frac{1}{2}BC· IC}{\frac{1}{2}FH· HG}=\frac{AB· BE}{AE· HG}$，
将$HG=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AE$，$\frac{BE}{AE}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\frac{AB}{AE}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}$代入得：
原式$=\frac{BE}{AE}· \frac{AB}{HG}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}· \frac{AB}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}AE}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}· \frac{1}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}× \frac{\sqrt{5}-1}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
【知识点】
黄金分割、相似三角形的性质、正方形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，融合了正方形、相似三角形、黄金分割三类核心知识点，解题的核心是通过相似三角形得到未知边的比例关系，再结合黄金分割的固定比值进行化简，运算过程中要注意比例变形和分母有理化的准确性。
【难度系数】
0.6
要解决这道题可按以下思路思考：①先利用正方形性质得到各边等量关系，结合黄金分割点的定义，明确AE、BE、AB之间的比例关系；②观察到FH平行于BE，可判定△FHG与△BEG相似，利用相似三角形对应边成比例的性质，推导出GH的长度表达式；③△BCI和△FGH均为直角三角形，面积比等于两条直角边乘积的比，将各边的比例关系代入后化简，最后做好分母有理化即可得到结果。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $BC=CD=DA=AB$，$∠ C=∠ CBA=90°$。
∵ 点E是正方形ABCD的边AB上的黄金分割点，且$AE＞EB$，
∴ $\frac{AE}{AB}=\frac{BE}{AE}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
∵ 四边形AEHF是正方形，
∴ $EH=HF=FA=AE$，$FH// AE$，$∠ FHG=90°$，
∴ $∠ HFG=∠ EBG$，又$∠ FHG=∠ BEG=90°$，
∴ $△ FHG ∽ △ BEG$，
∴ $\frac{GH}{GE}=\frac{FH}{BE}$，
由合比性质得：$\frac{GH}{GH+GE}=\frac{GH}{HE}=\frac{FH}{FH+BE}=\frac{AE}{AE+BE}=\frac{AE}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴ $GH=\frac{\sqrt{5}-1}{2}HE=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AE$。
∵ $∠ C=∠ CBE=∠ BEI=90°$，
∴ 四边形BCIE是矩形，
∴ $IC=BE$。
∴ $S_{△ BCI}:S_{△ FGH}=\frac{\frac{1}{2}BC· IC}{\frac{1}{2}FH· HG}=\frac{AB· BE}{AE· HG}$，
将$HG=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AE$，$\frac{BE}{AE}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\frac{AB}{AE}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}$代入得：
原式$=\frac{BE}{AE}· \frac{AB}{HG}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}· \frac{AB}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}AE}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}· \frac{1}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}× \frac{\sqrt{5}-1}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
【知识点】
黄金分割、相似三角形的性质、正方形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，融合了正方形、相似三角形、黄金分割三类核心知识点，解题的核心是通过相似三角形得到未知边的比例关系，再结合黄金分割的固定比值进行化简，运算过程中要注意比例变形和分母有理化的准确性。
【难度系数】
0.6
9 已知点C是线段AB的黄金分割点，且AB=6 cm，则BC的长为
$(3\sqrt{5}-3)$或$(9-3\sqrt{5})$
cm.答案
9.$(3\sqrt{5}-3)$或$(9-3\sqrt{5})$ 【解析】
∵ 点 C 是线段 AB 的黄金分割点,且 $AB=6$ cm,
∴ $BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=(3\sqrt{5}-3)$ cm 或 $BC=AB-\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=(9-3\sqrt{5})$ cm.
∵ 点 C 是线段 AB 的黄金分割点,且 $AB=6$ cm,
∴ $BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=(3\sqrt{5}-3)$ cm 或 $BC=AB-\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=(9-3\sqrt{5})$ cm.
解析
【分析】
首先回忆黄金分割的定义：若点C把线段AB分成两条线段，较长段与全线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。本题未明确BC是较长段还是较短线段，因此需要分两种情况讨论：①BC为较长线段；②BC为较短线段，再结合AB的长度分别计算即可。
【解析】
∵点C是线段AB的黄金分割点，且$AB=6\ \mathrm{cm}$，分两种情况计算：
①当BC为较长线段时：
$BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×6=3\sqrt{5}-3$（cm）；
②当BC为较短线段时，先求较长线段的长度，再用总长度减去较长段：
$BC=AB-\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=6-(3\sqrt{5}-3)=9-3\sqrt{5}$（cm）。
【答案】
$(3\sqrt{5}-3)$或$(9-3\sqrt{5})$
【知识点】
黄金分割的定义，线段和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题考查黄金分割的基础应用，解题时要注意题目未明确分割后线段长短时，需分两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先回忆黄金分割的定义：若点C把线段AB分成两条线段，较长段与全线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。本题未明确BC是较长段还是较短线段，因此需要分两种情况讨论：①BC为较长线段；②BC为较短线段，再结合AB的长度分别计算即可。
【解析】
∵点C是线段AB的黄金分割点，且$AB=6\ \mathrm{cm}$，分两种情况计算：
①当BC为较长线段时：
$BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×6=3\sqrt{5}-3$（cm）；
②当BC为较短线段时，先求较长线段的长度，再用总长度减去较长段：
$BC=AB-\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=6-(3\sqrt{5}-3)=9-3\sqrt{5}$（cm）。
【答案】
$(3\sqrt{5}-3)$或$(9-3\sqrt{5})$
【知识点】
黄金分割的定义，线段和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题考查黄金分割的基础应用，解题时要注意题目未明确分割后线段长短时，需分两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
