从课本到强基:小数巧算
简便计算能帮我们更快、更准确地计算出结果,在“小数乘法”单元,我们已经知道了整数的运算律在小数运算中也同样适用,也已经学习与掌握了最基本的简便计算方法,在这个专题中我们将进一步探究更复杂的“乘法分配律”的运用方式。
🔍初步探究:转化法
例1 计算:$1.9×1+19.99×2+199.999×3+1999.9999×4+19999.99999×5$。
💡我的思考
老师,这个算式里的数据好复杂,有什么巧妙的计算方法吗?
当然有,我们先来看看简单的算式吧,对于1.9+1.99+1.999+1.9999+1.99999这个算式你有计算的思路吗?
当然,可以把1.9看成2-0.1,把1.99写成,其他的数也像这样转化,然后运用加法运算律计算。
这个算式也是一样的道理,把每一组中的第一个加数依次看作2、20、200、2000、20000减去一个小数,然后运用乘法运算律计算。
我来试一试。
💡我的解答
深入探究:换元法
例2 $(2.5+3.62+5.17)×(3.62+5.17+8.5)-(2.5+3.62+5.17+8.5)×(3.62+5.17)$。
💡我的思考

1.9×1+19.99×2+199.999×3+1999.9999×4+19999.99999×5
=(2-0.1)×1+(20-0.01)×2+(200-0.001)×3+(2000-0.0001)×4+(20000-0.00001)×5
=(2+40+600+8000+100000)-(0.1+0.02+0.003+0.0004+0.00005)
=108642-0.12345
=108641.87655

如果先求出括号里式子的和，再计算的话，数据有点复杂；如果用乘法分配律计算，步骤又太多了。

观察这个算式中的每组数，你有什么发现？
我发现2.5+3.62+5.17比2.5+3.62+5.17+8.5少8.5，3.62+5.17+8.5比3.62+5.17多8.5，如果分别把2.5+3.62+5.17和3.62+5.17看成一个整体，再用乘法分配律计算的话会简单一点。
不要急，我们这学期学习了用字母表示数，你能结合在一起，简化抄写算式的过程吗？

老师，我知道了，我可以假设a=2.5+3.62+5.17，b=3.62+5.17，那么这个式子就能写成 × − × 。
这就是换元法，将复杂式子中的一部分用字母表示，可以简化计算过程，同时避免抄写算式时造成的数的重复或遗漏。

假设a=2.5+3.62+5.17,b=3.62+5.17
则a-b=2.5
原式=a×(b+8.5)-(a+8.5)×b
=ab+8.5a-ab-8.5b
=8.5×(a-b)
=8.5×2.5
=21.25