1.如图,点 E,点 F 在 BC 上,BE=CF,∠B=∠C,添加一个条件,不能证明△ABF≌△DCE 的是 ()

A.∠A=∠D
B.∠AFB=∠DEC
C.AB=DC
D.AF=DE

1.D

【分析】
要判断哪个条件不能证明△ABF≌△DCE，首先利用已知BE=CF，结合等式的性质得到两个三角形的一组对应边BF=CE，加上已知的∠B=∠C，此时已有一组边、一组角对应相等，接下来逐一分析各选项添加的条件，对照全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS）判断是否满足判定要求即可。
【解析】
∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
又已知∠B=∠C，逐一分析选项：
A. 添加∠A=∠D，在△ABF和△DCE中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠D \\∠B=∠C \\BF=CE\end{array} $
符合AAS判定定理，可证明△ABF≌△DCE，不符合题意；
B. 添加∠AFB=∠DEC，在△ABF和△DCE中：
$\{\begin{array}{l}∠B=∠C \\BF=CE \\∠AFB=∠DEC\end{array} $
符合ASA判定定理，可证明△ABF≌△DCE，不符合题意；
C. 添加AB=DC，在△ABF和△DCE中：
$\{\begin{array}{l}AB=DC \\∠B=∠C \\BF=CE\end{array} $
符合SAS判定定理，可证明△ABF≌△DCE，不符合题意；
D. 添加AF=DE，此时条件为AF=DE，∠B=∠C，BF=CE，属于SSA，不满足全等三角形的判定定理，不能证明△ABF≌△DCE，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定、等式的基本性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用类题目，解题的关键是先根据已知线段相等推导出全等需要的对应边相等，再结合判定定理逐一验证选项，需要注意SSA不能作为三角形全等的判定依据。
【难度系数】
0.8

2.如图，已知$AB// CD$，$AD// BC$，$AC$与$BD$交于点$O$，$AE⊥ BD$于点$E$，$CF⊥ BD$于点$F$，那么图中全等三角形有（）

A.5对
B.6对
C.7对
D.8对

2.C

【分析】解题时首先根据已知的两组平行线，利用平行线的性质得到对应内错角相等，先证明大三角形全等，得到边相等的条件，再结合AE⊥BD、CF⊥BD得到的直角相等的条件，按照从大到小的顺序逐一枚举全等三角形，避免遗漏或者重复计数。
【解析】
1. 由AB//CD，AD//BC，可得∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD，又BD为公共边，根据ASA可判定△ABD≌△CDB；同理可得∠BAC=∠DCA，∠ACB=∠CAD，AC为公共边，可判定△ABC≌△CDA，由这两组全等可得AB=CD，AD=BC。
2. 由∠ADB=∠CBD，∠AOD=∠COB（对顶角相等），AD=BC，根据AAS可判定△AOD≌△COB；同理∠ABD=∠CDB，∠AOB=∠COD，AB=CD，可判定△AOB≌△COD，由这两组全等可得OA=OC，OB=OD。
3. 已知AE⊥BD，CF⊥BD，因此∠AED=∠AEB=∠CFD=∠CFB=90°：
∠ADB=∠CBD，∠AED=∠CFB=90°，AD=BC，根据AAS可判定△ADE≌△CBF；
∠AOE=∠COF（对顶角相等），∠AEO=∠CFO=90°，OA=OC，根据AAS可判定△AOE≌△COF；
∠ABD=∠CDB，∠AEB=∠CFD=90°，AB=CD，根据AAS可判定△ABE≌△CDF。
综上，图中全等三角形共有7对。
【答案】C
【知识点】平行线的性质；全等三角形的判定；对顶角的性质
【点评】本题是典型的计数类全等三角形判定题，需要结合已知条件逐步推导边、角相等的关系，按顺序枚举能有效避免漏数或多数，做题时要注意不要忽略含直角的小三角形的全等情况。
【难度系数】0.7

3.如图，已知$AB// CD$，要使$△ ABF≌△ DEF$，只要添加一个条件是。

3.AF=DF(答案不唯一)

【分析】
首先由已知条件$AB// CD$，可推出两组内错角相等：$∠ B=∠ DEF$，$∠ BAF=∠ D$，再结合对顶角相等可得$∠ AFB=∠ DFE$，此时两个三角形已经具备三组角对应相等，只需补充任意一组对应边相等，即可通过ASA或AAS判定两个三角形全等，据此即可写出符合要求的条件。
【解析】
解：$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ B=∠ DEF$，$∠ BAF=∠ D$（两直线平行，内错角相等），
又$\because ∠ AFB=∠ DFE$（对顶角相等），
若添加条件$AF=DF$，
在$△ ABF$和$△ DEF$中：
$\begin{cases}∠ BAF=∠ D \\AF=DF \\∠ AFB=∠ DFE\end{cases}$
$\therefore △ ABF≌△ DEF(\mathrm{ASA})$。
（也可添加$AB=DE$、$BF=EF$等条件，均满足要求）
【答案】
$AF=DF$（答案不唯一）
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定，对顶角的性质
【点评】
本题属于全等三角形判定的开放类题目，解题时先利用已知条件推导出已有的相等量，再结合全等三角形的判定定理补充缺失的条件即可，注意答案不唯一，只要符合判定要求都正确。
【难度系数】
0.7

4.如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°,AB=AC$,
AE是经过点A的一条线段,且B,C在AE的
两侧,$BD ⊥ AE$于点$D,CE ⊥ AE$于点E.若
$CE=2,BD=6$,则$DE$的长为________.

4.4

【分析】
解题时首先观察已知条件，△ABC是等腰直角三角形，且BD、CE都垂直于AE，可得到多个直角。先利用直角三角形两锐角互余，推出同角的余角相等，得到一组相等的角，再结合已知AB=AC和两个直角相等，证明△ABD和△CAE全等，根据全等三角形对应边相等得到AD、AE的长度，最后用AE减去AD即可求出DE的长度。
【解析】
解：$\because ∠ BAC=90°$
$\therefore ∠ BAD + ∠ CAE = 90°$
$\because BD⊥ AE,CE⊥ AE$
$\therefore ∠ ADB = ∠ E = 90°$
$\therefore ∠ BAD + ∠ ABD = 90°$
$\therefore ∠ ABD = ∠ CAE$
在$△ ABD$和$△ CAE$中：
$\begin{cases}∠ ADB = ∠ E \\∠ ABD = ∠ CAE \\AB = AC\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ CAE\ (\mathrm{AAS})$
$\therefore AD=CE=2,AE=BD=6$
$\therefore DE=AE-AD=6-2=4$
【答案】
4
【知识点】
同角的余角相等；全等三角形AAS判定；全等三角形性质
【点评】
本题是全等三角形应用的典型题型，解题核心是通过角度互余关系推导等角，进而证明三角形全等，再利用全等的性质转化线段长度求解，思路清晰，综合性不强。
【难度系数】
0.7

5.(模型观念)如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E,AD与CE交于点F,AD=CD,BC=8,AF=4,则BD的长为.

5.2

【分析】
要解决本题，首先结合已知的垂直条件，利用“同角的余角相等”推导得到一组相等的角，再结合AD=CD和直角相等，证明△ABD和△CFD全等，得到BD=DF的等量关系，最后根据线段和差关系列等式计算BD的长度即可。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°，
∴∠BAD + ∠B = 90°，∠FCD + ∠B = 90°，
∴∠BAD = ∠FCD（同角的余角相等）。
在△ABD和△CFD中：
$\{\begin{array}{l}∠ADB = ∠CDF \\AD = CD \\∠BAD = ∠FCD\end{array} $
∴△ABD≌△CFD（ASA），
∴BD = DF。
设BD的长为x，则DF=x，
∵AD = CD，且AD = AF + DF = 4 + x，CD = BC - BD = 8 - x，
∴4 + x = 8 - x，
解得x=2。
【答案】
2
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质；同角的余角相等
【点评】
本题是全等三角形应用的典型习题，解题核心是通过余角的性质找到全等所需的对应角相等，证明三角形全等后转化线段关系，结合已知线段长度建立等式求解，能很好地考查学生对全等三角形知识的运用能力。
【难度系数】
0.6

6.如图,在$△ ABC$中,$BE$,$CF$分别是$AC$,$AB$两条边上的高,在$BE$上截取$BD=AC$,在$CF$的延长线上截取$CG=AB$,连接$AD$,$AG$.求证:$AG=AD$,$AG⊥ AD$.

6.
∵BE⊥AC,CF⊥AB,
∴∠HFB=∠HEC=90°,
又
∵∠BHF=∠CHE,
∴∠ABD=∠ACG,在△ABD 和△GCA 中,$\begin{cases} AB=GC,\\ ∠ABD=∠GCA,\\ BD=CA, \end{cases}$
∴△ABD≌△GCA(SAS),
∴AG=AD,∠ADB=∠GAC,又
∵∠ADB=∠AED+∠DAE,∠GAC=∠GAD+∠DAE,
∴∠AED=∠GAD=90°,
∴AD⊥GA

【分析】
要证明AG=AD，可通过证明两条线段所在的三角形全等来实现，结合已知BD=AC、CG=AB，只需证明两边的夹角∠ABD=∠ACG即可；再利用全等三角形的性质得到对应角相等，通过角的和差关系推导∠GAD=90°，就能证明AG⊥AD。首先由BE、CF是三角形的高，结合对顶角相等推导∠ABD和∠ACG相等，其次利用SAS证明△ABD和△GCA全等，最后根据全等性质推导边相等和角的关系，得到垂直结论。
【解析】
证明：
∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠HFB=∠HEC=90°，
又
∵∠BHF=∠CHE（对顶角相等），
∴∠ABD=∠ACG（等角的余角相等）。
在△ABD和△GCA中：
$\begin{cases} AB=GC（已知）,\\ ∠ABD=∠GCA（已证）,\\ BD=CA（已知）, \end{cases}$
∴△ABD≌△GCA（SAS），
∴AG=AD（全等三角形对应边相等），∠ADB=∠GAC（全等三角形对应角相等）。
又
∵∠ADB=∠AED+∠DAE（三角形外角等于不相邻两个内角的和），∠GAC=∠GAD+∠DAE，
∴∠GAD=∠AED=90°，
∴AG⊥AD。
【答案】
AG=AD，且AG⊥AD，得证。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 三角形高的性质
3. 垂直的判定
【点评】
本题是全等三角形的典型综合应用题，解题关键是结合三角形高的性质找到全等所需的等角，构造全等三角形，再利用全等的性质结合角的和差关系完成垂直的证明，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

7.(构造法)如图,四边形ABCD中,∠B=90°,连接对角线AC,AC=AD,点E在边BC上,连接DE,过点A作AF⊥DE,垂足为F,AB=AF.求证:DF=EF+CE.

7.连接AE,
∵AF⊥DE,
∴∠AFD=90°,
∵∠B=90°,
∴∠AFD=∠B,在Rt△ADF和Rt△ACB中,$\begin{cases} AD=AC,\\ AF=AB, \end{cases}$
∴Rt△ADF≌Rt△ACB(HL).
∴DF=CB,在Rt△AEF和Rt△AEB中,$\begin{cases} AE=AE,\\ AF=AB, \end{cases}$
∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL).
∴EF=EB,
∵BC=BE+CE=EF+CE,
∴DF=EF+CE

【分析】
要证明一条线段等于另外两条线段的和，通常可通过全等三角形进行线段的等量代换。观察已知条件：存在多组相等的边和直角，首先连接AE构造新的直角三角形：第一步先利用HL证明Rt△ADF和Rt△ACB全等，将DF转化为长度等于EF+CE的线段BC；第二步再利用HL证明Rt△AEF和Rt△AEB全等，得到EF=EB；最后结合BC=BE+CE进行等量代换即可完成证明。
【解析】
连接AE，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD=90°，
∵∠B=90°，
∴∠AFD=∠B=90°，
在Rt△ADF和Rt△ACB中，
$\begin{cases} AD=AC \\ AF=AB \end{cases}$
∴Rt△ADF≌Rt△ACB（HL），
∴DF=CB。
在Rt△AEF和Rt△AEB中，
$\begin{cases} AE=AE \\ AF=AB \end{cases}$
∴Rt△AEF≌Rt△AEB（HL），
∴EF=EB，
∵BC=BE+CE=EF+CE，
∴DF=EF+CE。
【答案】
DF=EF+CE，得证
【知识点】
全等三角形的判定与性质，直角三角形全等判定（HL），线段和差证明
【点评】
本题是全等三角形的典型应用类题目，解题的核心是通过连接AE构造全等三角形，利用HL判定定理证明直角三角形全等，实现线段的等量转化，考查了学生对辅助线构造和全等性质的运用能力。
【难度系数】
0.7