4.用拼图证明勾股定理
(1)设直角三角形的两条直角边长分别为$a,b$,斜边长为$c$,试用两种不同方法计算图中大正方形(或小正方形)的面积.从中你发现勾股定理的证明方法了吗?
(2)示例:
$\because S_{大正方形}=S_{小正方形}+4×S_{三角形}$,
$\therefore (a+b)^2=c^2+4×\frac{1}{2}ab$,
整理,得$a^2+b^2=c^2$.
(3)在拼出的其他图案中再试一试,看看在哪些图案中能用类似的方法证明勾股定理.
拼图
证明勾股定理

(4)网上学习
请你从有关书籍或互联网上再找一些证明勾股定理的方法,记下你最欣赏的一种证明方法.
拼图
证明勾股定理

解：
(1) 方法1：大正方形的边长为$a+b$，因此其面积为：
$S_{\mathrm{大正方形}}=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
方法2：大正方形的面积等于内部边长为$c$的小正方形面积与4个全等直角三角形的面积之和：
$S_{\mathrm{大正方形}}=c^2 + 4×\frac{1}{2}ab=c^2+2ab$。
两式均表示大正方形的面积，因此：
$a^2+2ab+b^2=c^2+2ab$，
消去两边的$2ab$，整理得$a^2+b^2=c^2$，即可证明勾股定理。
(3) 拼图：取4个全等的直角三角形，将它们的直角朝内摆放，拼成一个边长为$c$的大正方形，大正方形内部形成一个边长为$b-a$（$b＞a$）的小正方形。
证明：
$\because S_{\mathrm{边长为}c\mathrm{的大正方形}}=S_{\mathrm{内部小正方形}}+4× S_{\mathrm{直角三角形}}$
$\therefore c^2=(b-a)^2 + 4×\frac{1}{2}ab$
展开得$c^2=a^2-2ab+b^2+2ab$
整理得$a^2+b^2=c^2$。
(4) 拼图（总统证法拼图）：构造两个全等的直角三角形，直角边长为$a,b$，斜边长为$c$，将它们按直角边$a,b$在同一直线上的方式摆放，连接两个斜边的端点，得到一个上底为$a$、下底为$b$、高为$a+b$的直角梯形。
证明：
$\because S_{\mathrm{直角梯形}}=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)$
同时直角梯形的面积等于3个直角三角形的面积之和：
$S_{\mathrm{直角梯形}}=2×\frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2$
$\therefore \frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)=ab+\frac{1}{2}c^2$
两边同乘2得$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$
消去$2ab$，整理得$a^2+b^2=c^2$。