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【典例1】下列各题中,p是q的什么条件？
(1)p：两个三角形相似,q：两个三角形三边成比例；
(2)$p:\sqrt {x+1}≤2,q:|x-1|\lt 2$；
(3)p是r的充要条件,q是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件；
(4)$p:a＞b,q:a^{2}＞b^{2}$。
解题指导 分别判断p能否推出q和q能否推出p。
答案 解：(1)因为“若p,则q”是相似三角形的性质,“若q,则p”是相似三角形的判定定理,它们均为真命题,即$p\Leftrightarrow q$,所以p是q的充要条件。
(2)解不等式$\sqrt {x+1}≤2$,即$\left\{\begin{array}{l} x+1≥0,\\ x+1≤4,\end{array}\right.得-1≤x≤3$；
解不等式$|x-1|\lt 2$,即$-2\lt x-1\lt 2$,得$-1\lt x\lt 3$。
因为$\{ x|-1\lt x\lt 3\} \subsetneqq \{ x|-1≤x≤3\}$,所以p是q的必要不充分条件。
(3)根据题意画图,如图所示。
由图可知,①$p\Rightarrow r\Rightarrow q$,②$q\Rightarrow s
\Rightarrow r\Rightarrow p$,所以$p\Leftrightarrow q$,p是q的充要条件。
(4)令$a= 1,b= -1$,则$a＞b$,但不满足$a^{2}＞b^{2}$。
令$a= -1,b= 0$,则$a^{2}＞b^{2}$,但不满足$a＞b$,所以p是q的既不充分也不必要条件。
(1)p：两个三角形相似,q：两个三角形三边成比例；
(2)$p:\sqrt {x+1}≤2,q:|x-1|\lt 2$；
(3)p是r的充要条件,q是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件；
(4)$p:a＞b,q:a^{2}＞b^{2}$。
解题指导 分别判断p能否推出q和q能否推出p。
答案 解：(1)因为“若p,则q”是相似三角形的性质,“若q,则p”是相似三角形的判定定理,它们均为真命题,即$p\Leftrightarrow q$,所以p是q的充要条件。
(2)解不等式$\sqrt {x+1}≤2$,即$\left\{\begin{array}{l} x+1≥0,\\ x+1≤4,\end{array}\right.得-1≤x≤3$；
解不等式$|x-1|\lt 2$,即$-2\lt x-1\lt 2$,得$-1\lt x\lt 3$。
因为$\{ x|-1\lt x\lt 3\} \subsetneqq \{ x|-1≤x≤3\}$,所以p是q的必要不充分条件。
(3)根据题意画图,如图所示。
由图可知,①$p\Rightarrow r\Rightarrow q$,②$q\Rightarrow s
\Rightarrow r\Rightarrow p$,所以$p\Leftrightarrow q$,p是q的充要条件。(4)令$a= 1,b= -1$,则$a＞b$,但不满足$a^{2}＞b^{2}$。
令$a= -1,b= 0$,则$a^{2}＞b^{2}$,但不满足$a＞b$,所以p是q的既不充分也不必要条件。
答案
(1) 因为“若$p$，则$q$”是相似三角形的性质，“若$q$，则$p$”是相似三角形的判定定理，它们均为真命题，即$p\Leftrightarrow q$，所以$p$是$q$的充要条件。
(2) 解不等式$\sqrt {x + 1} \leq 2$，即$\begin{cases}x + 1 \geq 0 \\ x + 1 \leq 4 \end{cases}$，得$-1 \leq x \leq 3$；解不等式$\vert x - 1\vert \lt 2$，即$-2 \lt x - 1 \lt 2$，得$-1 \lt x \lt 3$。因为$\{ x\mid -1 \lt x \lt 3\} \subsetneqq \{ x\mid -1 \leq x \leq 3\}$，所以$p$是$q$的必要不充分条件。
(3) 根据题意画图，由图可知，①$p\Rightarrow r\Rightarrow q$，②$q\Rightarrow s\Rightarrow r\Rightarrow p$，所以$p\Leftrightarrow q$，$p$是$q$的充要条件。
(4) 令$a = 1$，$b = -1$，则$a \gt b$，但不满足$a^2 \gt b^2$。令$a = -1$，$b = 0$，则$a^2 \gt b^2$，但不满足$a \gt b$，所以$p$是$q$的既不充分也不必要条件。
(2) 解不等式$\sqrt {x + 1} \leq 2$，即$\begin{cases}x + 1 \geq 0 \\ x + 1 \leq 4 \end{cases}$，得$-1 \leq x \leq 3$；解不等式$\vert x - 1\vert \lt 2$，即$-2 \lt x - 1 \lt 2$，得$-1 \lt x \lt 3$。因为$\{ x\mid -1 \lt x \lt 3\} \subsetneqq \{ x\mid -1 \leq x \leq 3\}$，所以$p$是$q$的必要不充分条件。
(3) 根据题意画图，由图可知，①$p\Rightarrow r\Rightarrow q$，②$q\Rightarrow s\Rightarrow r\Rightarrow p$，所以$p\Leftrightarrow q$，$p$是$q$的充要条件。
(4) 令$a = 1$，$b = -1$，则$a \gt b$，但不满足$a^2 \gt b^2$。令$a = -1$，$b = 0$，则$a^2 \gt b^2$，但不满足$a \gt b$，所以$p$是$q$的既不充分也不必要条件。
【变式1】已知p是q的充分条件,q是r的必要条件,q是s的充分条件,r是s的必要条件。回答下列问题：
(1)p是r的____条件；
(2)s是q的____条件；
(3)p,q,r,s中互为充要条件的有____。
(1)p是r的____条件；
(2)s是q的____条件；
(3)p,q,r,s中互为充要条件的有____。
答案
(1)充分 (2)充要 (3)$q$与$s$,$s$与$r$,$r$与$q$ 由题可知,$p\Rightarrow q,r\Rightarrow q,q\Rightarrow s,s\Rightarrow r$.作出“$\Rightarrow$”图,如图所示.
(1)$\because p\Rightarrow q\Rightarrow s\Rightarrow r$,且$r$能否推出$p$未知,
$\therefore p$是$r$的充分条件.
(2)$\because s\Rightarrow r\Rightarrow q,q\Rightarrow s,\therefore s$是$q$的充要条件.
(3)共有三对互为充要条件:①$q\Leftrightarrow s$;②$s\Leftrightarrow r$;③$r\Leftrightarrow q$.
【典例2】求证：“一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0$有一个正根和一个负根”的充要条件是“$ac\lt 0$”。
解题指导 第1步：先证明充分性,即根据“$ac\lt 0$”推出“一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0$有一个正根和一个负根”。
第2步：再证明必要性,即根据“一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0$有一个正根和一个负根”推出“$ac\lt 0$”。
答案 证明：充分性：若$ac\lt 0$,则在一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0$中,$\Delta＞0$,此时方程有两个不等的根。由韦达定理,得$x_{1}x_{2}= \frac {c}{a}\lt 0$,即方程的两个根的符号相反,所以一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0$有一个正根和一个负根。
必要性：若一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0$有一个正根和一个负根,由韦达定理,得$x_{1}x_{2}= \frac {c}{a}\lt 0$,所以$ac\lt 0$。
综上,“一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0$有一个正根和一个负根”的充要条件是“$ac\lt 0$”。
解题指导 第1步：先证明充分性,即根据“$ac\lt 0$”推出“一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0$有一个正根和一个负根”。
第2步：再证明必要性,即根据“一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0$有一个正根和一个负根”推出“$ac\lt 0$”。
答案 证明：充分性：若$ac\lt 0$,则在一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0$中,$\Delta＞0$,此时方程有两个不等的根。由韦达定理,得$x_{1}x_{2}= \frac {c}{a}\lt 0$,即方程的两个根的符号相反,所以一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0$有一个正根和一个负根。
必要性：若一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0$有一个正根和一个负根,由韦达定理,得$x_{1}x_{2}= \frac {c}{a}\lt 0$,所以$ac\lt 0$。
综上,“一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0$有一个正根和一个负根”的充要条件是“$ac\lt 0$”。
答案
“一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0$有一个正根和一个负根”的充要条件是“$ac\lt 0$”。
