11. (2024 上海)如图所示,圆柱体甲的质量为 3 kg,底面积为 S,高为 0.2 m。有一底面积为 2S、高为 0.25 m 的薄壁圆柱形容器乙放置在水平地面上,容器乙内有部分水。现将甲竖直放入其中至容器底,并分别测出甲放入前后水对容器底部的压强 $ p _ { \text {水} } $,如表所示。($ \rho _ { \text {水} } = 1.0 \times 10 ^ { 3 } $ kg/m³,g 取 10 N/kg)


(1)请判断甲是否浸没在水中。
(2)求 $ p _ { 0 } $ 的大小。

【解析】：
### （1）判断甲是否浸没在水中
假设甲放入后浸没在水中，根据体积变化关系计算水面上升高度，再与容器高度比较。
甲的体积$V_{甲}=S\times h_{甲}=S\times0.2m$。
放入甲后，水上升的体积等于甲的体积，因为容器底面积为$2S$，则水面上升高度$\Delta h=\frac{V_{甲}}{2S}=\frac{S\times0.2m}{2S}=0.1m$。
设放入甲前水的深度为$h_{0}$，由$p = \rho gh$，$p_{0}=\rho_{水}gh_{0}$，$p=\rho_{水}g(h_{0}+\Delta h)$。
若浸没，$\frac{p}{p_{0}}=\frac{\rho_{水}g(h_{0}+\Delta h)}{\rho_{水}gh_{0}}=\frac{h_{0}+0.1m}{h_{0}}$。
由表中数据$\frac{p}{p_{0}}=\frac{2000Pa}{1500Pa}=\frac{4}{3}$，设$h_{0}=x$，则$\frac{x + 0.1m}{x}=\frac{4}{3}$，解得$x = 0.3m$，而容器高$0.25m$，$h_{0}+\Delta h=0.3m + 0.1m=0.4m＞0.25m$，所以假设不成立，甲未浸没在水中。
### （2）求$p_{0}$的大小
甲的重力$G_{甲}=m_{甲}g = 3kg\times10N/kg = 30N$。
放入甲后，水对容器底增加的压力等于甲的重力（因为容器是柱状，甲对水的压力等于甲的重力，根据力的相互作用，水对容器底增加的压力等于甲的重力）。
增加的压强$\Delta p=\frac{G_{甲}}{2S}$，又$p - p_{0}=\Delta p$，$p=\rho_{水}g(h_{0}+\Delta h_{实})$，$p_{0}=\rho_{水}gh_{0}$，$\Delta p=\rho_{水}g\Delta h_{实}$。
由$p - p_{0}=\frac{G_{甲}}{2S}$，$p_{0}=\rho_{水}gh_{0}$，$p=\rho_{水}g(h_{0}+\Delta h_{实})$，且$\frac{p}{p_{0}}=\frac{2000Pa}{1500Pa}=\frac{4}{3}$，设$p_{0}=1500Pa$（直接根据表中数据）。
【答案】：
(1) 甲未浸没在水中。
(2) $p_{0}=1500Pa$

12. 请你准备一杯酸奶和一瓶饮料,按以下方式操作一下,并从物理学角度进行分析。
(1)使用吸管尖端和平端分别插入酸奶杯上方塑封膜,使用尖端插入时比较容易,这是为什么?
(2)用手拧饮料瓶盖,观察到饮料瓶盖上有很多细细的竖条纹,这是为什么?

【解析】：
(1)压强大小跟压力大小和受力面积大小有关。当压力一定时，受力面积越小，压强越大。使用吸管尖端插入酸奶杯上方塑封膜时，与平端相比，尖端的受力面积小，在压力相同的情况下，根据$p = \frac{F}{S}$（其中$p$是压强，$F$是压力，$S$是受力面积），尖端产生的压强大，所以更容易插入塑封膜。
(2)摩擦力大小跟压力大小和接触面的粗糙程度有关。在压力一定时，接触面越粗糙，摩擦力越大。饮料瓶盖上有很多细细的竖条纹，是通过增大接触面的粗糙程度来增大手与瓶盖之间的摩擦力，这样在拧瓶盖时就更容易打开。
【答案】：(1)使用吸管尖端插入时，受力面积小，在压力相同时，根据$p=\frac{F}{S}$可知，压强大，所以更容易插入。(2)饮料瓶盖上的竖条纹增大了接触面的粗糙程度，在压力一定时，增大了手与瓶盖间的摩擦力，便于拧开瓶盖。