7. 如图,在△ABC中,点D是BC的中点,过点D作DE⊥BC,交AB于点E,且AC²=BE²−AE².
(1)试说明:∠A=90°;
(2)若DE=6,BD=8,求AE的长.

7. 解:(1)如解图,连接 CE,
因为点 D 是 BC 的中点,$DE⊥BC$,
所以 $BD=CD$,$∠ BDE = ∠ CDE = 90°$.
又因为 $DE=DE$,
所以 $△ BDE≅△ CDE(SAS)$,
所以 $BE=CE$.
因为 $AC^2 = BE^2 - AE^2$,
所以 $AC^2 = CE^2 - AE^2$,即 $AE^2 + AC^2 = CE^2$,
所以$△ ACE$ 是直角三角形, $∠ A=90°$;
(2)因为在 $Rt△ BDE$ 中, $DE=6$,$BD=8$,由勾股定理,可得 $BE^2 = BD^2 + DE^2$,所以 $BE=10$,
所以 $CE=BE=10$.
因为点 D 是 BC 的中点,所以 $BC=2BD=16$.
设 $AE=x$,则 $AB=10+x$,$AC^2 = CE^2 - AE^2 = 100 - x^2$,
在 $Rt△ ABC$ 中,由勾股定理,可得 $AB^2 + AC^2 = BC^2$,
即 $(10+x)^2 + (100 - x^2) = 16^2$,
解得 $x=\frac{14}{5}$,所以 $AE$ 的长为 $\frac{14}{5}$.

8. (2025 四川成都石室中学阶段练)某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动.如图,当张角为$∠ DAF$时,顶部边缘的高度$DE=20\ \mathrm{cm}$,底部边缘$A$处与$E$处的距离$AE=15\ \mathrm{cm}$,当张角为$∠ BAF$时($D$是$B$的对应点),顶部边缘的高度$BC=7\ \mathrm{cm}$,则此时底部边缘$A$处与$C$的距离$AC$为 ()


A.13 cm
B.15 cm
C.20 cm
D.24 cm

8. D

9. 如图是一个长方体盒子,其中$AB=8\ \mathrm{cm},BC=6\ \mathrm{cm},AE=5\ \mathrm{cm},M$是$FG$的中点,$AN=2\ \mathrm{cm}$,若一只蚂蚁从点$N$出发沿着长方体盒子的表面爬到点$M$,则它爬行的最短路程是$\mathrm{cm}$.

9. 10

10. (趋势情境 跨学科 (2025 河南郑州外国语学校期中)物理课上,老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A,一端拴在滑块B上,另一端拴在物体C上,滑块B放置在水平地面的直轨道上,通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降.实验初始状态如图①所示$(AC ⊥ BC)$,物体C静止在直轨道上,物体C到滑块B的水平距离是6 dm,绳长$(AB+AC)$为18 dm.(实验过程中,绳子始终保持绷紧状态,定滑轮A、滑块B和物体C的大小忽略不计,都看作一点)
(1)求AB的长.
(2)如图②,若滑块B水平向左滑动9 dm,求物体C上升的高度.

10. 解:(1)由题意,得 $BC=6\ \mathrm{dm}$,$AB+AC=18\ \mathrm{dm}$.
设 $AB=x\ \mathrm{dm}$,则 $AC=(18-x)\mathrm{dm}$,
在 $Rt△ ABC$ 中,由勾股定理得, $BC^2 + AC^2 = AB^2$,
即 $6^2 + (18-x)^2 = x^2$,
解得 $x=10$.
答:$AB$ 的长为 $10\ \mathrm{dm}$;
(2)如解图,过点 $C$ 作 $CD⊥BD$ 于点 $D$,

由题意,得 $BE=9\ \mathrm{dm}$,
所以 $BD=BE+ED=9+6=15(\mathrm{dm})$,
所以 $AB^2 = BD^2 + AD^2 = 15^2 + 8^2 = 289$,
所以 $AB=17\ \mathrm{dm}$,
$17-10=7(\mathrm{dm})$.
答:物体 $C$ 上升的高度为 $7\ \mathrm{dm}$.