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5. 已知折扇的骨柄OA的长度为18 cm，扇面部分宽度AB=12 cm，折扇展开的角度是120°，求扇面部分的周长和面积.(结果保留π)
答案
5. 阴影部分的周长为$\frac{120π×18}{180}+\frac{120π×(18-12)}{180}+12×2=(16π+24)$ cm,阴影部分的面积为$\frac{120π×18^2}{360}-\frac{120π×(18-12)^2}{360}=96π(\mathrm{cm}^2).$答:阴影部分的周长为$(16π+24)$ cm,面积为$96π\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
要计算扇面的周长和面积，首先观察扇面是圆心角为120°的扇环：
1. 周长部分：扇环周长由三部分组成，分别是半径为OA的外弧长、半径为OB的内弧长，以及两条宽度AB的长度。先算出内弧半径$OB=OA-AB$，再利用弧长公式分别计算两段弧长，相加后再加上2倍AB的长度即可得到周长。
2. 面积部分：扇环面积等于大扇形（半径OA）的面积减去小扇形（半径OB）的面积，分别代入扇形面积公式计算后作差即可。
【解析】
解：由题意得，内弧半径$OB=OA-AB=18-12=6\ \mathrm{cm}$，圆心角$n=120°$。
（1）计算扇面周长：
外弧长 $l_{\mathrm{外}}=\frac{nπ· OA}{180}=\frac{120π×18}{180}=12π\ \mathrm{cm}$
内弧长 $l_{\mathrm{内}}=\frac{nπ· OB}{180}=\frac{120π×6}{180}=4π\ \mathrm{cm}$
两条AB的总长度为 $12×2=24\ \mathrm{cm}$
因此扇面周长 $C = l_{\mathrm{外}}+l_{\mathrm{内}}+24 = 12π+4π+24=(16π+24)\ \mathrm{cm}$
（2）计算扇面面积：
大扇形面积 $S_{\mathrm{大}}=\frac{nπ· OA^2}{360}=\frac{120π×18^2}{360}=108π\ \mathrm{cm}^2$
小扇形面积 $S_{\mathrm{小}}=\frac{nπ· OB^2}{360}=\frac{120π×6^2}{360}=12π\ \mathrm{cm}^2$
因此扇面面积 $S = S_{\mathrm{大}}-S_{\mathrm{小}}=108π-12π=96π\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
扇面部分的周长为$(16π+24)\ \mathrm{cm}$，面积为$96π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
弧长计算；扇形面积计算；组合图形周长面积计算
【点评】
本题重点考查扇环类组合图形的周长和面积计算，解题的核心是明确周长的组成部分，不要遗漏两条侧边的长度，熟练掌握弧长和扇形面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要计算扇面的周长和面积，首先观察扇面是圆心角为120°的扇环：
1. 周长部分：扇环周长由三部分组成，分别是半径为OA的外弧长、半径为OB的内弧长，以及两条宽度AB的长度。先算出内弧半径$OB=OA-AB$，再利用弧长公式分别计算两段弧长，相加后再加上2倍AB的长度即可得到周长。
2. 面积部分：扇环面积等于大扇形（半径OA）的面积减去小扇形（半径OB）的面积，分别代入扇形面积公式计算后作差即可。
【解析】
解：由题意得，内弧半径$OB=OA-AB=18-12=6\ \mathrm{cm}$，圆心角$n=120°$。
（1）计算扇面周长：
外弧长 $l_{\mathrm{外}}=\frac{nπ· OA}{180}=\frac{120π×18}{180}=12π\ \mathrm{cm}$
内弧长 $l_{\mathrm{内}}=\frac{nπ· OB}{180}=\frac{120π×6}{180}=4π\ \mathrm{cm}$
两条AB的总长度为 $12×2=24\ \mathrm{cm}$
因此扇面周长 $C = l_{\mathrm{外}}+l_{\mathrm{内}}+24 = 12π+4π+24=(16π+24)\ \mathrm{cm}$
（2）计算扇面面积：
大扇形面积 $S_{\mathrm{大}}=\frac{nπ· OA^2}{360}=\frac{120π×18^2}{360}=108π\ \mathrm{cm}^2$
小扇形面积 $S_{\mathrm{小}}=\frac{nπ· OB^2}{360}=\frac{120π×6^2}{360}=12π\ \mathrm{cm}^2$
因此扇面面积 $S = S_{\mathrm{大}}-S_{\mathrm{小}}=108π-12π=96π\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
扇面部分的周长为$(16π+24)\ \mathrm{cm}$，面积为$96π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
弧长计算；扇形面积计算；组合图形周长面积计算
【点评】
本题重点考查扇环类组合图形的周长和面积计算，解题的核心是明确周长的组成部分，不要遗漏两条侧边的长度，熟练掌握弧长和扇形面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
6. 如图,点A,B,C在$\odot O$上,$∠ ACB=60°$,半径$OD⊥ AB$,垂足为$E$,若$DE=1$,求$ADB$的长度.
答案
6. 如图,连接OA,OB,由圆周角定理,得$∠AOB=2∠ACB=2×60°=120°.\because OA=OB,\therefore∠OAB=∠OBA=\frac{1}{2}×(180°-120°)=30°.\therefore OE=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}OD.\therefore DE=\frac{1}{2}OD.\because DE=1,\therefore OD=2.\therefore\overset{\frown}{ADB}$的长$l=\frac{120π×2}{180}=\frac{4π}{3}$
解析
【分析】
要计算$\overset{\frown}{ADB}$的长度，需使用弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，因此需要先确定弧对应的圆心角度数$n$和圆的半径$R$。首先根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知圆周角$∠ ACB=60°$，可求出圆心角$∠ AOB$的度数；其次结合$OD⊥ AB$、$△ OAB$是等腰三角形，可推出$∠ OAB=30°$，再利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，结合$DE=1$即可求出半径$OD$的长度，最后代入弧长公式就能得到$\overset{\frown}{ADB}$的长度。
【解析】
解：连接$OA$、$OB$，
$\because ∠ ACB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，$∠ AOB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角，
$\therefore$ 由圆周角定理得：$∠ AOB=2∠ ACB=2×60°=120°$。
$\because OA=OB$，
$\therefore ∠ OAB=∠ OBA=\frac{1}{2}×(180°-∠ AOB)=\frac{1}{2}×(180°-120°)=30°$。
$\because OD⊥ AB$，
$\therefore △ OAE$是直角三角形，
$\therefore OE=\frac{1}{2}OA$，
又$\because OA=OD$，
$\therefore OE=\frac{1}{2}OD$，
$\therefore DE=OD-OE=\frac{1}{2}OD$。
$\because DE=1$，
$\therefore OD=2$，即$\odot O$的半径为2。
$\therefore \overset{\frown}{ADB}$的长$l=\frac{120π×2}{180}=\frac{4π}{3}$。
【答案】
$\frac{4π}{3}$
【知识点】
圆周角定理，弧长计算，直角三角形性质
【点评】
本题是圆相关计算的典型习题，解题核心是通过添加辅助线构造等腰三角形和直角三角形，结合圆的性质求出弧长公式所需的圆心角和半径两个参数，整体解题思路清晰，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
要计算$\overset{\frown}{ADB}$的长度，需使用弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，因此需要先确定弧对应的圆心角度数$n$和圆的半径$R$。首先根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知圆周角$∠ ACB=60°$，可求出圆心角$∠ AOB$的度数；其次结合$OD⊥ AB$、$△ OAB$是等腰三角形，可推出$∠ OAB=30°$，再利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，结合$DE=1$即可求出半径$OD$的长度，最后代入弧长公式就能得到$\overset{\frown}{ADB}$的长度。
【解析】
解：连接$OA$、$OB$，
$\because ∠ ACB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，$∠ AOB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角，
$\therefore$ 由圆周角定理得：$∠ AOB=2∠ ACB=2×60°=120°$。
$\because OA=OB$，
$\therefore ∠ OAB=∠ OBA=\frac{1}{2}×(180°-∠ AOB)=\frac{1}{2}×(180°-120°)=30°$。
$\because OD⊥ AB$，
$\therefore △ OAE$是直角三角形，
$\therefore OE=\frac{1}{2}OA$，
又$\because OA=OD$，
$\therefore OE=\frac{1}{2}OD$，
$\therefore DE=OD-OE=\frac{1}{2}OD$。
$\because DE=1$，
$\therefore OD=2$，即$\odot O$的半径为2。
$\therefore \overset{\frown}{ADB}$的长$l=\frac{120π×2}{180}=\frac{4π}{3}$。
【答案】
$\frac{4π}{3}$
【知识点】
圆周角定理，弧长计算，直角三角形性质
【点评】
本题是圆相关计算的典型习题，解题核心是通过添加辅助线构造等腰三角形和直角三角形，结合圆的性质求出弧长公式所需的圆心角和半径两个参数，整体解题思路清晰，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
7. 如图①是一个手表，其表盘可以看作一个标准的圆形，图②是简化的示意图，一侧表带与表盘链接处的弧长($\overset{\frown}{AB}$或$\overset{\frown}{CD}$)为表盘$\odot O$的周长的$\frac{1}{6}$.已知表带的宽度AB和CD均为3 cm.
（1）求表盘$\odot O$的直径和表盘圆心O到表带边缘AB的距离；
（2）求表带被表盘覆盖的面积(阴影部分).
（1）求表盘$\odot O$的直径和表盘圆心O到表带边缘AB的距离；
（2）求表带被表盘覆盖的面积(阴影部分).
答案
7. (1) 如图,作半径$OE⊥AB$,垂足为H,连接OA,OB,设$∠AOB=n°,\odot O$的半径为R cm.$\because\overset{\frown}{AB}$的长度为$\odot O$的周长的$\frac{1}{6},\therefore\frac{nπ× R}{180}=\frac{1}{6}×2π R.$解得$n=60°,即∠AOB=60°.$又$\because AO=BO,\therefore△ABO$为等边三角形.$\therefore AO=AB=3$ cm.$\therefore\odot O$的直径为6 cm.$\because OH⊥AB,\therefore AH=BH=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}$ cm.$\therefore OH=\sqrt{AO^2-AH^2}=\sqrt{3^2-(\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ cm.答:表盘$\odot O$的直径为6 cm,表盘圆心O到表带边缘AB的距离为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$ cm (2) 表带被表盘覆盖的面积(阴影部分)$S=2×(\frac{60×π×3^2}{360}-\frac{\sqrt{3}}{4}×3^2)=(3π-\frac{9\sqrt{3}}{2})\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
（1）求解第一问时，首先根据弧长与圆周长的比例关系，求出弧$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角$∠ AOB$的度数；结合$OA=OB$（同圆半径相等），可判定$△ AOB$为等边三角形，进而得到圆的半径，即可求出直径；再利用垂径定理和勾股定理，计算圆心$O$到$AB$的距离。
（2）求解第二问时，观察可知阴影部分是两个完全相同的弓形，单个弓形的面积等于扇形$AOB$的面积减去$△ AOB$的面积，计算单个弓形面积后乘2即可得到阴影总面积。
【解析】
(1) 如图，作半径$OE⊥AB$，垂足为$H$，连接$OA$、$OB$，设$∠ AOB=n°$，$\odot O$的半径为$R$ cm。
$\because\overset{\frown}{AB}$的长度为$\odot O$的周长的$\frac{1}{6}$，
$\therefore\frac{nπ× R}{180}=\frac{1}{6}×2π R$，
解得$n=60$，即$∠ AOB=60°$。
又$\because AO=BO$，$\therefore△ ABO$为等边三角形，
$\therefore AO=AB=3$ cm，$\therefore\odot O$的直径为$2×3=6$ cm。
$\because OH⊥AB$，由垂径定理得$AH=BH=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}$ cm，
$\therefore OH=\sqrt{AO^2-AH^2}=\sqrt{3^2-(\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ cm。
(2) 单个弓形（$AB$边对应的阴影部分）的面积为扇形$AOB$的面积减去$△ AOB$的面积，
则表带被表盘覆盖的总面积$S=2×(S_{扇形AOB}-S_{△ AOB})$，
代入公式得：
$S=2×(\frac{60×π×3^2}{360}-\frac{\sqrt{3}}{4}×3^2)=(3π-\frac{9\sqrt{3}}{2})\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
(1) 表盘$\odot O$的直径为6 cm，表盘圆心O到表带边缘AB的距离为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$ cm；
(2) 表带被表盘覆盖的面积为$(3π-\frac{9\sqrt{3}}{2})\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
弧长公式，等边三角形性质，扇形面积计算
【点评】
本题结合生活中的手表场景命题，将实际问题转化为圆的几何计算问题，解题核心是通过弧长与周长的关系推导圆心角，再将不规则的阴影面积转化为规则的扇形、三角形面积的和差进行计算，考查了对圆相关公式的应用能力和图形转化思想。
【难度系数】
0.7
（1）求解第一问时，首先根据弧长与圆周长的比例关系，求出弧$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角$∠ AOB$的度数；结合$OA=OB$（同圆半径相等），可判定$△ AOB$为等边三角形，进而得到圆的半径，即可求出直径；再利用垂径定理和勾股定理，计算圆心$O$到$AB$的距离。
（2）求解第二问时，观察可知阴影部分是两个完全相同的弓形，单个弓形的面积等于扇形$AOB$的面积减去$△ AOB$的面积，计算单个弓形面积后乘2即可得到阴影总面积。
【解析】
(1) 如图，作半径$OE⊥AB$，垂足为$H$，连接$OA$、$OB$，设$∠ AOB=n°$，$\odot O$的半径为$R$ cm。
$\because\overset{\frown}{AB}$的长度为$\odot O$的周长的$\frac{1}{6}$，
$\therefore\frac{nπ× R}{180}=\frac{1}{6}×2π R$，
解得$n=60$，即$∠ AOB=60°$。
又$\because AO=BO$，$\therefore△ ABO$为等边三角形，
$\therefore AO=AB=3$ cm，$\therefore\odot O$的直径为$2×3=6$ cm。
$\because OH⊥AB$，由垂径定理得$AH=BH=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}$ cm，
$\therefore OH=\sqrt{AO^2-AH^2}=\sqrt{3^2-(\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ cm。
(2) 单个弓形（$AB$边对应的阴影部分）的面积为扇形$AOB$的面积减去$△ AOB$的面积，
则表带被表盘覆盖的总面积$S=2×(S_{扇形AOB}-S_{△ AOB})$，
代入公式得：
$S=2×(\frac{60×π×3^2}{360}-\frac{\sqrt{3}}{4}×3^2)=(3π-\frac{9\sqrt{3}}{2})\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
(1) 表盘$\odot O$的直径为6 cm，表盘圆心O到表带边缘AB的距离为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$ cm；
(2) 表带被表盘覆盖的面积为$(3π-\frac{9\sqrt{3}}{2})\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
弧长公式，等边三角形性质，扇形面积计算
【点评】
本题结合生活中的手表场景命题，将实际问题转化为圆的几何计算问题，解题核心是通过弧长与周长的关系推导圆心角，再将不规则的阴影面积转化为规则的扇形、三角形面积的和差进行计算，考查了对圆相关公式的应用能力和图形转化思想。
【难度系数】
0.7
8. 如图是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心C恰好是$△ ABO$的内心，已知$AB=2\sqrt{3}$。
（1）求证：$△ ABO$为等边三角形。
（2）求窗花的周长（图中实线部分的长度）（结果保留$π$）。
（1）求证：$△ ABO$为等边三角形。
（2）求窗花的周长（图中实线部分的长度）（结果保留$π$）。
答案
8. (1) 如图,过点C作$CM⊥AB$,垂足为M,则$AM=BM=\frac{1}{2}AB=\sqrt{3}.\because$六条等弧所对应的弦构成一个正六边形,中心为点O,$\therefore∠AOB=\frac{360°}{6}=60°$,且$OA=OB.\therefore△AOB$是等边三角形 (2) $\because C$是$△ABO$的内心,$\therefore∠CAB=∠CBA=\frac{1}{2}×60°=30°.\therefore∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=120°.$设$CM=x$,在$\mathrm{Rt}△ACM$中,$∠CAM=30°,\therefore AC=2CM=2x.$由勾股定理,得$AM^2+CM^2=AC^2.\because AM=\sqrt{3},\therefore(\sqrt{3})^2+x^2=(2x)^2.$解得$x=2$(负值舍去).$\therefore AC=2.\therefore\overset{\frown}{AB}$的长$l=\frac{120×π×2}{180}=\frac{4}{3}π.\therefore$花窗的周长为$\frac{4}{3}π×6=8π$
解析
【分析】
（1）要证△ABO为等边三角形，首先结合正六边形的性质：正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，且中心到各顶点的距离相等即OA=OB，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”即可完成证明。
（2）要求窗花的周长，需先求单条弧$\overset{\frown}{AB}$的长度再乘以6。首先利用三角形内心是角平分线交点的性质，结合等边三角形内角为60°，可得$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角∠ACB=120°；再作CM⊥AB，通过垂径定理、含30°直角三角形的性质和勾股定理求出$\overset{\frown}{AB}$所在圆的半径AC，最后代入弧长公式计算单条弧长，乘以6得到总周长。
【解析】
（1）证明：过点C作$CM⊥AB$，垂足为M，
由垂径定理可得$AM=BM=\frac{1}{2}AB=\sqrt{3}$。
∵六条等弧对应的弦构成正六边形，中心为O，
∴中心角$∠ AOB=\frac{360°}{6}=60°$，且$OA=OB$，
∴$△ ABO$为有一个内角为60°的等腰三角形，即$△ ABO$是等边三角形。
（2）解：
∵C是$△ ABO$的内心，
∴AC、BC分别平分$∠ OAB$、$∠ OBA$，
∵$△ ABO$是等边三角形，$∠ OAB=∠ OBA=60°$，
∴$∠ CAB=∠ CBA=\frac{1}{2}×60°=30°$，
∴$∠ ACB=180°-30°-30°=120°$。
设$CM=x$，在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$∠ CAM=30°$，
∴$AC=2CM=2x$，
由勾股定理得：$AM^2+CM^2=AC^2$，
代入$AM=\sqrt{3}$得：$(\sqrt{3})^2+x^2=(2x)^2$，
解得$x=1$（负值舍去），
∴$AC=2x=2$，
∴$\overset{\frown}{AB}$的长为$\frac{120×π×2}{180}=\frac{4}{3}π$，
∵窗花共有6条等长的弧，
∴窗花的周长为$\frac{4}{3}π×6=8π$。
【答案】
（1）$△ ABO$为等边三角形，证明成立；（2）窗花的周长为$8π$。
【知识点】
正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、弧长计算
【点评】
本题结合了正多边形、三角形内心和弧长计算的相关知识，整体难度不大，主要考察基础知识点的综合运用，解题的核心是先通过正六边形的特征得到等边三角形，再结合内心性质求出弧的圆心角和半径，最终计算得到周长。
【难度系数】
0.7
（1）要证△ABO为等边三角形，首先结合正六边形的性质：正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，且中心到各顶点的距离相等即OA=OB，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”即可完成证明。
（2）要求窗花的周长，需先求单条弧$\overset{\frown}{AB}$的长度再乘以6。首先利用三角形内心是角平分线交点的性质，结合等边三角形内角为60°，可得$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角∠ACB=120°；再作CM⊥AB，通过垂径定理、含30°直角三角形的性质和勾股定理求出$\overset{\frown}{AB}$所在圆的半径AC，最后代入弧长公式计算单条弧长，乘以6得到总周长。
【解析】
（1）证明：过点C作$CM⊥AB$，垂足为M，
由垂径定理可得$AM=BM=\frac{1}{2}AB=\sqrt{3}$。
∵六条等弧对应的弦构成正六边形，中心为O，
∴中心角$∠ AOB=\frac{360°}{6}=60°$，且$OA=OB$，
∴$△ ABO$为有一个内角为60°的等腰三角形，即$△ ABO$是等边三角形。
（2）解：
∵C是$△ ABO$的内心，
∴AC、BC分别平分$∠ OAB$、$∠ OBA$，
∵$△ ABO$是等边三角形，$∠ OAB=∠ OBA=60°$，
∴$∠ CAB=∠ CBA=\frac{1}{2}×60°=30°$，
∴$∠ ACB=180°-30°-30°=120°$。
设$CM=x$，在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$∠ CAM=30°$，
∴$AC=2CM=2x$，
由勾股定理得：$AM^2+CM^2=AC^2$，
代入$AM=\sqrt{3}$得：$(\sqrt{3})^2+x^2=(2x)^2$，
解得$x=1$（负值舍去），
∴$AC=2x=2$，
∴$\overset{\frown}{AB}$的长为$\frac{120×π×2}{180}=\frac{4}{3}π$，
∵窗花共有6条等长的弧，
∴窗花的周长为$\frac{4}{3}π×6=8π$。
【答案】
（1）$△ ABO$为等边三角形，证明成立；（2）窗花的周长为$8π$。
【知识点】
正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、弧长计算
【点评】
本题结合了正多边形、三角形内心和弧长计算的相关知识，整体难度不大，主要考察基础知识点的综合运用，解题的核心是先通过正六边形的特征得到等边三角形，再结合内心性质求出弧的圆心角和半径，最终计算得到周长。
【难度系数】
0.7
