1. (甘肃中考)问题解决:如图①,在矩形ABCD中,点E,F分别在AB,BC边上,DE=AF,DE⊥AF于点G.
(1)求证:四边形ABCD是正方形;
(2)延长CB到点H,使得BH=AE,判断△AHF的形状,并说明理由;
(3)类比迁移:如图②,在菱形ABCD中,点E,F分别在AB,BC边上,DE与AF相交于点G,DE=AF,∠AED=60°,AE=6,BF=2,求DE的长.

(1)
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ ∠DAB = ∠ABC = 90°.
∵ DE⊥AF,
∴ ∠DAB = ∠AGD = 90°,
∴ ∠BAF+∠DAF=90°,∠ADE+∠DAF = 90°,
∴ ∠ADE = ∠BAF.
∵ DE = AF,
∴ △ADE≌△BAF(AAS),
∴ AD=AB,
∴ 四边形 ABCD 是正方形.
(2)△AHF 是等腰三角形,理由:由(1)知四边形 ABCD 是正方形,
∴ ∠DAB = ∠ABH = 90°,AB = DA.
∵ BH = AE,
∴ △DAE≌△ABH(SAS),
∴ AH=DE.
∵ DE=AF,
∴ AH=AF,
∴ △AHF是等腰三角形.
(3)如图,延长 CB 到点 H,使 BH =AE=6,连接 AH,
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AD//BC,AB=AD,
∴ ∠ABH=∠BAD,
∴ △DAE≌△ABH ( SAS ),
∴ AH = DE, ∠AHB = ∠DEA = 60°.
∵ DE=AF,
∴ AH=AF,
∴ △AHF 是等边三角形,
∴ AH = HF=HB+BF=AE+BF=6+2=8,
∴ DE=AH=8.

2. (2025·德阳期中)将$n$个边长都为1 cm的正方形按如图所示的方法摆放,点$A_1,A_2,\dots,A_n$分别是正方形的中心,则$n$个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为.

$\frac{n-1}{4}\ \mathrm{cm}^2$ 解析:如图,设第一个正方形为 ABCD,连接 $AA_1$, $BA_1$,第一个正方形与第二个正方形的两边分别交于点 E,F,则 $∠EA_1F=90°$.
∵ 点 $A_1$ 是正方形的中心,
∴ $∠AA_1B = 90°$, $AA_1 = BA_1$, $∠A_1AF = ∠A_1BE = 45°$,$S_{△ AA_1B}=\frac{1}{4}S_{\mathrm{正方形}ABCD}=\frac{1}{4}\ \mathrm{cm}^2$,
∴ $∠AA_1B = ∠EA_1F = 90°$,
∴ $∠BA_1E = ∠AA_1F$,
∴ $△A_1BE ≌ △A_1AF$ ( ASA ),
∴ $S_{△ A_1BE}=S_{△ A_1AF}$,
∴ 第一个阴影部分的面积为 $S_{△ A_1AF}+S_{△ A_1AE}=S_{△ A_1BE}+S_{△ A_1AE}=S_{△ A_1AB}=\frac{1}{4}\ \mathrm{cm}^2$,同理其他的阴影部分的面积为$\frac{1}{4}\ \mathrm{cm}^2$,根据题意得两个正方形可得到一个阴影部分,则 $n$ 个这样的正方形重叠部分即为 $(n-1)$ 个阴影部分的和,
∴ $n$ 个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为 $\frac{1}{4}(n-1)=\frac{n-1}{4}\ \mathrm{cm}^2$.

3. 某学习小组在探究矩形的折叠问题时,将一块直角三角尺的直角顶点绕着矩形$ABCD(AB＜BC)$的对角线交点$O$旋转(如图①→②→③),图中$M,N$分别为直角三角尺的直角边与矩形$ABCD$的边$CD,BC$的交点.
(1)该小组中一名成员发现:在图①(三角尺的一直角边与$OD$重合)中,$BN^2=CD^2+CN^2$;在图③(三角尺的一直角边与$OC$重合)中,$CN^2=BN^2+CD^2$.请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由.
(2)写出图②中$BN,CN,CM,DM$这四条线段之间的数量关系,并说明理由.

(1)如选题图①中的结论,理由:连接 $DN$.
∵ 四边形 $ABCD$ 是矩形,
∴ $OB = OD$.
∵ $∠DON=90°$,
∴ $BN = DN$.
∵ $∠BCD = 90°$,
∴ $DN^2=CD^2+CN^2$,
∴ $BN^2=CD^2+CN^2$.(如选题图③中的结论,连接 $AN$,用同样的方法证明即可)
(2)$BN^2+DM^2=CM^2+CN^2$.理由:延长 $NO$ 交 $AD$ 于点 $P$,连接 $PM,MN$.
∵ 四边形 $ABCD$ 是矩形,
∴ $OD = OB$,$AD // BC$,
∴ $∠DPO=∠BNO$,$∠PDO=∠NBO$.在 $△BON$ 和 $△DOP$ 中,
$\begin{cases} ∠BNO=∠DPO, \\ ∠NBO=∠PDO, \\ OB=OD, \end{cases}$
∴ $△BON≌△DOP$( AAS ),
∴ $ON = OP$, $BN=PD$.
∵ $∠MON=90°$,
∴ $PM=MN$.
∵ $∠ADC=∠BCD=90°$,
∴ $PM^2=PD^2+DM^2$,$MN^2=CM^2+CN^2$,
∴ $PD^2+DM^2=CM^2+CN^2$,
∴ $BN^2+DM^2=CM^2+CN^2$.