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10.如图，已知∠AOD=30°，点C是射线OD上的一个动点.在点C的运动过程中，△AOC恰好是直角三角形，则此时∠A所有可能的度数为
60°或90°
.答案
10. $60°或90°$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确△AOC是直角三角形时，直角顶点的位置有多种可能，已知∠AOD=30°，不可能是直角，因此只需分两种情况讨论：①直角顶点在点C处；②直角顶点在点A处。再结合三角形内角和为180°，分别计算对应情况下∠A的度数即可，注意不要漏解。
【解析】
已知∠AOD=30°，△AOC为直角三角形，分两种情况讨论：
1. 当直角顶点为点C，即∠ACO=90°时：
根据三角形内角和为180°，可得$∠ A = 180° - ∠ AOD - ∠ ACO = 180° - 30° - 90° = 60°$；
2. 当直角顶点为点A，即$∠ A=90°$时：
此时△AOC为直角三角形，符合题意，$∠ A=90°$。
由于$∠ AOD=30°\ne90°$，因此不存在直角顶点在O点的情况。
综上，∠A所有可能的度数为$60°$或$90°$。
【答案】
$60°$或$90°$
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的定义
【点评】
本题考查三角形内角和的应用，解题的关键是对直角三角形的直角顶点进行分类讨论，避免出现漏解的情况，是基础的几何分类讨论题型。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确△AOC是直角三角形时，直角顶点的位置有多种可能，已知∠AOD=30°，不可能是直角，因此只需分两种情况讨论：①直角顶点在点C处；②直角顶点在点A处。再结合三角形内角和为180°，分别计算对应情况下∠A的度数即可，注意不要漏解。
【解析】
已知∠AOD=30°，△AOC为直角三角形，分两种情况讨论：
1. 当直角顶点为点C，即∠ACO=90°时：
根据三角形内角和为180°，可得$∠ A = 180° - ∠ AOD - ∠ ACO = 180° - 30° - 90° = 60°$；
2. 当直角顶点为点A，即$∠ A=90°$时：
此时△AOC为直角三角形，符合题意，$∠ A=90°$。
由于$∠ AOD=30°\ne90°$，因此不存在直角顶点在O点的情况。
综上，∠A所有可能的度数为$60°$或$90°$。
【答案】
$60°$或$90°$
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的定义
【点评】
本题考查三角形内角和的应用，解题的关键是对直角三角形的直角顶点进行分类讨论，避免出现漏解的情况，是基础的几何分类讨论题型。
【难度系数】
0.7
11.(长沙市中考改编)如图,在$△ ABC$中,AD是BC边上的高,E是AC上一点,连接DE,将$△ CDE$沿DE折叠,使点C落在AC边上的点F处,若$∠ ADF=20°$,$∠ BAC=75°$,则$∠ B$的度数为
50°
.答案
11. $50°$
解析
【分析】
解题时先结合已知条件联想相关性质：首先根据AD是BC边上的高可得直角，结合∠ADF的度数求出∠FDC的度数；再利用折叠前后对应角相等的性质，得到△DFC中∠DFC=∠C，结合三角形内角和定理算出∠C的度数；最后在△ABC中再次运用三角形内角和定理，代入已知的∠BAC和求出的∠C，即可得到∠B的度数。
【解析】
解：
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°。
∵∠ADF=20°，
∴∠FDC=∠ADC - ∠ADF=90°-20°=70°。
由折叠的性质可得∠DFC=∠C。
在△DFC中，根据三角形内角和为180°：
∠FDC + ∠DFC + ∠C = 180°，
将∠FDC=70°，∠DFC=∠C代入得：
70° + 2∠C = 180°，
解得∠C=55°。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
∠BAC + ∠B + ∠C = 180°，
已知∠BAC=75°，∠C=55°，
∴∠B=180° - 75° - 55°=50°。
【答案】
$50°$
【知识点】
折叠的性质，三角形内角和定理，高线的定义
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心是利用折叠的性质得到相等的角，再结合三角形内角和定理逐步推导未知角，解题过程逻辑清晰，是三角形章节的典型考法。
【难度系数】
0.75
解题时先结合已知条件联想相关性质：首先根据AD是BC边上的高可得直角，结合∠ADF的度数求出∠FDC的度数；再利用折叠前后对应角相等的性质，得到△DFC中∠DFC=∠C，结合三角形内角和定理算出∠C的度数；最后在△ABC中再次运用三角形内角和定理，代入已知的∠BAC和求出的∠C，即可得到∠B的度数。
【解析】
解：
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°。
∵∠ADF=20°，
∴∠FDC=∠ADC - ∠ADF=90°-20°=70°。
由折叠的性质可得∠DFC=∠C。
在△DFC中，根据三角形内角和为180°：
∠FDC + ∠DFC + ∠C = 180°，
将∠FDC=70°，∠DFC=∠C代入得：
70° + 2∠C = 180°，
解得∠C=55°。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
∠BAC + ∠B + ∠C = 180°，
已知∠BAC=75°，∠C=55°，
∴∠B=180° - 75° - 55°=50°。
【答案】
$50°$
【知识点】
折叠的性质，三角形内角和定理，高线的定义
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心是利用折叠的性质得到相等的角，再结合三角形内角和定理逐步推导未知角，解题过程逻辑清晰，是三角形章节的典型考法。
【难度系数】
0.75
12.(南宁二十六中单元卷)将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D.已知∠A=∠EDF=90°,∠ACB=∠B,∠E=30°,∠BCE=40°,求∠CDF的度数.
答案
12. 解:$\because$ 在 $△ABC$ 中, $∠A=90°$,$∠ACB=∠B,∴∠ACB=∠B=45°,∴∠ECD=∠BCE+∠ACB=40°+45°=85°,∴∠ACF=180°-85°=95°. \because ∠EDF=90°,∠E=30°,∴∠F=90°-∠E=60°. \because ∠ACF+∠CDF+∠F=180°,∴∠CDF=180°-95°-60°=25°.$
解析
【分析】
要计算∠CDF的度数，我们可以逐步推导相关角的度数：首先利用等腰直角△ABC的特征算出∠ACB的度数，结合已知的∠BCE求出∠ACF的度数；再根据直角△EDF的角度特征算出∠F的度数；最后在△CDF中利用三角形内角和定理即可求出∠CDF的度数。
【解析】
解:$\because$ 在 $△ABC$ 中, $∠A=90°$,$∠ACB=∠B$,
$\therefore ∠ACB=∠B=45°$,
$\therefore ∠ECD=∠BCE+∠ACB=40°+45°=85°$,
$\therefore ∠ACF=180°-85°=95°$.
$\because ∠EDF=90°,∠E=30°$,
$\therefore ∠F=90°-∠E=60°$.
$\because ∠ACF+∠CDF+∠F=180°$,
$\therefore ∠CDF=180°-95°-60°=25°$.
【答案】
$25°$
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余；平角的定义
【点评】
本题属于三角板组合的角度计算基础题，解题核心是熟悉两种直角三角板的固有角度，理清各角的位置及和差关系，结合角度相关性质即可顺利求解，能很好地考查基础的角度运算能力。
【难度系数】
0.75
要计算∠CDF的度数，我们可以逐步推导相关角的度数：首先利用等腰直角△ABC的特征算出∠ACB的度数，结合已知的∠BCE求出∠ACF的度数；再根据直角△EDF的角度特征算出∠F的度数；最后在△CDF中利用三角形内角和定理即可求出∠CDF的度数。
【解析】
解:$\because$ 在 $△ABC$ 中, $∠A=90°$,$∠ACB=∠B$,
$\therefore ∠ACB=∠B=45°$,
$\therefore ∠ECD=∠BCE+∠ACB=40°+45°=85°$,
$\therefore ∠ACF=180°-85°=95°$.
$\because ∠EDF=90°,∠E=30°$,
$\therefore ∠F=90°-∠E=60°$.
$\because ∠ACF+∠CDF+∠F=180°$,
$\therefore ∠CDF=180°-95°-60°=25°$.
【答案】
$25°$
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余；平角的定义
【点评】
本题属于三角板组合的角度计算基础题，解题核心是熟悉两种直角三角板的固有角度，理清各角的位置及和差关系，结合角度相关性质即可顺利求解，能很好地考查基础的角度运算能力。
【难度系数】
0.75
13.如图,在$△ ABC$中,$∠ A=30°$,$∠ B=62°$,CE平分$∠ ACB$.
(1)求$∠ ACE$的度数;
(2)若$CD⊥ AB$于点$D$,$∠ CDF=74°$,求证:$△ CFD$是直角三角形.
(1)求$∠ ACE$的度数;
(2)若$CD⊥ AB$于点$D$,$∠ CDF=74°$,求证:$△ CFD$是直角三角形.
答案
13. (1)解:$\because ∠A=30°,∠B=62°,∴∠ACB=180°-∠A-∠B=88°.$
$\because CE$ 平分 $∠ACB,∴∠ACE=∠BCE=\frac{1}{2}∠ACB=44°.$
(2)证明:$\because CD⊥AB,∴∠CDB=90°,∴∠BCD = 90° - ∠B = 28°, ∴∠FCD=∠ECB-∠BCD=16°.$
$\therefore ∠CFD = 180° - ∠FCD -∠CDF=90°,∴△CFD$ 是直角三角形.
$\because CE$ 平分 $∠ACB,∴∠ACE=∠BCE=\frac{1}{2}∠ACB=44°.$
(2)证明:$\because CD⊥AB,∴∠CDB=90°,∴∠BCD = 90° - ∠B = 28°, ∴∠FCD=∠ECB-∠BCD=16°.$
$\therefore ∠CFD = 180° - ∠FCD -∠CDF=90°,∴△CFD$ 是直角三角形.
解析
【分析】
(1) 求∠ACE的度数，首先根据三角形内角和为180°，结合已知的∠A、∠B的度数求出∠ACB的度数；再根据角平分线的定义，角平分线将角分为两个相等的角，即可求出∠ACE的度数。
(2) 要证明△CFD是直角三角形，只需证明该三角形有一个内角为90°。首先根据CD⊥AB得到∠CDB=90°，利用直角三角形两锐角互余求出∠BCD的度数；结合第(1)问得到的∠BCE的度数，计算出∠FCD的度数；最后在△CFD中利用三角形内角和定理求出∠CFD的度数，判断其是否为90°即可完成证明。
【解析】
(1) 解：在△ABC中，根据三角形内角和定理得：
$∠ ACB=180°-∠ A-∠ B=180°-30°-62°=88°$
$\because CE$平分$∠ ACB$
$\therefore ∠ ACE=∠ BCE=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×88°=44°$
(2) 证明：
$\because CD⊥ AB$
$\therefore ∠ CDB=90°$
在$\mathrm{Rt}△ CDB$中，$∠ BCD+∠ B=90°$
$\therefore ∠ BCD=90°-∠ B=90°-62°=28°$
由(1)知$∠ BCE=44°$
$\therefore ∠ FCD=∠ BCE-∠ BCD=44°-28°=16°$
在$△ CFD$中，根据三角形内角和定理：
$∠ CFD=180°-∠ FCD-∠ CDF=180°-16°-74°=90°$
$\therefore △ CFD$是直角三角形。
【答案】
(1) $∠ ACE=44°$；
(2) 已证$△ CFD$是直角三角形。
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的判定
【点评】
本题是三角形相关的基础题型，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理与角平分线的性质，理清各角之间的和差关系，逐步推导即可得出结论，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.85
(1) 求∠ACE的度数，首先根据三角形内角和为180°，结合已知的∠A、∠B的度数求出∠ACB的度数；再根据角平分线的定义，角平分线将角分为两个相等的角，即可求出∠ACE的度数。
(2) 要证明△CFD是直角三角形，只需证明该三角形有一个内角为90°。首先根据CD⊥AB得到∠CDB=90°，利用直角三角形两锐角互余求出∠BCD的度数；结合第(1)问得到的∠BCE的度数，计算出∠FCD的度数；最后在△CFD中利用三角形内角和定理求出∠CFD的度数，判断其是否为90°即可完成证明。
【解析】
(1) 解：在△ABC中，根据三角形内角和定理得：
$∠ ACB=180°-∠ A-∠ B=180°-30°-62°=88°$
$\because CE$平分$∠ ACB$
$\therefore ∠ ACE=∠ BCE=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×88°=44°$
(2) 证明：
$\because CD⊥ AB$
$\therefore ∠ CDB=90°$
在$\mathrm{Rt}△ CDB$中，$∠ BCD+∠ B=90°$
$\therefore ∠ BCD=90°-∠ B=90°-62°=28°$
由(1)知$∠ BCE=44°$
$\therefore ∠ FCD=∠ BCE-∠ BCD=44°-28°=16°$
在$△ CFD$中，根据三角形内角和定理：
$∠ CFD=180°-∠ FCD-∠ CDF=180°-16°-74°=90°$
$\therefore △ CFD$是直角三角形。
【答案】
(1) $∠ ACE=44°$；
(2) 已证$△ CFD$是直角三角形。
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的判定
【点评】
本题是三角形相关的基础题型，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理与角平分线的性质，理清各角之间的和差关系，逐步推导即可得出结论，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.85
14.【新考法·组合条件开放】如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,点$D,E$分别在$BC,AC$上,$BE,AD$相交于点$F$,有以下三个选项:①$△ AEB$为直角三角形,②$AD$平分$∠ BAC$,③$∠ BFD=∠ BDA$,从中选两个作为条件,另一个作为结论,并加以证明.
条件
条件
② ③
,结论①
.(填序号)答案
14. ② ③ ① 证明:$\because AD$ 平分 $∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∵∠BFD = ∠BDA, ∠BFD =∠AFE,∴∠AFE=∠BDA,∵∠BAD+∠ABC+∠BDA=180°,∠AFE+∠AEF+∠CAD=180°,∴∠ABC = ∠AEF = 90°, ∴△AEB$ 为直角三角形.(答案不唯一,合理即可)
解析
【分析】
我们可选择②③作为条件，推导结论①，思考步骤如下：第一步，根据角平分线的定义，由AD平分∠BAC可得到∠BAD=∠CAD；第二步，结合已知∠BFD=∠BDA，利用对顶角相等的性质，可推出∠AFE=∠BDA；第三步，利用三角形内角和为180°，分别写出△ABD和△AFE的内角和等式，对比两个等式中已有的等角，可推出∠AEF=∠ABC，结合∠ABC=90°即可证明△AEB是直角三角形。
【解析】
证明：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠BFD = ∠BDA，∠BFD =∠AFE（对顶角相等），
∴∠AFE=∠BDA，
∵∠BAD+∠ABC+∠BDA=180°，∠AFE+∠AEF+∠CAD=180°，
∴∠ABC = ∠AEF，
又
∵∠ABC=90°，
∴∠AEF=90°，
∴△AEB为直角三角形。
【答案】
条件②③，结论①（答案不唯一）
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题属于条件开放类问题，需要学生灵活梳理角之间的等量关系，结合三角形相关性质完成推导，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
我们可选择②③作为条件，推导结论①，思考步骤如下：第一步，根据角平分线的定义，由AD平分∠BAC可得到∠BAD=∠CAD；第二步，结合已知∠BFD=∠BDA，利用对顶角相等的性质，可推出∠AFE=∠BDA；第三步，利用三角形内角和为180°，分别写出△ABD和△AFE的内角和等式，对比两个等式中已有的等角，可推出∠AEF=∠ABC，结合∠ABC=90°即可证明△AEB是直角三角形。
【解析】
证明：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠BFD = ∠BDA，∠BFD =∠AFE（对顶角相等），
∴∠AFE=∠BDA，
∵∠BAD+∠ABC+∠BDA=180°，∠AFE+∠AEF+∠CAD=180°，
∴∠ABC = ∠AEF，
又
∵∠ABC=90°，
∴∠AEF=90°，
∴△AEB为直角三角形。
【答案】
条件②③，结论①（答案不唯一）
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题属于条件开放类问题，需要学生灵活梳理角之间的等量关系，结合三角形相关性质完成推导，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
