1.已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=60°$，$AB=8\ \mathrm{cm}$，则$BC$的长度为（）

A.$7\ \mathrm{cm}$
B.$6\ \mathrm{cm}$
C.$5\ \mathrm{cm}$
D.$4\ \mathrm{cm}$

1.D

【分析】
解题时首先根据直角三角形的内角特征，先计算出未知锐角的度数，再结合含30°角的直角三角形的性质求解边长。第一步：已知Rt△ABC中∠C=90°，∠B=60°，根据直角三角形两锐角互余，可算出∠A的度数为30°；第二步：回忆含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，找到30°角∠A所对的直角边是BC，斜边为已知的AB，代入数值即可求出BC的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=60°$，
根据直角三角形两锐角互余，可得：
$∠ A=90°-∠ B=90°-60°=30°$，
根据含30°角的直角三角形的性质：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，
$∠ A=30°$，它所对的直角边为$BC$，斜边$AB=8\ \mathrm{cm}$，
因此$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形两锐角互余；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础题，主要考查含30°角的直角三角形的性质的应用，解题的关键是先求出30°的锐角，再准确对应30°角所对的直角边和斜边，熟练掌握相关性质就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9

2.如图,在△ABC中,∠B=90°,∠BAC=30°,AB=4,D是BC延长线上一点,且CD=AC,连接AD,则AD的长为 ()

A.4
B.8
C.10
D.12

2.B

【分析】
解题时先从已知的Rt△ABC的角度条件出发，先求出∠ACB的度数；再结合AC=CD的等腰条件，利用三角形外角的性质求出∠D的度数；最后在Rt△ABD中，利用含30°角的直角三角形的性质即可求出AD的长度。
【解析】
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC=30°，
∴∠ACB=180°-90°-30°=60°。
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠D（等边对等角）。
∵∠ACB是△ACD的外角，
∴∠ACB=∠CAD+∠D=2∠D，
∴∠D=∠ACB÷2=60°÷2=30°。
在Rt△ABD中，∠B=90°，∠D=30°，根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，∠D所对的直角边为AB，
∴AB=$\frac{1}{2}$AD，
∴AD=2AB=2×4=8。
【答案】
B
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是通过角度推导得到Rt△ABD中30°的角，再结合特殊直角三角形的边长关系求解，侧重考查学生对基础几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8

3.如图，$△ ABC$是等边三角形，点D是AC的中点，$DE⊥ BC$，$CE=3$，则AC等于（）

A.6
B.8
C.9
D.12

3.D

【分析】
解题时首先利用等边三角形的性质得到∠C=60°，结合DE⊥BC的条件可判断△DEC是含30°角的直角三角形，再根据含30°角的直角三角形的性质求出CD的长度，最后结合D是AC中点的条件，即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°，
∴∠CDE=90°-∠C=30°，
在Rt△DEC中，30°角∠CDE所对的直角边为CE，根据含30°角的直角三角形的性质可得：
$CE=\frac{1}{2}CD$，
已知$CE=3$，代入得$CD=2CE=2×3=6$，
又
∵D是AC的中点，
∴$AC=2CD=2×6=12$。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，重点考查特殊三角形性质的综合运用，解题的突破口是推导出△DEC是含30°角的直角三角形，熟练掌握相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7

4. 如图，∠C=90°，∠A=30°，BD⊥AD于点D，DC//AB，AB=10，则CD的长为。

4.2.5

【分析】
解题思路：首先观察图形可知存在两个直角三角形Rt△ADB和Rt△BCD，我们可以先在Rt△ADB中，利用含30°角的直角三角形的性质求出BD的长度；再根据DC//AB得到内错角相等，推出Rt△BCD中角的度数，再次利用含30°角的直角三角形的性质即可求出CD的长。
【解析】
1. 在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠A=30°，AB=10，根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得：
$ BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5 $
2. 因为DC//AB，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠CDB=∠ABD。
3. 在Rt△ADB中，∠ABD=90°-∠A=90°-30°=60°，因此∠CDB=60°。
4. 在Rt△BCD中，∠C=90°，所以∠CBD=90°-∠CDB=90°-60°=30°，再次利用含30°角的直角三角形的性质，可得：
$ CD=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×5=2.5 $
【答案】
2.5
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质、平行线的性质
【点评】
本题需要两次运用含30°角的直角三角形的边角关系，结合平行线的性质推导角的等量关系，难度适中，解题的关键是找准不同直角三角形中30°角对应的直角边和斜边。
【难度系数】
0.7

5.(广州中考)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°,∠ A=30°$,线段AB的垂直平分线分别交AC,AB于点D,E,连接BD.若$CD=1$,则AD的长为.

5.2

【分析】
解题时先从已知的垂直平分线入手，根据垂直平分线的性质可得AD=BD，将求AD的长度转化为求BD的长度；再结合Rt△ABC的内角度数求出∠CBD的度数，发现△BCD是含30°角的直角三角形，利用该特殊直角三角形的边长关系即可求出BD，进而得到AD的长。
【解析】
∵ DE是线段AB的垂直平分线
∴ AD=BD，
∴ ∠ABD=∠A=30°
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°
∴ ∠ABC=90°-∠A=60°
∴ ∠CBD=∠ABC - ∠ABD=60°-30°=30°
在Rt△BCD中，∠C=90°，∠CBD=30°，CD=1
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得
BD=2CD=2×1=2
又
∵ AD=BD
∴ AD=2
【答案】
2
【知识点】
线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是利用垂直平分线实现线段和角的等量转化，再结合特殊直角三角形的边长性质求解，是对基础几何性质应用的常规考查。
【难度系数】
0.7

6.[应用意识]如图，某市地铁站入口的闸机双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10 cm，双翼的边缘AC=BD=52 cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°，那么两机箱之间的距离CD为cm.

6.62

【分析】
要求两机箱之间的距离CD，可将CD拆分为三部分计算：AC垂直于闸机箱方向的长度、A与B的间距、BD垂直于闸机箱方向的长度。我们可以通过作辅助线构造含30°角的直角三角形，利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，分别求出AC、BD对应垂线段的长度，再结合AB的长度求和即可得到CD的长度。
【解析】
解：过点A作AE⊥CP于点E，过点B作BF⊥DQ于点F。
在Rt△ACE中，∠PCA=30°，AC=52cm，
根据含30°角的直角三角形的性质：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×52=26\mathrm{cm}$
同理，在Rt△BDF中，∠BDQ=30°，BD=52cm，可得：
$BF=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×52=26\mathrm{cm}$
由题意可知AE、AB、BF在同一条水平线上，两机箱间距CD为三段线段之和，且AB=10cm，因此：
$CD=AE+AB+BF=26+10+26=62\mathrm{cm}$
【答案】
62
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质、线段和差计算
【点评】
本题以地铁站闸机为背景，考查了含30°角的直角三角形性质的实际应用，解题的关键是合理作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为直角三角形的线段计算问题，难度不大，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7

7.如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AD⊥ BC$于点$D$，若$∠ CAD=30°$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，则$BD$的长为

7.6 cm

【分析】
本题存在多个直角三角形，已知30°角，优先使用含30°角的直角三角形的性质解题：第一步，在Rt△ADC中根据直角三角形两锐角互余求出∠C的度数；第二步，在Rt△ABC中，结合∠C的度数求出AC的长度；第三步，回到Rt△ADC中，利用30°角的性质求出CD的长度，最后用BC减去CD即可得到BD的长度。
【解析】
解：
∵ $AD⊥BC$，
∴ $∠ ADC=90°$，
在$Rt△ ADC$中，$∠ CAD=30°$，
∴ $∠ C=90°-∠ CAD=90°-30°=60°$，
在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$∠ C=60°$，
∴ $∠ B=90°-∠ C=30°$，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$AC=\frac{1}{2}BC$，
∵ $BC=8\ \mathrm{cm}$，
∴ $AC=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$，
又在$Rt△ ADC$中，$∠ CAD=30°$，
∴ $CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}$，
∴ $BD=BC-CD=8-2=6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
6 cm
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余；2. 含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是含30°角直角三角形性质的基础应用题，解题时需要找准不同直角三角形中30°角对应的直角边和斜边，多次运用性质即可求出目标线段长度。
【难度系数】
0.7

8.如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且$DE // AB$,过点E作$EF ⊥ DE$,交BC的延长线于点F.
(1)求$∠ F$的度数;
(2)若$CD=2$,求DF的长.

8.解:(1)
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°.
∵DE//AB，
∴∠B=∠EDC=60°,∠A=∠CED=60°.
∵EF⊥ED，
∴∠DEF=90°.
∴∠F=30°.
(2)
∵∠DEF=90°,∠F=30°,
∴DF=2DE.
∵∠ECD=∠CED=60°,
∴DE=CD=2.
∴DF=2DE=4.

【分析】
(1)求解∠F的度数时，首先利用等边三角形内角为60°的性质，结合DE//AB的平行线同位角相等的性质，得到∠EDC的度数，再根据EF⊥DE可知△DEF是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠F；(2)求DF的长时，先根据含30°角的直角三角形的性质，得到斜边DF是DE的2倍，再证明△CDE是等边三角形，得到DE与CD相等，代入CD的数值即可求出DF的长度。
【解析】
(1)
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°。
∵DE//AB，
∴∠B=∠EDC=60°，∠A=∠CED=60°。
∵EF⊥ED，
∴∠DEF=90°。
∴∠F=90°-∠EDC=90°-60°=30°。
(2)
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，即DF=2DE。
∵∠EDC=∠ECD=∠CED=60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴DE=CD=2。
∴DF=2DE=2×2=4。
【答案】
(1)∠F=30°；(2)DF=4
【知识点】
等边三角形的性质；平行线的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定与性质、平行线的性质以及特殊直角三角形的性质，通过角度推导得到边的关系即可完成求解。
【难度系数】
0.7