5. (2025 信阳模拟)某厂商因故将某款外销商品转内销，经分析发现某款商品日销售量 $ y $(万件)与三月上旬日期 $ x $(日)的关系满足：$ y = x + 4(1 \leq x \leq 10,x $ 为整数)，每件产品的利润 $ z $(元)与日期 $ x $(日)的关系如表：

(1) 请你根据表格写出每件产品利润 $ z $(元)与日期 $ x $(日)的关系式；
(2) 若日利润 $ w $(万元) = 当日销售量 $ y $(万件) $ × $ 当日每件产品的利润 $ z $(元)，求日利润 $ w $(万元)与日期 $ x $(日)的关系式；
(3) 当 $ x $ 为何值时，日利润 $ w $(万元)有最大值，最大值为多少？

(1) $z = -x + 20 (1 \leq x \leq 10, x \mathrm{ 为整数})$；
(2) $w = -x^2 + 16x + 80 (1 \leq x \leq 10, x \mathrm{ 为整数})$；
(3) $x = 8$ 时，最大值为 $144$。

(1) 根据表格数据，观察 $z$ 与 $x$ 的关系，可以发现 $z$ 随 $x$ 的增加而线性减少。设 $z = ax + b$，带入两组数据点（例如 $x = 1, z = 19$ 和 $x = 2, z = 18$），可以求得：
$a = -1, \quad b = 20$，
因此，$z = -x + 20 (1 \leq x \leq 10, x \mathrm{ 为整数})$。
(2) 日利润 $w$ 定义为当日销售量 $y$（万件）乘以每件产品的利润 $z$（元）。
已知 $y = x + 4$，则：
$w = y × z = (x + 4)(-x + 20) = -x^2 + 16x + 80 \quad (1 \leq x \leq 10, x \mathrm{ 为整数})$
(3) 已知 $w = -x^2 + 16x + 80$，这是一个开口向下的二次函数。
通过配方，可以将其转化为顶点式：
$w = -(x - 8)^2 + 144$，
由于二次函数的性质，当 $x = 8$ 时，$w$ 取得最大值 $144$。

6. “端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是 40 元，并规定每盒售价不得少于 50 元，日销售量不低于 350 盒. 根据以往销售经验，当每盒售价定为 50 元时，日销售量为 500 盒，每盒售价每提高 1 元，日销售量减少 10 盒. 设每盒售价为 $ x $ 元，日销售量为 $ p $ 盒.
(1) 当 $ x = 60 $ 时，$ p = $.
(2) 当每盒售价定为多少元时，日销售利润 $ W $(元)最大？最大利润是多少？
(3) 小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大.”你认为他的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论.

(1) 400；(2) 65元，8750元；(3) 正确。

(1) 由题意，销量 $ p $ 与售价 $ x $ 的关系为：$ p = 500 - 10(x - 50) = 1000 - 10x $。当 $ x = 60 $ 时，$ p = 1000 - 10×60 = 400 $。
(2) 日销售利润 $ W = (x - 40)p = (x - 40)(1000 - 10x) = -10x^2 + 1400x - 40000 $。
由题意，$ x \geq 50 $ 且 $ p = 1000 - 10x \geq 350 $，解得 $ 50 \leq x \leq 65 $。
二次函数 $ W = -10x^2 + 1400x - 40000 $ 开口向下，对称轴 $ x = 70 $，在 $ 50 \leq x \leq 65 $ 内 $ W $ 随 $ x $ 增大而增大。
当 $ x = 65 $ 时，$ W_{\mathrm{max}} = (65 - 40)(1000 - 10×65) = 25×350 = 8750 $。
(3) 日销售额 $ S = x·p = x(1000 - 10x) = -10x^2 + 1000x $，对称轴 $ x = 50 $，在 $ 50 \leq x \leq 65 $ 内 $ S $ 随 $ x $ 增大而减小。
利润最大时 $ x = 65 $，此时销售额 $ S = 65×350 = 22750 $ 元；销售额最大时 $ x = 50 $，$ S = 50×500 = 25000 $ 元。故利润最大时销售额不是最大，小强说法正确。

7. (2025 信阳二模)【项目式学习】
项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”
项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用.
实验过程：如图，一个小球从斜坡顶端由静止滚下后，沿水平木板直线运动，从小球运动到点 $ A $ 处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间 $ x $(单位：s)、运动速度 $ v $(单位：cm/s)、滑行距离 $ y $(单位：cm)的数据.
任务一：数据收集
记录的数据如下：

任务二：观察分析
(1) 根据 $ v $，$ y $ 随 $ x $ 的变化规律，从所学的三种函数模型(一次函数、反比例函数、二次函数)中，选择适当的函数模型，分别求出 $ v $，$ y $ 满足的函数关系式；(不用写出自变量的取值范围)
任务三：问题解决
(2) 当小球在水平木板上停下来时，求小球的滑动距离；
(3) 当小球到达点 $ A $ 时，在点 $ A $ 的前方 $ n cm $ 处有一辆小车，以 4 cm/s 的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求 $ n $ 的取值范围.

$(1)$ 求$v$，$y$满足的函数关系式
- 求$v$关于$x$的函数关系式：
设$v = kx + b$，将$(0,10)$，$(2,9)$代入$v = kx + b$得：
$\begin{cases}b = 10\\2k + b = 9\end{cases}$
把$b = 10$代入$2k + b = 9$，得$2k+10 = 9$，解得$k = -\frac{1}{2}$。
所以$v$与$x$的函数关系式为$v=-\frac{1}{2}x + 10$。
- 求$y$关于$x$的函数关系式：
设$y = ax^{2}+bx + c$，将$(0,0)$，$(2,19)$，$(4,36)$代入$y = ax^{2}+bx + c$得：
$\begin{cases}c = 0\\4a + 2b = 19\\16a + 4b = 36\end{cases}$
由$4a + 2b = 19$得$8a + 4b = 38$，用$8a + 4b = 38$减去$16a + 4b = 36$：
$(8a + 4b)-(16a + 4b)=38 - 36$，即$-8a = 2$，解得$a = -\frac{1}{4}$。
把$a = -\frac{1}{4}$代入$4a + 2b = 19$，$4×(-\frac{1}{4})+2b = 19$，$-1 + 2b = 19$，解得$b=\frac{19 + 1}{2}=10$。
所以$y$与$x$的函数关系式为$y =-\frac{1}{4}x^{2}+10x$。
$(2)$ 求小球停下来时的滑动距离
当小球停下来时，$v = 0$，即$-\frac{1}{2}x + 10 = 0$，
$-\frac{1}{2}x=-10$，解得$x = 20$。
把$x = 20$代入$y =-\frac{1}{4}x^{2}+10x$得：
$y=-\frac{1}{4}×20^{2}+10×20$
$=-\frac{1}{4}×400 + 200$
$=-100 + 200$
$=100$（$cm$）。
$(3)$ 求$n$的取值范围
设小球运动时间为$t$秒时，小球与小车的距离为$s$。
小球滑行距离$y_{1}=-\frac{1}{4}t^{2}+10t$，小车行驶距离$y_{2}=4t$。
若小球不能撞上小车，则$y_{1}-y_{2}＜n$，即$-\frac{1}{4}t^{2}+10t-4t ＜ n$，$-\frac{1}{4}t^{2}+6t ＜ n$。
对于二次函数$y =-\frac{1}{4}t^{2}+6t$，$a =-\frac{1}{4}＜0$，对称轴$t =-\frac{6}{2×(-\frac{1}{4})}=12$。
当$t = 12$时，$y =-\frac{1}{4}×12^{2}+6×12$
$=-\frac{1}{4}×144 + 72$
$=-36 + 72$
$=36$。
所以$n＞36$。
综上，$(1)$$\boldsymbol{v=-\frac{1}{2}x + 10}$，$\boldsymbol{y =-\frac{1}{4}x^{2}+10x}$；$(2)$$\boldsymbol{100cm}$；$(3)$$\boldsymbol{n＞36}$。