基础知识·预习
问题1 如何用直尺和圆规作一个角的平分线？依据是什么？
问题2 角的平分线上的点具有什么特性？你是如何证明的？
问题3 你能举例说明证明一个几何命题的一般过程吗？

解：
问题1
作法：
1. 设已知角为∠AOB，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点M，交OB于点N；
2. 分别以点M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；
3. 画射线OC，射线OC就是∠AOB的平分线。
依据：三边分别相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等。
问题2
特性：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
证明：
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，$PD⊥ OA$，$PE⊥ OB$，垂足分别为D、E。
求证：$PD=PE$。
证明：
∵ OC平分∠AOB，
∴ $∠ POD=∠ POE$。
∵ $PD⊥ OA$，$PE⊥ OB$，
∴ $∠ PDO=∠ PEO=90°$。
在$△ PDO$和$△ PEO$中，
$\begin{cases}∠ PDO=∠ PEO \\∠ POD=∠ POE \\OP=OP\end{cases}$
∴ $△ PDO ≌ △ PEO \ (\mathrm{AAS})$，
∴ $PD=PE$。
问题3
证明几何命题的一般过程：
1. 分清命题的条件和结论，明确命题的已知和求证；
2. 根据题意画出对应的几何图形，用符号语言规范表述出已知和求证；
3. 分析已知条件和待证结论的关联，推导得出证明路径，写出完整严谨的证明过程。
举例：以证明“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”这个命题为例：
① 拆分命题：条件是点在一个角的平分线上，结论是这个点到角两边的距离相等，明确对应的已知和求证；
② 画出∠AOB、角平分线OC、OC上一点P，以及P到OA、OB的垂线段PD、PE的图形，用符号语言表述：已知OC平分∠AOB，点P在OC上，$PD⊥ OA$，$PE⊥ OB$，垂足为D、E；求证$PD=PE$；
③ 结合角平分线定义、垂直定义得到对应相等的角，利用公共边OP，通过AAS证明$△ PDO≌△ PEO$，由全等三角形对应边相等推出$PD=PE$，完成证明。

【分析】
我们逐个梳理三个问题的思考路径：
1. 作角平分线的核心思路是构造全等三角形得到相等的角：通过尺规操作构造两个三边对应相等的三角形，利用全等三角形对应角相等的性质，就能得到平分已知角的射线，作图步骤均围绕构造等长线段、全等三角形设计。
2. 探究角平分线上点的特性时，首先明确点到直线的距离是垂线段长度，要证明两条垂线段相等，可通过证明垂线段所在的三角形全等：结合角平分线得等角、垂直得直角、公共边相等的条件，用AAS即可证明全等，得到对应边相等的结论。
3. 梳理几何命题证明的一般过程时，先明确命题由条件、结论两部分组成：第一步拆分命题的条件和结论，第二步把文字命题转化为几何图形和符号语言的已知、求证，第三步结合已学定理完成推导证明，可直接用角平分线性质的证明作为对应例子说明。
【解析】
问题1
作法：
1. 设已知角为∠AOB，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点M，交OB于点N；
2. 分别以点M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；
3. 画射线OC，射线OC就是∠AOB的平分线。
依据：
三边分别相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等。
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问题2
特性：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
证明：
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，$PD⊥ OA$，$PE⊥ OB$，垂足分别为D、E。
求证：$PD=PE$。
证明：
∵ OC平分∠AOB，
∴ $∠ POD=∠ POE$。
∵ $PD⊥ OA$，$PE⊥ OB$，
∴ $∠ PDO=∠ PEO=90°$。
在$△ PDO$和$△ PEO$中，
$\begin{cases}∠ PDO=∠ PEO \\∠ POD=∠ POE \\OP=OP\end{cases}$
∴ $△ PDO ≌ △ PEO \ (\mathrm{AAS})$，
∴ $PD=PE$。
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问题3
证明几何命题的一般过程：
1. 分清命题的条件和结论，明确命题的已知和求证；
2. 根据题意画出对应的几何图形，用符号语言规范表述出已知和求证；
3. 分析已知条件和待证结论的关联，推导得出证明路径，写出完整严谨的证明过程。
举例（以证明“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”为例）：
① 拆分命题：条件是点在一个角的平分线上，结论是这个点到角两边的距离相等，明确对应的已知和求证；
② 画出∠AOB、角平分线OC、OC上一点P，以及P到OA、OB的垂线段PD、PE的图形，用符号语言表述：已知OC平分∠AOB，点P在OC上，$PD⊥ OA$，$PE⊥ OB$，垂足为D、E；求证$PD=PE$；
③ 结合角平分线定义、垂直定义得到对应相等的角，利用公共边OP，通过AAS证明$△ PDO≌△ PEO$，由全等三角形对应边相等推出$PD=PE$，完成证明。
【答案】
问题1
作法：
1. 设已知角为∠AOB，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点M，交OB于点N；
2. 分别以点M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；
3. 画射线OC，射线OC就是∠AOB的平分线。
依据：
三边分别相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等。
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问题2
特性：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
证明：
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，$PD⊥ OA$，$PE⊥ OB$，垂足分别为D、E。
求证：$PD=PE$。
证明：
∵ OC平分∠AOB，
∴ $∠ POD=∠ POE$。
∵ $PD⊥ OA$，$PE⊥ OB$，
∴ $∠ PDO=∠ PEO=90°$。
在$△ PDO$和$△ PEO$中，
$\begin{cases}∠ PDO=∠ PEO \\∠ POD=∠ POE \\OP=OP\end{cases}$
∴ $△ PDO ≌ △ PEO \ (\mathrm{AAS})$，
∴ $PD=PE$。
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问题3
证明几何命题的一般过程：
1. 分清命题的条件和结论，明确命题的已知和求证；
2. 根据题意画出对应的几何图形，用符号语言规范表述出已知和求证；
3. 分析已知条件和待证结论的关联，推导得出证明路径，写出完整严谨的证明过程。
举例（以证明“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”为例）：
① 拆分命题：条件是点在一个角的平分线上，结论是这个点到角两边的距离相等，明确对应的已知和求证；
② 画出∠AOB、角平分线OC、OC上一点P，以及P到OA、OB的垂线段PD、PE的图形，用符号语言表述：已知OC平分∠AOB，点P在OC上，$PD⊥ OA$，$PE⊥ OB$，垂足为D、E；求证$PD=PE$；
③ 结合角平分线定义、垂直定义得到对应相等的角，利用公共边OP，通过AAS证明$△ PDO≌△ PEO$，由全等三角形对应边相等推出$PD=PE$，完成证明。
【知识点】
1. 尺规作角平分线
2. 角平分线的性质
3. 几何证明步骤
【点评】
本题是角平分线相关的基础预习题目，覆盖了尺规作图、性质推导、几何证明规范三类核心基础内容，有助于学生理解角平分线性质的推导逻辑，掌握几何命题证明的规范流程，为后续角平分线的综合应用打下扎实基础。
【难度系数】
0.8

【典型例题1】如图，已知四边形ABCD，E为DC边上一点.求作四边形内一点P，使EP//BC，且点P到AB，AD的距离相等.

【解】作法:如图.
(1)作∠DAB的平分线AM;
(2)以E为顶点，ED为一边作∠DEN=∠C，EN交AM于点P，即为所求作点P.

规律方法 用尺规作一个角的平分线，实际上是运用"SSS"构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等，找到平分一个角的射线.

解：
作法：
(1) 作∠DAB的平分线AM；
(2) 以E为顶点，ED为一边，在四边形ABCD内部作∠DEN=∠C，射线EN交AM于点P，点P即为所求作的点。

【分析】
要找到同时满足两个条件的点P，可通过轨迹法分步分析：
1. 点P到AB、AD的距离相等：根据角平分线的判定，角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此点P必然在∠DAB的角平分线上；
2. EP//BC：根据平行线的判定（同位角相等，两直线平行），可通过作∠DEN=∠C得到平行于BC的射线EN，EN上所有点与E的连线都满足平行于BC。
两条轨迹的交点即为同时满足两个条件的所求点P。
【解析】
作图步骤及依据如下：
1. 作∠DAB的平分线AM：依据角平分线的判定，AM上所有点到AB、AD的距离相等，确定了点P的第一个轨迹；
2. 以E为顶点，ED为一边，在四边形内部作∠DEN=∠C：依据同位角相等、两直线平行，可得EN//BC，确定了点P的第二个轨迹；
3. 射线EN与AM的交点即为所求点P，该点同时满足EP//BC、到AB和AD的距离相等的要求。
【答案】
作法：
(1) 作∠DAB的平分线AM；
(2) 以E为顶点，ED为一边，在四边形ABCD内部作∠DEN=∠C，射线EN交AM于点P，点P即为所求作的点。
【知识点】
1. 角平分线的判定
2. 平行线的判定
3. 尺规作图
【点评】
本题是尺规作图的基础综合题，核心是将文字描述的几何条件转化为对应的几何轨迹，通过求两条轨迹的交点确定所求点，考查对基础几何性质和基本作图方法的灵活应用能力。
【难度系数】
0.8