12.已知$(x+a)(x^2 -x +c)$的积中不含$x^2$项和$x$项，求$a,c$的值.

12. $a = 1$，$c = 1$.

13.甲、乙两人计算$(2x+a)(3x+b)$.甲把第一个多项式中的“$+a$”看成了“$-a$”，计算结果为$6x^2 -13x -ab$；乙漏抄了第二个多项式中$x$的系数，计算结果为$2x^2 -x +ab$.
(1)$a$，$b$的值各是多少？
(2)代入$a$，$b$的值计算$(2x+a)(3x+b)$.

13. 解:(1) $(2x - a)(3x + b)$
$= 6x^2 + (2b - 3a)x - ab$
$= 6x^2 - 13x - ab$.
$(2x + a)(x + b)$
$= 2x^2 + (2b + a)x + ab$
$= 2x^2 - x + ab$.
根据甲、乙的计算结果和等式的性质,得
$\begin{cases}2b - 3a = -13, \\2b + a = -1.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a = 3, \\b = -2.\end{cases}$
(2)$(2x + a)(3x + b) = (2x + 3)(3x - 2)$
$= 6x^2 + 5x - 6$.

14.如图2-1-4，有一块长为$(3a + b)\mathrm{m}$、宽为$(a + 2b)\mathrm{m}$的长方形地块，在周边阴影部分进行绿化，并在中间边长为$(a + b)\mathrm{m}$的正方形空地修建一座雕像，求阴影部分的面积$S$，并求出当$a = 3\mathrm{m}$，$b = 2\mathrm{m}$时$S$的值。

图2-1-4

14. 提示:$S = (3a + b)(a + 2b) - (a + b)^2$
$= 2a^2 + 5ab + b^2$.
当$a = 3,b = 2$时,代入上式,得
$S = 2×3^2 + 5×3×2 + 2^2 = 52(\mathrm{m}^2)$.

15.在一块长为$7m+5n$、宽为$5m+3n$的长方形铁片的四个角都剪去一个边长为$m+n$的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，求这个盒子的体积.

15. 提示:$[7m + 5n - 2(m + n)][5m + 3n - 2(m + n)](m + n) = 15m^3 + 29m^2n + 17mn^2 + 3n^3$.

16.观察下列各等式,根据你发现的规律解答后续问题:
$(x-1)(x+1)=x^2 -1$,
$(x-1)(x^2 +x +1)=x^3 -1$,
$(x-1)(x^3 +x^2 +x +1)=x^4 -1$,
$(x-1)(x^4 +x^3 +x^2 +x +1)=x^5 -1$,
……
(1) 求$2^5 +2^4 +2^3 +2^2 +2 +1$的值.
(2) 求$3^{100} +3^{99} +3^{98} +\dots +3^2 +3 +1$的结果.

16. 提示:(1) 原式 $= (2 - 1)(2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2 + 1) = 2^6 - 1 = 63$.
(2) 原式 $= \frac{1}{2}(3 - 1)(3^{100} + 3^{99} + 3^{98} + \dots + 3^2 + 3 + 1) = \frac{3^{101} - 1}{2}$.