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13. 某同学在计算一个多项式乘 $ -3x^{2} $ 时，算成了加上 $ -3x^{2} $，得到的结果是 $ x^{2} - 4x + 1 $，那则正确的计算结果是
$-12x^{4} + 12x^{3} - 3x^{2}$
.答案
13. $-12x^{4} + 12x^{3} - 3x^{2}$
14. 已知代数式 $ (-x) · (2x^{2} - ax - 1) - 2x^{3} + 3x^{2} $ 中不含 $ x $ 的二次项，则 $ a = $
$-3$
.答案
14. $-3$ 解析：$(-x) · (2x^{2} - ax - 1) - 2x^{3} + 3x^{2} = -2x^{3} + ax^{2} + x - 2x^{3} + 3x^{2} = -4x^{3} + (a + 3)x^{2} + x$。因为$(-x) · (2x^{2} - ax - 1) - 2x^{3} + 3x^{2}$中不含$x$的二次项，所以$a + 3 = 0$，解得$a = -3$。
15. 新素养 推理能力 对于任意有理数 $ a $，$ b $，规定一种运算“※”：$ a※b = ab + a - b $，例如：$ 2※3 = 2×3 + 2 - 3 = 5 $.
(1) 化简：$ (m + n)※m + (n - m)※n $；
(2) 若(1)中 $ m $，$ n $ 满足 $ (m - 2)^{2} + |n + 1| = 0 $，求(1)中式子的值.
(1) 化简：$ (m + n)※m + (n - m)※n $；
(2) 若(1)中 $ m $，$ n $ 满足 $ (m - 2)^{2} + |n + 1| = 0 $，求(1)中式子的值.
答案
15. （1）由题意，得原式$=(m + n)m + (m + n) - m + (n - m)n + (n - m) - n = m^{2} + mn + m + n - m + n^{2} - mn + n - m - n = m^{2} - m + n + n^{2}$。
（2）因为$(m - 2)^{2} + |n + 1| = 0$，所以$m - 2 = 0$，$n + 1 = 0$，解得$m = 2$，$n = -1$，所以原式$=2^{2} - 2 + (-1) + (-1)^{2} = 2$。
（2）因为$(m - 2)^{2} + |n + 1| = 0$，所以$m - 2 = 0$，$n + 1 = 0$，解得$m = 2$，$n = -1$，所以原式$=2^{2} - 2 + (-1) + (-1)^{2} = 2$。
16. 阅读材料：已知 $ x^{2}y = 3 $，求代数式 $ 2xy · (x^{5}y^{2} - 3x^{3}y - 4x) $ 的值.
解：原式 $ = 2x^{6}y^{3} - 6x^{4}y^{2} - 8x^{2}y = 2(x^{2}y)^{3} - 6(x^{2}y)^{2} - 8x^{2}y $.因为 $ x^{2}y = 3 $，所以原式 $ = 2×3^{3} - 6×3^{2} - 8×3 = -24 $.
解决问题：已知 $ ab = 3 $，求代数式 $ (2a^{3}b^{2} - 3a^{2}b + 4a) · (-2b) $ 的值.
解：原式 $ = 2x^{6}y^{3} - 6x^{4}y^{2} - 8x^{2}y = 2(x^{2}y)^{3} - 6(x^{2}y)^{2} - 8x^{2}y $.因为 $ x^{2}y = 3 $，所以原式 $ = 2×3^{3} - 6×3^{2} - 8×3 = -24 $.
解决问题：已知 $ ab = 3 $，求代数式 $ (2a^{3}b^{2} - 3a^{2}b + 4a) · (-2b) $ 的值.
答案
16. 原式$=-4a^{3}b^{3} + 6a^{2}b^{2} - 8ab = -4(ab)^{3} + 6(ab)^{2} - 8ab$。因为$ab = 3$，所以原式$=-4 × 3^{3} + 6 × 3^{2} - 8 × 3 = -78$。
17. (2025·江苏常州期末)如图，长方形 $ ABCD $ 是由四个小长方形拼成的(四个小长方形放置时既不重叠，也没有空隙)，其中②③两个小长方形完全相同.如果要求出①④两个小长方形的周长之和，那么只要知道(
A.长方形 $ ABCD $ 的周长
B.长方形②的周长
C.$ AB $ 的长
D.$ BC $ 的长
D
)A.长方形 $ ABCD $ 的周长
B.长方形②的周长
C.$ AB $ 的长
D.$ BC $ 的长
答案
17. D 解析：设$BC$的长为$x$，长方形②的长为$a$，宽为$b$，则由题意可得①④两个小长方形的周长之和是$2b + 2(x - a) + 2a + 2(x - b) = 2b + 2x - 2a + 2a + 2x - 2b = 4x$。故只要知道$BC$的长就可以求出①④两个小长方形的周长之和。
18. 新素养 几何直观 将大小不同的两个正方形按如图所示的方式摆放.若图①中阴影部分的面积是 6，图②中阴影部分的面积是 5，则大正方形的面积是
25
.答案
18. 25 解析：设大正方形的边长是$a$，小正方形的边长是$b$，则题图①中阴影部分的面积是$a^{2} - b^{2} - 2 × \frac{1}{2}a(a - b) = a^{2} - b^{2} - a^{2} + ab = ab - b^{2}$，题图②中阴影部分的面积是$\frac{1}{2}b · a = \frac{1}{2}ab$。由题意，得$ab - b^{2} = 6$且$\frac{1}{2}ab = 5$，所以$ab = 10$，所以$10 - b^{2} = 6$，所以$b^{2} = 4$。因为$b ＞ 0$，$2^{2} = 4$，所以$b = 2$，所以$2a = 10$，解得$a = 5$。故大正方形的面积是$5^{2} = 25$。
19. (1) 将边长分别为 $ b $ 和 $ 2a $ 的两个正方形按如图所示方式摆放，求阴影部分的面积；
(2) 某商家为了给新产品做宣传，向全社会征集广告用语及商标图案，中标的是如图所示的商标（图中阴影部分），求此商标图案的面积.（虚线左边为扇形，右边为长方形）
(2) 某商家为了给新产品做宣传，向全社会征集广告用语及商标图案，中标的是如图所示的商标（图中阴影部分），求此商标图案的面积.（虚线左边为扇形，右边为长方形）
答案
19. （1）由题意，得阴影部分的面积为$(2a)^{2} + b^{2} - \frac{1}{2} · 2a · (2a + b) = 4a^{2} + b^{2} - 2a^{2} - ab = 2a^{2} - ab + b^{2}$。
（2）由题意，得此商标图案的面积为$2a · a + \frac{1}{4}π a^{2} - \frac{1}{2}a · (2a + a) = \frac{1}{2}a^{2} + \frac{1}{4}π a^{2} = \frac{π + 2}{4}a^{2}$。
（2）由题意，得此商标图案的面积为$2a · a + \frac{1}{4}π a^{2} - \frac{1}{2}a · (2a + a) = \frac{1}{2}a^{2} + \frac{1}{4}π a^{2} = \frac{π + 2}{4}a^{2}$。
