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31. （13 分）小明准备利用测量范围为 $ 0 ∼ 5\ N $ 的弹簧测力计制成一个简单实用的液体密度秤，如下图所示。已知秤钩下的容器所受重力为 $ G = 0.4\ N $，容积为 $ V = 200\ mL $，在容器中加满待测液体就可以直接“称”出该液体的密度。求：（$ g $ 取 $ 10\ N/kg $，$ \rho_{水} = 1.0 × 10^3\ kg/m^3 $）
（1）密度为“$ 0 $”的刻度应标在多少牛的刻度线处。
（2）水的密度应标在多少牛的刻度线处。
（3）此“密度秤”能测量的最大密度。
（1）密度为“$ 0 $”的刻度应标在多少牛的刻度线处。
（2）水的密度应标在多少牛的刻度线处。
（3）此“密度秤”能测量的最大密度。
答案
$31.(1)0.4N (2)2.4N (3)2.3×10^{3}kg/m^{3} $
解析$:(1)$容器中还没有倒入液体时，容器重$0.4N,$所以$0.4N$的刻度线，即密度秤的零刻度线。
$(2)$在容器中加满水，则水的体积$ V_{水} = 200mL = 200cm^{3} = 2×10^{-4}m^{3}$
则水受到的重力$ G_{水} = m_{水}g = ρ_{水}V_{水}g = 1×10^{3}kg/m^{3}×2×10^{-4}m^{3}×10N/kg = 2N$
容器和水的总重力$ G_{总1} = G_{水} + G = 2N + 0.4N = 2.4N$
即水的密度应标在$2.4N$的刻度线处。
$(3)$在容器中加满待测液体，测力计的示数为最大值$5N$时，液体受到的重力$ G_{液} = G_{总2} - G = 5N - 0.4N = 4.6N$
液体的质量$ m = \frac{G_{液}}{g} = \frac{4.6N}{10N/kg} = 0.46kg$
液体的体积$ V = 200mL = 200cm^{3} = 2×10^{-4}m^{3}$
液体的最大密度$ ρ = \frac{m}{V} = \frac{0.46kg}{2×10^{-4}m^{3}} = 2.3×10^{3}kg/m^{3}$
解析$:(1)$容器中还没有倒入液体时，容器重$0.4N,$所以$0.4N$的刻度线，即密度秤的零刻度线。
$(2)$在容器中加满水，则水的体积$ V_{水} = 200mL = 200cm^{3} = 2×10^{-4}m^{3}$
则水受到的重力$ G_{水} = m_{水}g = ρ_{水}V_{水}g = 1×10^{3}kg/m^{3}×2×10^{-4}m^{3}×10N/kg = 2N$
容器和水的总重力$ G_{总1} = G_{水} + G = 2N + 0.4N = 2.4N$
即水的密度应标在$2.4N$的刻度线处。
$(3)$在容器中加满待测液体，测力计的示数为最大值$5N$时，液体受到的重力$ G_{液} = G_{总2} - G = 5N - 0.4N = 4.6N$
液体的质量$ m = \frac{G_{液}}{g} = \frac{4.6N}{10N/kg} = 0.46kg$
液体的体积$ V = 200mL = 200cm^{3} = 2×10^{-4}m^{3}$
液体的最大密度$ ρ = \frac{m}{V} = \frac{0.46kg}{2×10^{-4}m^{3}} = 2.3×10^{3}kg/m^{3}$
