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基础知识·预习
问题1 其他学科中你学过的公式有哪些？这些公式中符合反比例函数模型的有哪些？
问题2 解答应用题的一般步骤是什么？
问题1 其他学科中你学过的公式有哪些？这些公式中符合反比例函数模型的有哪些？
问题2 解答应用题的一般步骤是什么？
答案
解：
问题1
其他学科的常见公式举例：
物理学科：路程公式$s=vt$，压强公式$p=\frac{F}{S}$，欧姆定律公式$I=\frac{U}{R}$，密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，功的计算公式$W=Fs$；
地理学科：比例尺公式$\mathrm{比例尺}=\frac{\mathrm{图上距离}}{\mathrm{实际距离}}$。
符合反比例函数模型的公式：
当路程$s$为定值时，速度$v=\frac{s}{t}$，$v$是$t$的反比例函数；
当压力$F$为定值时，压强$p=\frac{F}{S}$，$p$是$S$的反比例函数；
当电压$U$为定值时，电流$I=\frac{U}{R}$，$I$是$R$的反比例函数；
当质量$m$为定值时，密度$\rho=\frac{m}{V}$，$\rho$是$V$的反比例函数；
当功$W$为定值时，力$F=\frac{W}{s}$，$F$是沿力方向移动距离$s$的反比例函数。
问题2
解答应用题的一般步骤：
1. 审题：分析题意，找出题目中的常量、变量，梳理清楚各量之间的等量关系；
2. 设元：选取合适的变量作为自变量，明确对应的因变量；
3. 列函数解析式：根据得到的等量关系，建立反比例函数模型，写出对应的函数解析式；
4. 确定自变量取值范围：结合实际场景的限制，确定自变量符合实际意义的取值范围；
5. 计算求解：代入已知的变量数值，计算得到待求结果；
6. 核验作答：验证得到的结果是否符合实际逻辑，最终写出完整答案。
问题1
其他学科的常见公式举例：
物理学科：路程公式$s=vt$，压强公式$p=\frac{F}{S}$，欧姆定律公式$I=\frac{U}{R}$，密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，功的计算公式$W=Fs$；
地理学科：比例尺公式$\mathrm{比例尺}=\frac{\mathrm{图上距离}}{\mathrm{实际距离}}$。
符合反比例函数模型的公式：
当路程$s$为定值时，速度$v=\frac{s}{t}$，$v$是$t$的反比例函数；
当压力$F$为定值时，压强$p=\frac{F}{S}$，$p$是$S$的反比例函数；
当电压$U$为定值时，电流$I=\frac{U}{R}$，$I$是$R$的反比例函数；
当质量$m$为定值时，密度$\rho=\frac{m}{V}$，$\rho$是$V$的反比例函数；
当功$W$为定值时，力$F=\frac{W}{s}$，$F$是沿力方向移动距离$s$的反比例函数。
问题2
解答应用题的一般步骤：
1. 审题：分析题意，找出题目中的常量、变量，梳理清楚各量之间的等量关系；
2. 设元：选取合适的变量作为自变量，明确对应的因变量；
3. 列函数解析式：根据得到的等量关系，建立反比例函数模型，写出对应的函数解析式；
4. 确定自变量取值范围：结合实际场景的限制，确定自变量符合实际意义的取值范围；
5. 计算求解：代入已知的变量数值，计算得到待求结果；
6. 核验作答：验证得到的结果是否符合实际逻辑，最终写出完整答案。
解析
【分析】
针对问题1：首先回忆物理、地理等其他学科的常见公式，再结合反比例函数的定义（形如$y=\frac{k}{x}$，k为常数且$k≠0$的函数为反比例函数），判断公式中某一量固定为定值时，剩余两个变量是否满足反比例函数的形式即可。
针对问题2：结合日常解答应用题的经验，梳理从读题理解题意到最终输出答案的完整流程，注意要贴合反比例函数实际应用的特点，比如需要考虑自变量的实际取值范围。
【解析】
问题1解答
其他学科的常见公式举例：
物理学科：路程公式$s=vt$，压强公式$p=\frac{F}{S}$，欧姆定律公式$I=\frac{U}{R}$，密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，功的计算公式$W=Fs$；
地理学科：比例尺公式$\mathrm{比例尺}=\frac{\mathrm{图上距离}}{\mathrm{实际距离}}$。
符合反比例函数模型的公式：
当路程$s$为定值时，速度$v=\frac{s}{t}$，$v$是$t$的反比例函数；
当压力$F$为定值时，压强$p=\frac{F}{S}$，$p$是$S$的反比例函数；
当电压$U$为定值时，电流$I=\frac{U}{R}$，$I$是$R$的反比例函数；
当质量$m$为定值时，密度$\rho=\frac{m}{V}$，$\rho$是$V$的反比例函数；
当功$W$为定值时，力$F=\frac{W}{s}$，$F$是沿力方向移动距离$s$的反比例函数。
问题2解答
解答应用题的一般步骤：
1. 审题：分析题意，找出题目中的常量、变量，梳理清楚各量之间的等量关系；
2. 设元：选取合适的变量作为自变量，明确对应的因变量；
3. 列函数解析式：根据得到的等量关系，建立反比例函数模型，写出对应的函数解析式；
4. 确定自变量取值范围：结合实际场景的限制，确定自变量符合实际意义的取值范围；
5. 计算求解：代入已知的变量数值，计算得到待求结果；
6. 核验作答：验证得到的结果是否符合实际逻辑，最终写出完整答案。
【答案】
同上述解析内容。
【知识点】
1. 反比例函数的概念
2. 跨学科函数模型
3. 应用题解题步骤
【点评】
本题为基础预习类题目，通过联系不同学科的知识，能够加深对反比例函数模型的理解，同时梳理应用题的解题规范，为后续解决实际应用问题打下基础。
【难度系数】
0.8
针对问题1：首先回忆物理、地理等其他学科的常见公式，再结合反比例函数的定义（形如$y=\frac{k}{x}$，k为常数且$k≠0$的函数为反比例函数），判断公式中某一量固定为定值时，剩余两个变量是否满足反比例函数的形式即可。
针对问题2：结合日常解答应用题的经验，梳理从读题理解题意到最终输出答案的完整流程，注意要贴合反比例函数实际应用的特点，比如需要考虑自变量的实际取值范围。
【解析】
问题1解答
其他学科的常见公式举例：
物理学科：路程公式$s=vt$，压强公式$p=\frac{F}{S}$，欧姆定律公式$I=\frac{U}{R}$，密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，功的计算公式$W=Fs$；
地理学科：比例尺公式$\mathrm{比例尺}=\frac{\mathrm{图上距离}}{\mathrm{实际距离}}$。
符合反比例函数模型的公式：
当路程$s$为定值时，速度$v=\frac{s}{t}$，$v$是$t$的反比例函数；
当压力$F$为定值时，压强$p=\frac{F}{S}$，$p$是$S$的反比例函数；
当电压$U$为定值时，电流$I=\frac{U}{R}$，$I$是$R$的反比例函数；
当质量$m$为定值时，密度$\rho=\frac{m}{V}$，$\rho$是$V$的反比例函数；
当功$W$为定值时，力$F=\frac{W}{s}$，$F$是沿力方向移动距离$s$的反比例函数。
问题2解答
解答应用题的一般步骤：
1. 审题：分析题意，找出题目中的常量、变量，梳理清楚各量之间的等量关系；
2. 设元：选取合适的变量作为自变量，明确对应的因变量；
3. 列函数解析式：根据得到的等量关系，建立反比例函数模型，写出对应的函数解析式；
4. 确定自变量取值范围：结合实际场景的限制，确定自变量符合实际意义的取值范围；
5. 计算求解：代入已知的变量数值，计算得到待求结果；
6. 核验作答：验证得到的结果是否符合实际逻辑，最终写出完整答案。
【答案】
同上述解析内容。
【知识点】
1. 反比例函数的概念
2. 跨学科函数模型
3. 应用题解题步骤
【点评】
本题为基础预习类题目，通过联系不同学科的知识，能够加深对反比例函数模型的理解，同时梳理应用题的解题规范，为后续解决实际应用问题打下基础。
【难度系数】
0.8
【典型例题】同学们用自制的密度计测量不同液体的密度.密度计能漂浮在液体中,当密度计漂浮在不同液体中时,其浸入液体的深度$h$(单位:cm)是液体的密度$\rho$(单位:$\mathrm{g/cm}^3$)的反比例函数.当密度计漂浮在密度为$1\ \mathrm{g/cm}^3$的水中时,$h=7.2\ \mathrm{cm}$.
(1)求$h$关于$\rho$的函数解析式.
(2)当密度计漂浮在另一种液体中时,$h=9\ \mathrm{cm}$,求该液体的密度$\rho$.
思路导引 (1)设$h$关于$\rho$的函数解析式为$h=\frac{k}{\rho}(k≠0)$,把$\rho=1\ \mathrm{g/cm}^3$,$h=7.2\ \mathrm{cm}$代入函数解析式,解方程即可.
(2)把$h=9\ \mathrm{cm}$代入$h=\frac{k}{\rho}$,即可求得$\rho$的值.
【解】(1)设$h$关于$\rho$的函数解析式为$h=\frac{k}{\rho}(k≠0)$.
把$\rho=1\ \mathrm{g/cm}^3$,$h=7.2\ \mathrm{cm}$代入$h=\frac{k}{\rho}$,得$7.2=\frac{k}{1}$.
解得$k=7.2$.
$\therefore h$关于$\rho$的函数解析式为$h=\frac{7.2}{\rho}$.
(2)把$h=9\ \mathrm{cm}$代入$h=\frac{7.2}{\rho}$,得$9=\frac{7.2}{\rho}$.解得$\rho=0.8\ \mathrm{g/cm}^3$.
因此,该液体的密度$\rho$为$0.8\ \mathrm{g/cm}^3$.
(1)求$h$关于$\rho$的函数解析式.
(2)当密度计漂浮在另一种液体中时,$h=9\ \mathrm{cm}$,求该液体的密度$\rho$.
思路导引 (1)设$h$关于$\rho$的函数解析式为$h=\frac{k}{\rho}(k≠0)$,把$\rho=1\ \mathrm{g/cm}^3$,$h=7.2\ \mathrm{cm}$代入函数解析式,解方程即可.
(2)把$h=9\ \mathrm{cm}$代入$h=\frac{k}{\rho}$,即可求得$\rho$的值.
【解】(1)设$h$关于$\rho$的函数解析式为$h=\frac{k}{\rho}(k≠0)$.
把$\rho=1\ \mathrm{g/cm}^3$,$h=7.2\ \mathrm{cm}$代入$h=\frac{k}{\rho}$,得$7.2=\frac{k}{1}$.
解得$k=7.2$.
$\therefore h$关于$\rho$的函数解析式为$h=\frac{7.2}{\rho}$.
(2)把$h=9\ \mathrm{cm}$代入$h=\frac{7.2}{\rho}$,得$9=\frac{7.2}{\rho}$.解得$\rho=0.8\ \mathrm{g/cm}^3$.
因此,该液体的密度$\rho$为$0.8\ \mathrm{g/cm}^3$.
答案
解：
(1) 由题意，设$h$关于$\rho$的函数解析式为$h=\frac{k}{\rho}(k≠0)$。
把$\rho=1\ \mathrm{g/cm}^3$，$h=7.2\ \mathrm{cm}$代入$h=\frac{k}{\rho}$，得：
$7.2=\frac{k}{1}$
解得$k=7.2$。
$\therefore h$关于$\rho$的函数解析式为$h=\frac{7.2}{\rho}$。
(2) 把$h=9\ \mathrm{cm}$代入$h=\frac{7.2}{\rho}$，得：
$9=\frac{7.2}{\rho}$
解得$\rho=0.8\ \mathrm{g/cm}^3$。
答：该液体的密度$\rho$为$0.8\ \mathrm{g/cm}^3$。
(1) 由题意，设$h$关于$\rho$的函数解析式为$h=\frac{k}{\rho}(k≠0)$。
把$\rho=1\ \mathrm{g/cm}^3$，$h=7.2\ \mathrm{cm}$代入$h=\frac{k}{\rho}$，得：
$7.2=\frac{k}{1}$
解得$k=7.2$。
$\therefore h$关于$\rho$的函数解析式为$h=\frac{7.2}{\rho}$。
(2) 把$h=9\ \mathrm{cm}$代入$h=\frac{7.2}{\rho}$，得：
$9=\frac{7.2}{\rho}$
解得$\rho=0.8\ \mathrm{g/cm}^3$。
答：该液体的密度$\rho$为$0.8\ \mathrm{g/cm}^3$。
解析
【分析】
题目明确说明浸入深度$h$是液体密度$\rho$的反比例函数，解题思路如下：
1. 求函数解析式：先设反比例函数的一般形式$h=\frac{k}{\rho}(k≠0)$，再将已知的$\rho=1\ \mathrm{g/cm}^3$、$h=7.2\ \mathrm{cm}$代入解析式，解出待定系数$k$，即可得到$h$关于$\rho$的函数关系式。
2. 求液体密度：将$h=9\ \mathrm{cm}$代入第一问得到的函数解析式，解关于$\rho$的方程，即可得到对应液体的密度。
【解析】
(1) 由题意，设$h$关于$\rho$的函数解析式为$h=\frac{k}{\rho}(k≠0)$。
把$\rho=1\ \mathrm{g/cm}^3$，$h=7.2\ \mathrm{cm}$代入$h=\frac{k}{\rho}$，得：
$7.2=\frac{k}{1}$
解得$k=7.2$。
$\therefore h$关于$\rho$的函数解析式为$h=\frac{7.2}{\rho}$。
(2) 把$h=9\ \mathrm{cm}$代入$h=\frac{7.2}{\rho}$，得：
$9=\frac{7.2}{\rho}$
解得$\rho=0.8\ \mathrm{g/cm}^3$。
答：该液体的密度$\rho$为$0.8\ \mathrm{g/cm}^3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{h=\dfrac{7.2}{\rho}}$
(2) $\boldsymbol{0.8\ \mathrm{g/cm^3}}$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合密度计的使用场景考查反比例函数的基础应用，难度较低，解题核心是先根据题意确定函数类型，再代入已知条件计算，兼顾了跨学科知识的融合，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.85
题目明确说明浸入深度$h$是液体密度$\rho$的反比例函数，解题思路如下：
1. 求函数解析式：先设反比例函数的一般形式$h=\frac{k}{\rho}(k≠0)$，再将已知的$\rho=1\ \mathrm{g/cm}^3$、$h=7.2\ \mathrm{cm}$代入解析式，解出待定系数$k$，即可得到$h$关于$\rho$的函数关系式。
2. 求液体密度：将$h=9\ \mathrm{cm}$代入第一问得到的函数解析式，解关于$\rho$的方程，即可得到对应液体的密度。
【解析】
(1) 由题意，设$h$关于$\rho$的函数解析式为$h=\frac{k}{\rho}(k≠0)$。
把$\rho=1\ \mathrm{g/cm}^3$，$h=7.2\ \mathrm{cm}$代入$h=\frac{k}{\rho}$，得：
$7.2=\frac{k}{1}$
解得$k=7.2$。
$\therefore h$关于$\rho$的函数解析式为$h=\frac{7.2}{\rho}$。
(2) 把$h=9\ \mathrm{cm}$代入$h=\frac{7.2}{\rho}$，得：
$9=\frac{7.2}{\rho}$
解得$\rho=0.8\ \mathrm{g/cm}^3$。
答：该液体的密度$\rho$为$0.8\ \mathrm{g/cm}^3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{h=\dfrac{7.2}{\rho}}$
(2) $\boldsymbol{0.8\ \mathrm{g/cm^3}}$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合密度计的使用场景考查反比例函数的基础应用，难度较低，解题核心是先根据题意确定函数类型，再代入已知条件计算，兼顾了跨学科知识的融合，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.85
