1. 下列推理正确的是()

A.弟弟今年 13 岁,哥哥比弟弟大 6 岁,到了明年,哥哥比弟弟只大 5 岁了,因为明年弟弟比今年长大了 1 岁
B.若 $ a = b $,$ b = c $,则 $ a = c $
C.$ \angle A $ 与 $ \angle B $ 相等,原因是它们看起来大小差不多
D.因为对顶角必然相等,所以相等角也必是对顶角

B

A.年龄差不变，明年哥哥仍比弟弟大6岁，推理错误；B.根据等量代换，若a=b，b=c，则a=c，推理正确；C.仅“看起来大小差不多”不能作为∠A与∠B相等的依据，推理错误；D.对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，推理错误。

2. 某旅行团在一城市游览,有甲、乙、丙、丁四个景点,导游说：“①要游览甲,就得去乙；②乙、丙只能去一个；③丙、丁要么都去,要么都不去.”根据导游的说法,该旅行团可能游览的景点是()
A.甲、丙
B.甲、丁
C.乙、丁
D.丙、丁

D

根据题意，列出以下条件：
① 如果游览甲，则必须游览乙。
② 乙和丙只能去一个。
③ 丙和丁要么都去，要么都不去。
A. 甲、丙：如果游览甲，根据条件①，必须游览乙。但根据条件②，乙和丙不能同时游览，所以甲和丙不能同时游览，故A选项错误。
B. 甲、丁：如果游览甲，则必须游览乙。由于游览了甲和乙，根据条件②，不能游览丙。根据条件③，丙和丁要么都去，要么都不去，由于没有游览丙，所以也不能游览丁，与“游览丁”矛盾，故B选项错误。
C. 乙、丁：如果游览乙，根据条件②，不能游览丙。根据条件③，由于没有游览丙，所以也不能游览丁，与“游览丁”矛盾，故C选项错误。
D. 丙、丁：根据条件③，丙和丁要么都去，要么都不去，所以同时游览丙和丁是符合题意的。由于游览了丙，根据条件②，则不能游览乙。没有游览乙，根据条件①则不游览甲也是符合题意的，故D选项正确。

3. 警方抓获一个由甲、乙、丙、丁四人组成的盗窃团伙,其中有一人是主谋,经过审讯,$ A $,$ B $,$ C $ 三名警察各自得出结论,$ A $：主谋只有可能是甲或乙；$ B $：甲不可能是主谋；$ C $：乙和丙都不可能是主谋. 已知三名警察中只有一人推测正确,则主谋是()
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁

C

分别假设主谋为甲、乙、丙、丁，判断A、B、C三人推测正确的人数：
若主谋是甲：A正确（甲或乙），B错误（甲是主谋），C正确（主谋是甲，乙丙不是），2人正确，不符合；
若主谋是乙：A正确（甲或乙），B正确（甲不是主谋），C错误（乙是主谋），2人正确，不符合；
若主谋是丙：A错误（非甲非乙），B正确（甲不是主谋），C错误（丙是主谋），1人正确，符合；
若主谋是丁：A错误（非甲非乙），B正确（甲不是主谋），C正确（乙丙不是主谋），2人正确，不符合。

4. 甲、乙两人在做“报 40”的游戏,其规则是：两人轮流连续报数,每次最多可以连续报三个数,谁先报到 40,谁就获胜. 那么采取适当策略,其结果是()
A.后报数者胜
B.先报数者胜
C.两者都能胜
D.无法判断

A

每次最多报3个数，最少报1个数，两人每轮可合报4个数（1+3=4）。40÷4=10，无余数。后报者可通过每次报数使两人每轮总数为4（先报a个，后报4-a个），经过10轮后报者报到40。故后报数者胜。

5. 如果 $ \frac{1}{4} ＜ \frac{3}{m} ＜ \frac{5}{9} $,那么满足条件的整数 $ m $ 有个.

$6$

首先，将不等式$\frac{1}{4} \lt \frac{3}{m} \lt \frac{5}{9}$拆分为两个不等式：
$\frac{1}{4} \lt \frac{3}{m}$和$\frac{3}{m} \lt \frac{5}{9}$。
对于不等式$\frac{1}{4} \lt \frac{3}{m}$：
当$m\gt0$时，交叉相乘得$m \lt 12$。
当$m\lt0$时，交叉相乘得$m\gt12$，结合$m\lt0$，此时不等式无解。
所以$m\gt0$且$m \lt 12$时，$\frac{1}{4} \lt \frac{3}{m}$成立，且$m$为正整数，$m$的可能值为$1,2,\cdots,11$。
对于不等式$\frac{3}{m} \lt \frac{5}{9}$：
当$m\gt0$时，交叉相乘得$m\gt\frac{27}{5}=5.4$。
当$m\lt0$时，交叉相乘得$m\lt\frac{27}{5}=5.4$，结合$m\lt0$，此时$m$为负整数。
综合两个不等式，因为$m\gt0$，所以取交集得$5.4\lt m\lt12$，$m$为正整数，所以$m$的可能值为$6,7,8,9,10,11$。
满足条件的整数$m$有$6,7,8,9,10,11$，共$6$个。

6. 如图,是由同样大小的棋子按一定的规律组成的图形,其中第①个图形有 1 颗棋子；第②个图形一共有 6 颗棋子；……则第⑦个图形棋子的颗数为.

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观察图形，第①个图形棋子数为1，第②个为6，设第n个图形棋子数为$a_n$。假设规律为二次函数$a_n=an^2+bn+c$，代入$n=1$时$a_1=1$，$n=2$时$a_2=6$，若第③个图形棋子数为15（满足$a_3=2×3^2 - 3=15$），解得$a=2$，$b=-1$，$c=0$，则$a_n=2n^2 - n$。当$n=7$时，$a_7=2×7^2 - 7=91$。

7. 在学习中,小明发现：当 $ n = 1 $,$ 2 $,$ 3 $ 时,$ n^{2} - 6n $ 的值都是负数,于是小明猜想：当 $ n $ 为任意正整数时,$ n^{2} - 6n $ 的值都是负数. 小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由.

答：小明的猜想不正确。
理由：
设$y = n^{2} - 6n$，
当$y = 0$时，$n^{2} - 6n = 0$，
解得$n_{1} = 0$，$n_{2} = 6$，
根据二次函数性质，抛物线开口向上，
所以当$n ＞ 6$或$n ＜ 0$时，$y＞0$，当$0 ＜ n ＜ 6$（$n$为正整数）时，$y ＜ 0$，
当$n = 7$时，$n$为正整数，$y = 7^{2}-6×7 = 7＞0$，
所以“当$n$为任意正整数时，$n^{2} - 6n$的值都是负数”不正确。