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1 [2025安阳期末]如图所示为蔬菜大棚的截面图（近似看成二次函数的图象——抛物线），其中大棚的一边靠墙，此时大棚跨径$OA=12\ \mathrm{m}$，顶端$C$到墙体$BO$的距离为$4\ \mathrm{m}$，顶端$C$到$OA$的距离为$6\ \mathrm{m}$，则大棚与墙的交点$B$到原点$O$的距离$OB$为
$\frac{9}{2}$
$\mathrm{m}$.答案
$\frac{9}{2}$
解析
【分析】
这是一道利用二次函数解决抛物线型实际问题的题目，解题思路如下：1. 结合题目给出的坐标系和已知条件，确定抛物线的顶点坐标为$C(4,6)$，与x轴交点$A$的坐标为$(12,0)$；2. 由于已知抛物线顶点坐标，选择顶点式设二次函数解析式，可简化计算；3. 将点$A$的坐标代入所设解析式，求出待定系数$a$，得到完整的抛物线解析式；4. 点$B$在y轴上，对应$x=0$，将$x=0$代入解析式求出的$y$值就是$OB$的长度。
【解析】
解：由题意得，抛物线顶点$C$的坐标为$(4,6)$，点$A$的坐标为$(12,0)$。
设抛物线的解析式为$y=a(x-4)^2+6$（$a≠0$），
将$A(12,0)$代入解析式得：
$0=a(12-4)^2+6$
$0=64a+6$
解得$a=-\frac{3}{32}$，
因此抛物线解析式为$y=-\frac{3}{32}(x-4)^2+6$。
点$B$在y轴上，即$x=0$，将$x=0$代入解析式：
$y=-\frac{3}{32}×(0-4)^2+6=-\frac{3}{2}+6=\frac{9}{2}$，
即$OB$的长度为$\frac{9}{2}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\frac{9}{2}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用
【点评】
本题属于基础的抛物线实际应用问题，解题核心是结合已知条件选择合适的解析式形式，通过代入点坐标求解参数，最终计算得到所求线段长度。
【难度系数】
0.7
这是一道利用二次函数解决抛物线型实际问题的题目，解题思路如下：1. 结合题目给出的坐标系和已知条件，确定抛物线的顶点坐标为$C(4,6)$，与x轴交点$A$的坐标为$(12,0)$；2. 由于已知抛物线顶点坐标，选择顶点式设二次函数解析式，可简化计算；3. 将点$A$的坐标代入所设解析式，求出待定系数$a$，得到完整的抛物线解析式；4. 点$B$在y轴上，对应$x=0$，将$x=0$代入解析式求出的$y$值就是$OB$的长度。
【解析】
解：由题意得，抛物线顶点$C$的坐标为$(4,6)$，点$A$的坐标为$(12,0)$。
设抛物线的解析式为$y=a(x-4)^2+6$（$a≠0$），
将$A(12,0)$代入解析式得：
$0=a(12-4)^2+6$
$0=64a+6$
解得$a=-\frac{3}{32}$，
因此抛物线解析式为$y=-\frac{3}{32}(x-4)^2+6$。
点$B$在y轴上，即$x=0$，将$x=0$代入解析式：
$y=-\frac{3}{32}×(0-4)^2+6=-\frac{3}{2}+6=\frac{9}{2}$，
即$OB$的长度为$\frac{9}{2}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\frac{9}{2}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用
【点评】
本题属于基础的抛物线实际应用问题，解题核心是结合已知条件选择合适的解析式形式，通过代入点坐标求解参数，最终计算得到所求线段长度。
【难度系数】
0.7
2 [2025新疆]如图所示为某隧道横截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分.隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系.
（1）求抛物线对应的函数表达式.
（2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）.若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，则能否安全通过？请说明理由.
（1）求抛物线对应的函数表达式.
（2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）.若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，则能否安全通过？请说明理由.
答案
（1）由题意，得抛物线的顶点坐标为(6,8)，设抛物线对应的函数表达式为$y=a(x-6)^2+8(a≠0)$.将(12,0)代入，得$a×(12-6)^2+8=0$,解得$a=-\frac{2}{9}$
∴抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{2}{9}(x-6)^2+8(0≤ x≤12)$
（2）能安全通过 理由:如图,由题意,得$x_A=\frac{12}{2}-\frac{2}{2}-3=2$.将$x=2$代入$y=-\frac{2}{9}(x-6)^2+8$,得$y=-\frac{2}{9}×(2-6)^2+8=\frac{40}{9}$.$\because \frac{40}{9}-3.5=\frac{17}{18}$(米),$\frac{17}{18}＞0.5$,$\therefore$ 能安全通过.
解析
【分析】
（1）求抛物线解析式首先要确定抛物线上的关键点：隧道底部宽12米，可知抛物线过(0,0)、(12,0)两点，隧道高8米，可知抛物线顶点坐标为(6,8)，因此选用顶点式设函数表达式，代入已知点求解参数a，即可得到解析式，注意结合实际意义标注x的取值范围。
（2）判断车辆能否安全通过，需先根据通行规则确定车辆最外侧对应的横坐标：隧道中心线对应x=6，两车间隔2米、每车宽3米，因此左侧车辆最左侧的横坐标为6减去间隔的一半再减去车宽，即x=2；再将x=2代入解析式求出对应位置的隧道高度，用该高度减去车辆高度，判断差值是否不小于0.5米，若满足即可安全通过。
【解析】
（1）由题意得抛物线的顶点坐标为$(6,8)$，设抛物线对应的函数表达式为$y=a(x-6)^2+8(a≠0)$。
将点$(12,0)$代入表达式，得：
$a×(12-6)^2+8=0$
解得$a=-\frac{2}{9}$
因此抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{2}{9}(x-6)^2+8(0≤ x≤12)$。
（2）能安全通过，理由如下：
根据通行规则，隧道中心线对应$x=6$，两车间隔2米，每辆车宽3米，因此左侧车辆最左侧的横坐标为$x=6-\frac{2}{2}-3=2$。
将$x=2$代入抛物线解析式，得：
$y=-\frac{2}{9}×(2-6)^2+8=\frac{40}{9}$
车辆高度为3.5米，计算竖直方向空隙：
$\frac{40}{9}-3.5=\frac{40}{9}-\frac{7}{2}=\frac{17}{18}$（米）
$\because \frac{17}{18}＞0.5$，满足空隙不少于0.5米的要求，因此两辆车可以安全通过。
【答案】
（1）$y=-\frac{2}{9}(x-6)^2+8(0≤ x≤12)$
（2）能安全通过，理由：左侧车辆最左侧对应横坐标为2，代入解析式得该处隧道高度为$\frac{40}{9}$米，与车辆顶部的空隙为$\frac{17}{18}$米，大于0.5米，故能安全通过。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活中的隧道通行场景考查二次函数的应用，既需要学生掌握二次函数解析式的求解方法，也需要学生结合题意准确提取有效信息，找到对应自变量的取值进行计算，能够很好地锻炼学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）求抛物线解析式首先要确定抛物线上的关键点：隧道底部宽12米，可知抛物线过(0,0)、(12,0)两点，隧道高8米，可知抛物线顶点坐标为(6,8)，因此选用顶点式设函数表达式，代入已知点求解参数a，即可得到解析式，注意结合实际意义标注x的取值范围。
（2）判断车辆能否安全通过，需先根据通行规则确定车辆最外侧对应的横坐标：隧道中心线对应x=6，两车间隔2米、每车宽3米，因此左侧车辆最左侧的横坐标为6减去间隔的一半再减去车宽，即x=2；再将x=2代入解析式求出对应位置的隧道高度，用该高度减去车辆高度，判断差值是否不小于0.5米，若满足即可安全通过。
【解析】
（1）由题意得抛物线的顶点坐标为$(6,8)$，设抛物线对应的函数表达式为$y=a(x-6)^2+8(a≠0)$。
将点$(12,0)$代入表达式，得：
$a×(12-6)^2+8=0$
解得$a=-\frac{2}{9}$
因此抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{2}{9}(x-6)^2+8(0≤ x≤12)$。
（2）能安全通过，理由如下：
根据通行规则，隧道中心线对应$x=6$，两车间隔2米，每辆车宽3米，因此左侧车辆最左侧的横坐标为$x=6-\frac{2}{2}-3=2$。
将$x=2$代入抛物线解析式，得：
$y=-\frac{2}{9}×(2-6)^2+8=\frac{40}{9}$
车辆高度为3.5米，计算竖直方向空隙：
$\frac{40}{9}-3.5=\frac{40}{9}-\frac{7}{2}=\frac{17}{18}$（米）
$\because \frac{17}{18}＞0.5$，满足空隙不少于0.5米的要求，因此两辆车可以安全通过。
【答案】
（1）$y=-\frac{2}{9}(x-6)^2+8(0≤ x≤12)$
（2）能安全通过，理由：左侧车辆最左侧对应横坐标为2，代入解析式得该处隧道高度为$\frac{40}{9}$米，与车辆顶部的空隙为$\frac{17}{18}$米，大于0.5米，故能安全通过。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活中的隧道通行场景考查二次函数的应用，既需要学生掌握二次函数解析式的求解方法，也需要学生结合题意准确提取有效信息，找到对应自变量的取值进行计算，能够很好地锻炼学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
3 [2025上海徐汇期末]
如图，小明推铅球，铅球运行时离地面的高度$y$(米)关于水平距离$x$(米)的函数表达式为$y=-\frac{1}{8}x^2 + bx + c$，如果小明铅球出手的高度为1.5米，成绩为6米，那么可以推断铅球在运行中的高度最高大约为
如图，小明推铅球，铅球运行时离地面的高度$y$(米)关于水平距离$x$(米)的函数表达式为$y=-\frac{1}{8}x^2 + bx + c$，如果小明铅球出手的高度为1.5米，成绩为6米，那么可以推断铅球在运行中的高度最高大约为
2
米.答案
2
解析
【分析】
要解决这道题，首先从实际场景中提取已知坐标点：铅球出手时水平距离为0，对应点为(0, 1.5)；铅球落地时成绩为6米，对应点为(6, 0)。先将两个点代入二次函数表达式，用待定系数法求出未知系数b、c，再计算开口向下的二次函数的顶点纵坐标，即为铅球运行的最高高度。
【解析】
已知铅球出手高度为1.5米，即当x=0时，y=1.5，代入函数$y=-\frac{1}{8}x^2 + bx + c$得：
$1.5 = -\frac{1}{8}×0^2 + b×0 + c$，解得$c=1.5=\frac{3}{2}$。
已知铅球成绩为6米，即铅球落地时x=6，y=0，代入函数得：
$0 = -\frac{1}{8}×6^2 + 6b + \frac{3}{2}$
计算得：$0 = -\frac{36}{8} +6b + \frac{3}{2}$，化简得$0 = -4.5 +6b +1.5$，即$6b=3$，解得$b=0.5=\frac{1}{2}$。
因此二次函数表达式为$y=-\frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$。
因为二次项系数$-\frac{1}{8}＜0$，函数开口向下，顶点纵坐标为最大值。用配方法化简：
$y=-\frac{1}{8}(x^2 -4x) + \frac{3}{2}$
$=-\frac{1}{8}(x^2 -4x +4 -4) + \frac{3}{2}$
$=-\frac{1}{8}(x-2)^2 + \frac{4}{8} + \frac{3}{2}$
$=-\frac{1}{8}(x-2)^2 + 2$
当x=2时，y取得最大值2，即铅球运行的最高高度为2米。
【答案】
2
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数最值，二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题核心是将实际场景中的条件转化为函数的坐标点，求出解析式后再计算最值，能较好地考查学生的转化能力和计算能力。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先从实际场景中提取已知坐标点：铅球出手时水平距离为0，对应点为(0, 1.5)；铅球落地时成绩为6米，对应点为(6, 0)。先将两个点代入二次函数表达式，用待定系数法求出未知系数b、c，再计算开口向下的二次函数的顶点纵坐标，即为铅球运行的最高高度。
【解析】
已知铅球出手高度为1.5米，即当x=0时，y=1.5，代入函数$y=-\frac{1}{8}x^2 + bx + c$得：
$1.5 = -\frac{1}{8}×0^2 + b×0 + c$，解得$c=1.5=\frac{3}{2}$。
已知铅球成绩为6米，即铅球落地时x=6，y=0，代入函数得：
$0 = -\frac{1}{8}×6^2 + 6b + \frac{3}{2}$
计算得：$0 = -\frac{36}{8} +6b + \frac{3}{2}$，化简得$0 = -4.5 +6b +1.5$，即$6b=3$，解得$b=0.5=\frac{1}{2}$。
因此二次函数表达式为$y=-\frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$。
因为二次项系数$-\frac{1}{8}＜0$，函数开口向下，顶点纵坐标为最大值。用配方法化简：
$y=-\frac{1}{8}(x^2 -4x) + \frac{3}{2}$
$=-\frac{1}{8}(x^2 -4x +4 -4) + \frac{3}{2}$
$=-\frac{1}{8}(x-2)^2 + \frac{4}{8} + \frac{3}{2}$
$=-\frac{1}{8}(x-2)^2 + 2$
当x=2时，y取得最大值2，即铅球运行的最高高度为2米。
【答案】
2
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数最值，二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题核心是将实际场景中的条件转化为函数的坐标点，求出解析式后再计算最值，能较好地考查学生的转化能力和计算能力。
【难度系数】
0.7
4 教材变式题 在一次足球训练中，小明从球门正前方8 m的点A处射门，球射向球门的路线为抛物线.当球飞行的水平距离为6 m时，球到达最高点，此时球离地面的高度为3 m.已知球门OB的高为2.44 m，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）求抛物线对应的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（2）对本次训练进行分析，若球射向球门的路线的形状和最大高度均保持不变，则当时小明应带球向正后方移动多少米射门，才能让球经过点O正上方2.25 m处？
（1）求抛物线对应的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（2）对本次训练进行分析，若球射向球门的路线的形状和最大高度均保持不变，则当时小明应带球向正后方移动多少米射门，才能让球经过点O正上方2.25 m处？
答案
（1）$\because 8-6=2(\mathrm{m})$,$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为(2,3).设抛物线对应的函数表达式为$y=a(x-2)^2+3$,将$A(8,0)$代入,得$0=(8-2)^2a+3$,解得$a=-\frac{1}{12}$.$\therefore$ 抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{12}(x-2)^2+3$.当$x=0$时,$y=-\frac{1}{12}×4+3=\frac{8}{3}＞2.44$,$\therefore$ 球不能射进球门
（2）设小明应该带球向正后方移动$m$ m,则移动后的抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{12}(x-2-m)^2+3$.将$(0,2.25)$代入,得$2.25=-\frac{1}{12}(0-2-m)^2+3$,解得$m_1=-5$(不合题意,舍去),$m_2=1$.$\therefore$ 当时小明应带球向正后方移动1 m射门,才能让球经过点O正上方2.25 m处
（2）设小明应该带球向正后方移动$m$ m,则移动后的抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{12}(x-2-m)^2+3$.将$(0,2.25)$代入,得$2.25=-\frac{1}{12}(0-2-m)^2+3$,解得$m_1=-5$(不合题意,舍去),$m_2=1$.$\therefore$ 当时小明应带球向正后方移动1 m射门,才能让球经过点O正上方2.25 m处
解析
【分析】
（1）已知足球飞行路线是抛物线，且有最高点即顶点，优先选择顶点式求解析式。首先确定顶点坐标：A点坐标为$(8,0)$，球飞行水平距离6m到达最高点，因此顶点横坐标为$8-6=2$，纵坐标为3，即顶点为$(2,3)$。设抛物线顶点式，代入A点坐标求出参数$a$即可得到解析式。判断能否进球门，只需计算$x=0$（球门位置）对应的$y$值，和球门高度2.44m比较即可。
（2）小明向正后方移动$m$米，抛物线形状和最大高度不变，因此二次项系数$a$和顶点纵坐标不变，顶点横坐标增加$m$，设出新的抛物线解析式，将$(0,2.25)$代入求解，舍去不符合实际意义的负解即可得到$m$的值。
【解析】
（1）由题意得，抛物线顶点坐标为$(2,3)$，设抛物线对应的函数表达式为$y=a(x-2)^2+3$，
将$A(8,0)$代入表达式得：$0=(8-2)^2a+3$，
解得$a=-\frac{1}{12}$，
因此抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{12}(x-2)^2+3$。
当$x=0$时，$y=-\frac{1}{12}×(0-2)^2+3=\frac{8}{3}\approx2.67$，
$\because \frac{8}{3}＞2.44$，$\therefore$ 球不能射进球门。
（2）设小明应带球向正后方移动$m$ m，移动后抛物线顶点横坐标变为$2+m$，
则新的抛物线表达式为$y=-\frac{1}{12}(x-2-m)^2+3$，
将$(0,2.25)$代入得：$2.25=-\frac{1}{12}(0-2-m)^2+3$，
整理得$(2+m)^2=9$，解得$m_1=1$，$m_2=-5$（不符合向后移动的实际意义，舍去）。
因此小明应带球向正后方移动1 m射门。
【答案】
（1）抛物线的函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{12}(x-2)^2+3}$，球不能射进球门；
（2）小明应带球向正后方移动$\boldsymbol{1}$ m。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数顶点式应用，二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数解决抛物线类实际问题的典型习题，解题核心是结合题意确定抛物线的顶点坐标，灵活选择顶点式求解，同时要注意结合实际场景对计算得到的解进行合理性取舍。
【难度系数】
0.7
（1）已知足球飞行路线是抛物线，且有最高点即顶点，优先选择顶点式求解析式。首先确定顶点坐标：A点坐标为$(8,0)$，球飞行水平距离6m到达最高点，因此顶点横坐标为$8-6=2$，纵坐标为3，即顶点为$(2,3)$。设抛物线顶点式，代入A点坐标求出参数$a$即可得到解析式。判断能否进球门，只需计算$x=0$（球门位置）对应的$y$值，和球门高度2.44m比较即可。
（2）小明向正后方移动$m$米，抛物线形状和最大高度不变，因此二次项系数$a$和顶点纵坐标不变，顶点横坐标增加$m$，设出新的抛物线解析式，将$(0,2.25)$代入求解，舍去不符合实际意义的负解即可得到$m$的值。
【解析】
（1）由题意得，抛物线顶点坐标为$(2,3)$，设抛物线对应的函数表达式为$y=a(x-2)^2+3$，
将$A(8,0)$代入表达式得：$0=(8-2)^2a+3$，
解得$a=-\frac{1}{12}$，
因此抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{12}(x-2)^2+3$。
当$x=0$时，$y=-\frac{1}{12}×(0-2)^2+3=\frac{8}{3}\approx2.67$，
$\because \frac{8}{3}＞2.44$，$\therefore$ 球不能射进球门。
（2）设小明应带球向正后方移动$m$ m，移动后抛物线顶点横坐标变为$2+m$，
则新的抛物线表达式为$y=-\frac{1}{12}(x-2-m)^2+3$，
将$(0,2.25)$代入得：$2.25=-\frac{1}{12}(0-2-m)^2+3$，
整理得$(2+m)^2=9$，解得$m_1=1$，$m_2=-5$（不符合向后移动的实际意义，舍去）。
因此小明应带球向正后方移动1 m射门。
【答案】
（1）抛物线的函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{12}(x-2)^2+3}$，球不能射进球门；
（2）小明应带球向正后方移动$\boldsymbol{1}$ m。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数顶点式应用，二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数解决抛物线类实际问题的典型习题，解题核心是结合题意确定抛物线的顶点坐标，灵活选择顶点式求解，同时要注意结合实际场景对计算得到的解进行合理性取舍。
【难度系数】
0.7
