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1 若一个扇形的半径是 2,弧长是$\frac{π}{2}$,则此扇形的
圆心角的度数为 （
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
圆心角的度数为 （
B
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
答案
1.B 【解析】设此扇形的圆心角的度数为 $n°$.
∵ 扇形的弧长为$\frac{π}{2}$,半径为 2,$\therefore \frac{π}{2} = \frac{nπ× 2}{180}$,解得 $n=45$. 故选 B.
∵ 扇形的弧长为$\frac{π}{2}$,半径为 2,$\therefore \frac{π}{2} = \frac{nπ× 2}{180}$,解得 $n=45$. 故选 B.
2 [2026 浙江丽水期末]如图，AB为$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，若$AB=4$，$AC=2\sqrt{2}$，则$\overset{\frown}{AC}$的长为（
A.$8π$
B.$4π$
C.$2π$
D.$π$
D
）A.$8π$
B.$4π$
C.$2π$
D.$π$
答案
2. D 【解析】如图, 连结 $OC$.
$\because AB=4,\therefore OA=OC=\frac{1}{2}AB=2$.
又$\because AC=2\sqrt{2},\therefore OA^2+OC^2=8=AC^2,\therefore ∠ AOC=90°,\therefore \overset{\frown}{AC}$ 的长为 $\frac{90×π×2}{180}=π$. 故选 D.
3 新考向传统文化[2026浙江湖州调研]传统服饰日益受到关注，如图(1)为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，马面裙可以近似地看成扇环(如图(2))，其中$\overset{\frown}{AD}$的长为$\frac{1}{3}π$米，裙长AB为0.8米，圆心角∠AOD=60°，则$\overset{\frown}{BC}$的长为
$\boldsymbol{\frac{3}{5}π}$米
。答案
3. $\boldsymbol{\frac{3}{5}π}$米 【解析】$\because$ 圆心角$∠ AOD=60°,\overset{\frown}{AD}$ 的长为 $\frac{1}{3}π$ 米,$\therefore \frac{60π× OA}{180}=\frac{1}{3}π,\therefore OA=1$ 米,$\therefore OB=OA+AB=1+0.8=1.8$(米),$\therefore \overset{\frown}{BC}$ 的长为 $\frac{60π× 1.8}{180}=\frac{3}{5}π$(米),故答案为 $\frac{3}{5}π$ 米.
4[2025浙江杭州质检]如图,将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG,点B的对应点E落在边CD上,若$AB=\sqrt{6}$,$BC=\sqrt{3}$,则$\overset{\frown}{CF}$的长为
(第4题图)
(第5题图)
$\boldsymbol{\frac{3π}{4}}$
.(第4题图)
(第5题图)
答案
4. $\boldsymbol{\frac{3π}{4}}$ 【解析】如图,连结 $AC,AF$,过点 $E$ 作 $EM ⊥ AB$ 于 $M$. $\because$ 四边形 $ABCD$ 为矩形,$\therefore$ 易得 $EM=CB=\sqrt{3}$. 由旋转的性质可知,$AB=AE=\sqrt{6},AC=AF$. 在 $Rt△ ABC$ 中,$AC=\sqrt{(\sqrt{6})^2+(\sqrt{3})^2}=3$. 在 $Rt△ AEM$ 中, $AM=\sqrt{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{3}$,
$\therefore AM=EM,\therefore ∠ EAM=45°$. 由旋转可得, $∠ FAC=∠ EAM=45°,\therefore \overset{\frown}{CF}$ 的长为 $\frac{45π× 3}{180}=\frac{3π}{4}$. 故答案为 $\frac{3π}{4}$.
5[2025浙江绍兴期中]如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以AB为直径向外作半圆O,P是半圆O上的一个动点,M是CP的中点,当点P沿半圆O从点A运动至点B时,点M的运动路径长为
$\boldsymbol{\frac{5}{4}π}$
.答案
5. $\boldsymbol{\frac{5}{4}π}$ 【解析】如图,连结 $OP$,$OC$,取 $OC$ 的中点 $D$,连结 $DM$. 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ ACB=90°$,$AC=3$,$BC=4$,则由勾股定理得 $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=5$,$\therefore OP=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$. $\because$ 点 $M$ 是 $PC$ 的中点,点 $D$ 是 $OC$ 的中点,点 $P$ 沿半圆 $O$ 从点 $A$ 运动至点 $B$,$\therefore DM=\frac{1}{2}OP=\frac{5}{4}$,$\therefore$ 点 $M$ 在以 $D$ 为圆心,$\frac{5}{4}$ 为半径的半圆上运动,$\therefore$ 点 $M$ 的运动路径长为 $\frac{5}{4}π$. 故答案为 $\frac{5}{4}π$.
6[2025浙江杭州模拟]若扇形的半径为20 cm，扇形的面积为$100π \ \mathrm{cm}^2$，则该扇形的圆心角度数为（
A.$120°$
B.$100°$
C.$90°$
D.$60°$
C
）A.$120°$
B.$100°$
C.$90°$
D.$60°$
答案
6.C 【解析】设该扇形的圆心角度数是 $n°$, 则 $\frac{nπ× 20^2}{360}=100π$, 解得 $n=90$. 故选 C.
7 如图,某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心,AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细),则所得扇形DAB的面积为
$\boldsymbol{9}$
.答案
7. 9 【解析】$\because$ 正方形的边长为 3,$\therefore$ 弧 $BD$ 的长为 6,
$\therefore S_{\mathrm{扇形}DAB}=\frac{1}{2}×6×3=9$. 故答案为 9.
$\therefore S_{\mathrm{扇形}DAB}=\frac{1}{2}×6×3=9$. 故答案为 9.
8 如图，一根6 m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A(羊只能在草地上活动)，那么小羊A在草地上的最大活动区域的面积是
$\boldsymbol{\frac{29}{3}π}$
m². 答案
8. $\boldsymbol{\frac{29}{3}π}$ 【解析】如图, 扇形 $DOE$ 与扇形 $CEB$ 是小羊 $A$ 在草地上的最大活动区域.
扇形 $DOE$ 的圆心角是 $90°$, 半径是 6 m, 所以扇形 $DOE$ 的面积为 $\frac{90π×6^2}{360}=9π(\mathrm{m}^2)$. 扇形 $ECB$ 的圆心角是 $180°-120°=60°$, 半径是 $6-4=2(\mathrm{m})$, 所以扇形 $ECB$ 的面积为 $\frac{60π×2^2}{360}=\frac{2}{3}π(\mathrm{m}^2)$, 所以小羊 $A$ 在草地上的最大活动区域的面积为 $9π+\frac{2}{3}π=\frac{29}{3}π(\mathrm{m}^2)$.
9[2025浙江杭州期中]如图,在$△ ABC$中,$AB=BC=6$,$∠ ABC=45°$,以$BC$为直径作半圆$O$,交$AC$于点$D$,交$AB$于点$E$.
(1)求弧$DE$的长;
(2)求阴影部分的面积.
(1)求弧$DE$的长;
(2)求阴影部分的面积.
答案
9.【解】(1)如图,连结 $OE,OD$.
$\because OB = OE,\therefore ∠ ABC = ∠ BEO=45°,\therefore ∠ BOE=90°$.
$\because AB=BC=6,\therefore OB=OC=3$,$∠ ACB=∠ BAC$.
$\because OC=OD,\therefore ∠ ACB=∠ CDO,\therefore ∠ CDO=∠ BAC$,
$\therefore AB// OD,\therefore ∠ DOE=∠ BEO=45°,\therefore$ 弧 $DE$ 的长为 $\frac{45}{180}×π×3=\frac{3π}{4}$.
(2)$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}BOE}-S_{\mathrm{Rt}△ BOE}=\frac{90}{360}×π×3^2-\frac{1}{2}×3^2=\frac{9π}{4}-\frac{9}{2}$.
