13. 同号两实数$a,b$满足$a^2 + b^2 = 4 - 2ab$，若$a - b$为整数，则$ab$的值为（）

A.1或$\frac{3}{4}$
B.1或$\frac{5}{4}$
C.2或$\frac{3}{2}$
D.2或$\frac{5}{2}$

13. A 【点拨】
∵$a^2+b^2=4-2ab$，
∴$(a+b)^2=4$，
∴$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=4-4ab≥0$，
∴$ab≤1$。
∵$ab＞0$，
∴$0＜ab≤1$。
∴$0≤4-4ab＜4$。
∵$a-b$为整数，
∴$4-4ab$为平方数。
∴$4-4ab=1$或0，解得$ab=\frac{3}{4}$或1。

14. 荣德原创题 已知$x≠y$，且满足两个等式$x^2 - 2y = 2025^2$，$y^2 - 2x = 2025^2$，则$x^2 + 2xy + y^2$的值为________。

14. 4 【点拨】$\begin{cases} x^2-2y=2\ 025^2\ ①,\\ y^2-2x=2\ 025^2\ ②, \end{cases}$ ①$-$②得$x^2-y^2+2x-2y=0$，$(x+y)(x-y)+2(x-y)=0$，$(x-y)(x+y+2)=0$，
∵$x≠y$，
∴$x-y≠0$，
∴$x+y+2=0$，即$x+y=-2$，
∴$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2=4$。

15.已知$a^2 + b^2 + c^2 - ab - 3b - 2c + 4 = 0$，则$a + b + c$的值为.

15. 4 【点拨】
∵$a^2+b^2+c^2-ab-3b-2c+4=0$，
∴$a^2-ab+\frac{1}{4}b^2+\frac{3}{4}(b^2-4b+4)+c^2-2c+1=0$。
∴$(a-\frac{1}{2}b)^2+\frac{3}{4}(b-2)^2+(c-1)^2=0$。
∴$a-\frac{1}{2}b=0,b-2=0,c-1=0$。
∴$a=1,b=2,c=1$。
∴$a+b+c=4$。

16. 一个长方形的长与宽分别为$a$，$b$.若该长方形的周长为14，面积为5，求$3a^4b^2 + 6a^3b^3 + 3a^2b^4$的值.

16. 【解】
∵长方形的长与宽分别为$a,b$，该长方形的周长为14，面积为5，
∴$ab=5,a+b=7$。
$3a^4b^2+6a^3b^3+3a^2b^4=3a^2b^2(a+b)^2=3[ab(a+b)]^2$。
将$ab=5,a+b=7$代入可得，原式$=3×(5×7)^2=3×35^2=3\ 675$。

17. 新考法 换元法 先阅读下面的材料，再解答问题.
因式分解：$(x+y)^2 + 2(x+y) +1$.
解：将“$x+y$”看成整体，设 $x+y=m$，则原式$=m^2 +2m +1=(m+1)^2$.
再将 $x+y=m$ 代入，得原式$=(x+y+1)^2$.
上述解题用到的是数学中常用的一种思想方法——“换元法”.
请结合上述解题思路，完成下面的因式分解：
(1)$1-2(x-y)+(x-y)^2$；
(2)$25(a-1)^2 -10(a-1)+1$.

17. 【解】(1)设$x-y=m$，则原式$=1-2m+m^2=(1-m)^2=[1-(x-y)]^2=(1-x+y)^2$。
(2)设$a-1=m$，则原式$=25m^2-10m+1=(5m-1)^2=[5(a-1)-1]^2=(5a-6)^2$。

18. 新考法 阅读类比法 先阅读下面的例题，再解答问题.
例:已知 $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5 = 0$，求 $x + y$ 的值.
解:∵$x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5 = 0$，
∴$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = 0$，
即$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 0$.
又∵$(x - 1)^2 ≥ 0, (y + 2)^2 ≥ 0$，
∴$(x - 1)^2 = 0, (y + 2)^2 = 0$，
∴$x - 1 = 0, y + 2 = 0$.
∴$x = 1, y = -2$.
∴$x + y = -1$.
(1)已知 $x^2 + 4y^2 - 6x + 4y + 10 = 0$，求 $xy$ 的值；
(2)已知 $4x^2 + 4x + y^2 - 2y + 2 = 0$，求 $4x^2 - 4xy + y^2$ 的值；
(3)若$△ ABC$的三边长$a, b, c$都是正整数，且其中两边长$a, b$满足等式 $a^2 + b^2 - 10a - 12b + 61 = 0$，求$△ ABC$的周长的最大值.

18. 【解】(1)
∵$x^2+4y^2-6x+4y+10=0$，
∴$(x^2-6x+9)+(4y^2+4y+1)=0$，
即$(x-3)^2+(2y+1)^2=0$。
又
∵$(x-3)^2≥0,(2y+1)^2≥0$，
∴$(x-3)^2=0,(2y+1)^2=0$。
∴$x-3=0,2y+1=0$。
∴$x=3,y=-\frac{1}{2}$。
∴$xy=3×(-\frac{1}{2})=-\frac{3}{2}$。
(2)
∵$4x^2+4x+y^2-2y+2=0$，
∴$(4x^2+4x+1)+(y^2-2y+1)=0$，
即$(2x+1)^2+(y-1)^2=0$。
又
∵$(2x+1)^2≥0,(y-1)^2≥0$，
∴$(2x+1)^2=0,(y-1)^2=0$。
∴$2x+1=0,y-1=0$，
∴$x=-\frac{1}{2},y=1$。
∴$4x^2-4xy+y^2=(2x-y)^2=[2×(-\frac{1}{2})-1]^2=4$。
(3)
∵$a^2+b^2-10a-12b+61=0$，
∴$a^2-10a+25+b^2-12b+36=0$，
即$(a-5)^2+(b-6)^2=0$。
又
∵$(a-5)^2≥0,(b-6)^2≥0$，
∴$(a-5)^2=0,(b-6)^2=0$。
∴$a-5=0,b-6=0$。
∴$a=5,b=6$。
∴$6-5＜c＜6+5$，即$1＜c＜11$。
∴正整数$c$的最大值为10。
∴$△ABC$的周长的最大值为$5+6+10=21$。