11.若小明将如图所示的两条水平直线AB，CD中的一条当成x轴，且向右为正方向；两条竖直直线AC，BD中的一条当成y轴，且向上为正方向，并在此平面直角坐标系中画出了二次函数$y=2(x-1)^2$的图象，则坐标原点可能是（）

A.点A
B.点B
C.点C
D.点D

11.C

【分析】
解题时先从二次函数顶点式的性质入手：首先确定该二次函数的顶点坐标、开口方向，结合图象中顶点的位置先判断哪条直线是x轴；再根据顶点横坐标的正负判断y轴的位置，x轴与y轴的交点即为坐标原点。
【解析】
对于二次函数$y=2(x-1)^2$：
1. 由顶点式性质可得，其顶点坐标为$(1,0)$，且$a=2＞0$，开口向上，符合题图中抛物线的形状；
2. 顶点纵坐标为0，说明顶点在x轴上，观察图象可知抛物线顶点在下方水平直线$CD$上，因此$CD$为x轴，向右为正方向；
3. 顶点横坐标为$1＞0$，说明顶点在y轴右侧，因此y轴为顶点左侧的竖直直线$AC$，向上为正方向；
4. x轴$CD$与y轴$AC$的交点为点$C$，即坐标原点为点$C$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质，平面直角坐标系，二次函数图象
【点评】
本题将二次函数图象与坐标系建立结合考查，需要熟练掌握顶点式下二次函数顶点坐标的求法，结合图象特征反向推导坐标系的位置，是对基础知识点应用能力的考察。
【难度系数】
0.7

12. 如图,在同一平面直角坐标系中,过点A且与x轴平行的直线交抛物线$y=\frac{1}{3}(x+1)^2$于B,C两点.若线段BC的长为6,则点A的坐标为 ()

A.$(0,1)$
B.$(0,4.5)$
C.$(0,3)$
D.$(0,6)$

12.C

【分析】
首先，过点A且与x轴平行的直线上所有点纵坐标相等，点A在y轴上，可设A的坐标为(0,m)，则直线BC的解析式为y=m；其次，抛物线$y=\frac{1}{3}(x+1)^2$是轴对称图形，对称轴为直线x=-1，平行于x轴的线段BC的两个端点B、C关于抛物线的对称轴对称，结合BC长度为6，可求出点C的横坐标，将其代入抛物线解析式即可求出m的值，得到点A的坐标。
【解析】
设点A的坐标为$(0,m)$，
∵BC过点A且与x轴平行，
∴直线BC的解析式为$y=m$，B、C两点纵坐标均为$m$。
抛物线$y=\frac{1}{3}(x+1)^2$的对称轴为直线$x=-1$，
∵$BC// x$轴，
∴B、C两点关于直线$x=-1$对称。
已知$BC=6$，因此点C到对称轴$x=-1$的距离为$6÷2=3$，
∴点C的横坐标为$-1+3=2$。
将$x=2$代入抛物线解析式$y=\frac{1}{3}(x+1)^2$，得：
$y=\frac{1}{3}×(2+1)^2=\frac{1}{3}×9=3$，
即$m=3$，因此点A的坐标为$(0,3)$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数图象上点的坐标特征，平行于x轴直线的坐标特点
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，解题的关键是抓住平行于x轴的直线上点纵坐标相等、抛物线的轴对称性这两个特点，即可快速求出点的坐标，也可通过联立方程求根的方法求解，难度不大。
【难度系数】
0.7

13.【新定义试题】定义:若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点,则称该点为这个函数图象的“梅岭点”.则抛物线 $y=-\frac{1}{4}(x+3)^2$ 上的“梅岭点”为.

13.$(-1,-1),(-9,-9)$

【分析】
首先明确“梅岭点”的定义：函数图象上横、纵坐标相等的点，即满足y=x的点。解题思路为：将y=x代入抛物线解析式，得到关于x的一元二次方程，解方程求出x的取值，对应得到的(x,x)即为所求的“梅岭点”坐标。
【解析】
根据“梅岭点”的定义，该点横、纵坐标相等，即$y=x$。
将$y=x$代入抛物线解析式$y=-\frac{1}{4}(x+3)^2$，可得：
$x=-\frac{1}{4}(x+3)^2$
两边同时乘4消去分母，得：$4x=-(x^2+6x+9)$
移项整理为一元二次方程的一般形式：$x^2+10x+9=0$
因式分解得：$(x+1)(x+9)=0$
解得：$x_1=-1$，$x_2=-9$
当$x=-1$时，$y=-1$；当$x=-9$时，$y=-9$
因此抛物线的“梅岭点”为$(-1,-1)$、$(-9,-9)$。
【答案】
$(-1,-1),(-9,-9)$
【知识点】
1.新定义理解 2.二次函数点的坐标特征 3.解一元二次方程
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题的关键是准确理解新定义的含义，将陌生的新定义转化为熟悉的y=x的等量关系，再通过解一元二次方程得到结果，考查了学生的知识迁移能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7

14.已知二次函数$y=2(x-h)^2$，当$x＜3$时，y随x的增大而减小，则h满足的条件是。

14.$h≥3$

【分析】
首先回忆二次函数$y=a(x-h)^2$的基本性质：当$a＞0$时，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=h$，在对称轴左侧（$x＜h$）$y$随$x$的增大而减小，在对称轴右侧（$x＞h$）$y$随$x$的增大而增大。本题中$a=2＞0$，已知$x＜3$时$y$随$x$增大而减小，说明$x＜3$的区间完全落在对称轴左侧，据此推导$h$的取值范围即可，注意验证$h=3$的边界情况是否符合题意。
【解析】
对于二次函数$y=2(x-h)^2$：
1. 二次项系数$a=2＞0$，因此抛物线开口向上；
2. 该函数的对称轴为直线$x=h$；
3. 根据开口向上的抛物线性质：当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而减小；
4. 已知当$x＜3$时，$y$随$x$的增大而减小，说明$x＜3$的范围全部在对称轴$x=h$的左侧（或对称轴刚好为$x=3$），因此$h≥3$。
（若$h＜3$，则当$h＜x＜3$时，$y$会随$x$增大而增大，不符合题意）
【答案】
$h≥3$
【知识点】
二次函数$y=a(x-h)^2$的性质；二次函数的增减性；二次函数的对称轴
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题核心是根据开口方向明确增减性与对称轴的对应关系，易错点是容易漏掉$h=3$的边界情况。
【难度系数】
0.7

15. 把抛物线 $y=a(x-4)^2$ 向左平移6个单位长度后得到抛物线 $y=-3(x-h)^2$。
(1)求a和h的值；
(2)若抛物线 $y=a(x-4)^2$ 的顶点是A，且与y轴交于点B，抛物线 $y=-3(x-h)^2$ 的顶点是M，求$△ MAB$的面积。

15.解:(1)
∵抛物线 $y=a(x-4)^2$ 向左平移6个单位长度后的解析式为 $y=a(x-4+6)^2$,即 $y=a(x+2)^2$.$\therefore y=a(x+2)^2=-3(x-h)^2$.$\therefore a=-3,h=-2.$
(2)
∵抛物线 $y=a(x-4)^2$ 即 $y=-3(x-4)^2$ 的顶点是A,且与y轴交于点B,
∴A(4,0),B(0,-48).
∵抛物线 $y=-3(x-h)^2$ 即 $y=-3(x+2)^2$ 的顶点是M,
∴M(-2,0).
∴$S_{△ MAB}=\dfrac{1}{2}AM· BO=\dfrac{1}{2}×|4-(-2)|×|-48|=144.$

【分析】
(1) 先依据二次函数图象平移“左加右减”的规律，写出平移后的抛物线解析式，再将其与题目给出的平移后解析式对比，令对应项系数相等即可求出a和h的值；(2) 先根据二次函数顶点式的性质，直接得出两个抛物线的顶点A、M的坐标，再令原抛物线中x=0求出与y轴交点B的坐标，观察可知A、M都在x轴上，因此三角形的底为AM的长度，高为点B到x轴的距离（即B点纵坐标的绝对值），代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 根据抛物线平移“左加右减”的规律，将抛物线$y=a(x-4)^2$向左平移6个单位长度后，所得解析式为：
$y=a(x-4+6)^2=a(x+2)^2$
由题意得$a(x+2)^2=-3(x-h)^2$，对应系数和形式相等，因此$a=-3$，$h=-2$。
(2) 抛物线$y=-3(x-4)^2$符合顶点式$y=a(x-h)^2$，顶点坐标为$(h,0)$，因此顶点A的坐标为$(4,0)$；
求其与y轴交点B，令$x=0$，代入得$y=-3×(0-4)^2=-48$，因此B点坐标为$(0,-48)$；
平移后抛物线为$y=-3(x+2)^2$，其顶点M的坐标为$(-2,0)$；
点A、M均在x轴上，因此$AM=|4-(-2)|=6$，点B到x轴的距离为$|-48|=48$，即$△ MAB$中AM边上的高为48，因此：
$S_{△ MAB}=\frac{1}{2}× AM × |y_B|=\frac{1}{2}×6×48=144$
【答案】
(1) $a=-3$，$h=-2$；(2) $△ MAB$的面积为144。
【知识点】
二次函数图象平移、二次函数顶点式、坐标系内面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础常考题，核心考查二次函数平移规律和顶点式的性质，解题关键是熟练掌握“左加右减”的平移规则，能快速从顶点式中提取顶点坐标，同时结合点的坐标特征选择简便的面积计算方法，降低运算量。
【难度系数】
0.7

16.如图,直线$y=-x-2$交$x$轴于点$A$,交$y$轴于点$B$,抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点为$A$,且经过点$B$.
(1)求该抛物线对应的函数解析式;
(2)若点$C(m,-\dfrac{9}{2})$在该抛物线上,求$m$的值;
(3)请在抛物线的对称轴上找一点$P$,使$PO+PB$的值最小,求出点$P$的坐标.

16.解:(1)在$y=-x-2$中,令x=0,则y=-2;令y=0,则x=-2.
∴A(-2,0),B(0,-2).
∵抛物线的顶点为A,且经过点B,
∴可设$y=a(x+2)^2$,
∴-2=4a,
∴$a=-\dfrac{1}{2}$.
∴抛物线的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2=-\dfrac{1}{2}x^2-2x-2.$
(2)
∵点$C(m,-\dfrac{9}{2})$在该抛物线上,
∴$-\dfrac{1}{2}m^2-2m-2=-\dfrac{9}{2}$.解得$m_1=1,m_2=-5.$
(3)如图,在抛物线上作点B关于对称轴x=-2的对称点B',连接OB',OB'与对称轴的交点即为点P.
∵点B的坐标为(0,-2),对称轴是x=-2,
∴B'(-4,-2).
∴直线OB'的解析式为$y=\dfrac{1}{2}x$.当x=-2时,y=-1.
∴P(-2,-1).

【分析】
(1) 先求直线与坐标轴的交点：对于直线$y=-x-2$，分别令$x=0$、$y=0$即可得到B、A两点的坐标；已知抛物线顶点为A，因此设抛物线的顶点式$y=a(x-h)^2$，代入顶点A的坐标确定$h$的值，再代入B点坐标求出参数$a$，即可得到抛物线解析式。
(2) 点在抛物线上说明点的坐标满足抛物线解析式，将点C的坐标代入解析式，得到关于$m$的一元二次方程，解方程即可求出$m$的值。
(3) 本题属于轴对称最短路径问题：抛物线对称轴为定直线$x=-2$，要在对称轴上找P使$PO+PB$最小，根据轴对称性质，作B关于对称轴的对称点$B'$，则$PB=PB'$，因此$PO+PB=PO+PB'$，当O、P、B'三点共线时线段和最小，即$OB'$与对称轴的交点就是所求的P点；先求出$B'$的坐标，再求直线$OB'$的解析式，将对称轴$x=-2$代入解析式得到P点纵坐标，即可得到P点坐标。
【解析】
(1) 对于直线$y=-x-2$：
令$x=0$，得$y=-2$，即$B(0,-2)$；
令$y=0$，得$0=-x-2$，解得$x=-2$，即$A(-2,0)$。
因为抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点为A，所以$h=-2$，设抛物线解析式为$y=a(x+2)^2$。
将$B(0,-2)$代入解析式得：$-2=a×(0+2)^2$，即$4a=-2$，解得$a=-\dfrac{1}{2}$。
因此抛物线的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2$，展开得$y=-\dfrac{1}{2}x^2-2x-2$。
(2) 因为点$C(m,-\dfrac{9}{2})$在抛物线上，代入解析式得：
$-\dfrac{1}{2}m^2-2m-2=-\dfrac{9}{2}$
两边同乘2去分母得：$-m^2-4m-4=-9$
整理得$m^2+4m-5=0$，因式分解得$(m-1)(m+5)=0$，
解得$m_1=1$，$m_2=-5$。
(3) 作点B关于抛物线对称轴$x=-2$的对称点$B'$，连接$OB'$，$OB'$与对称轴的交点即为所求点P，此时$PO+PB$的值最小。
已知$B(0,-2)$，对称轴为$x=-2$，可得$B'(-4,-2)$。
设直线$OB'$的解析式为$y=kx(k≠0)$，将$B'(-4,-2)$代入得$-2=-4k$，解得$k=\dfrac{1}{2}$，即直线$OB'$的解析式为$y=\dfrac{1}{2}x$。
将$x=-2$代入$y=\dfrac{1}{2}x$，得$y=-1$，即$P(-2,-1)$。
【答案】
(1) 抛物线对应的函数解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2}$（或$\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{2}x^2-2x-2}$）；
(2) $m$的值为$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{-5}$；
(3) 点P的坐标为$\boldsymbol{(-2,-1)}$，参考作图：
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数图象上点的坐标特征，轴对称最短路径
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，前两问侧重考查二次函数的基本性质与基础计算，第三问需要将线段和最小问题通过轴对称转化为两点之间线段最短问题，解题时要熟练掌握二次函数顶点式的应用，以及对称法求最值的思路。
【难度系数】
0.7