登录
11[2025山东济南中考]如图，AB是$\odot O$的直径，C为$\odot O$上一点，P为$\odot O$外一点，$OP// AC$，且$∠ OBP=90°$，连接PC.
(1)求证：PC与$\odot O$相切；
(2)若$AO=3$，$OP=5$，求AC的长.
(1)求证：PC与$\odot O$相切；
(2)若$AO=3$，$OP=5$，求AC的长.
答案
11. (1)【证明】如图，连接OC。
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA。
∵OP//AC，
∴∠OAC=∠BOP，∠OCA=∠COP，
∴∠COP=∠BOP。在△COP和△BOP中，$\begin{cases} OC=OB, \\ ∠COP=∠BOP, \\ OP=OP, \end{cases}$
∴△COP≌△BOP(SAS)，
∴∠OCP=∠OBP=90°，
∴OC⊥PC。又
∵OC为⊙O的半径，
∴PC与⊙O相切。
(2)【解】如图，连接BC交OP于点D。
∵△COP≌△BOP，
∴PC=PB。
∵OB=OC，
∴OP垂直平分BC。
∵AO=BO=3，OP=5，∠OBP=90°，
∴BP=$\sqrt{OP^2−OB^2}=\sqrt{5^2−3^2}=4$。
∵$S_{△OBP}=\frac{1}{2}OB·BP=\frac{1}{2}OP·BD$，
∴BD=$\frac{OB·BP}{OP}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$，
∴BC=2BD=$\frac{24}{5}$。
∵AB是⊙O的直径，
∴AB=2OA=6，∠ACB=90°，
∴AC=$\sqrt{AB^2−BC^2}=\sqrt{6^2−(\frac{24}{5})^2}=\frac{18}{5}$。
解析
【分析】
(1) 要证明PC是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明半径OC垂直PC。首先连接OC，利用等腰三角形等边对等角得到$∠ OAC=∠ OCA$，再结合$OP// AC$的性质可推出$∠ COP=∠ BOP$，通过SAS证明$△ COP≌△ BOP$，即可将已知的$∠ OBP=90°$转移为$∠ OCP=90°$，完成切线证明。
(2) 求AC的长时，已知AB是直径，根据圆周角定理可得$∠ ACB=90°$，即$△ ACB$是直角三角形，已知$AB=2AO=6$，只需算出BC的长即可用勾股定理求AC。结合全等性质和垂直平分线的判定可得OP垂直平分BC，先在$Rt△ OBP$中用勾股定理求BP，再用面积法求BD，进而得到BC的长，最后代入勾股定理计算AC即可。
【解析】
(1) 证明：连接OC
$\because OC=OA$（同圆半径相等）
$\therefore ∠ OAC=∠ OCA$（等腰三角形两底角相等）
$\because OP// AC$
$\therefore ∠ OAC=∠ BOP$（两直线平行，同位角相等），$∠ OCA=∠ COP$（两直线平行，内错角相等）
$\therefore ∠ COP=∠ BOP$
在$△ COP$和$△ BOP$中：
$\begin{cases} OC=OB（同圆半径相等） \\ ∠ COP=∠ BOP \\ OP=OP（公共边） \end{cases}$
$\therefore △ COP≌△ BOP(\mathrm{SAS})$
$\therefore ∠ OCP=∠ OBP=90°$，即$OC⊥ PC$
又$\because OC$是$\odot O$的半径
$\therefore PC$与$\odot O$相切
(2) 解：连接BC交OP于点D
$\because △ COP≌△ BOP$
$\therefore PC=PB$（全等三角形对应边相等）
又$\because OB=OC$
$\therefore OP$垂直平分BC（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）
已知$AO=BO=3$，$OP=5$，$∠ OBP=90°$，在$Rt△ OBP$中，由勾股定理得：
$BP=\sqrt{OP^2-OB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$
$\because S_{△ OBP}=\frac{1}{2}OB· BP=\frac{1}{2}OP· BD$
$\therefore BD=\frac{OB· BP}{OP}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$
$\therefore BC=2BD=\frac{24}{5}$
$\because AB$是$\odot O$的直径
$\therefore AB=2OA=6$，$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角）
在$Rt△ ACB$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-(\frac{24}{5})^2}=\sqrt{36-\frac{576}{25}}=\sqrt{\frac{324}{25}}=\frac{18}{5}$
【答案】
11. (1)【证明】如图，连接OC。
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA。
∵OP//AC，
∴∠OAC=∠BOP，∠OCA=∠COP，
∴∠COP=∠BOP。在△COP和△BOP中，$\begin{cases} OC=OB, \\ ∠COP=∠BOP, \\ OP=OP, \end{cases}$
∴△COP≌△BOP(SAS)，
∴∠OCP=∠OBP=90°，
∴OC⊥PC。又
∵OC为⊙O的半径，
∴PC与⊙O相切。
(2)【解】如图，连接BC交OP于点D。
∵△COP≌△BOP，
∴PC=PB。
∵OB=OC，
∴OP垂直平分BC。
∵AO=BO=3，OP=5，∠OBP=90°，
∴BP=$\sqrt{OP^2−OB^2}=\sqrt{5^2−3^2}=4$。
∵$S_{△OBP}=\frac{1}{2}OB·BP=\frac{1}{2}OP·BD$，
∴BD=$\frac{OB·BP}{OP}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$，
∴BC=2BD=$\frac{24}{5}$。
∵AB是⊙O的直径，
∴AB=2OA=6，∠ACB=90°，
∴AC=$\sqrt{AB^2−BC^2}=\sqrt{6^2−(\frac{24}{5})^2}=\frac{18}{5}$。
【知识点】
切线的判定；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是圆的典型综合题，解题逻辑清晰，第一问通过构造全等转移直角是切线判定的常用思路，第二问用面积法求高简化了计算过程，考查了圆的基本性质、三角形全等、直角三角形相关性质等核心考点，对学生的逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明PC是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明半径OC垂直PC。首先连接OC，利用等腰三角形等边对等角得到$∠ OAC=∠ OCA$，再结合$OP// AC$的性质可推出$∠ COP=∠ BOP$，通过SAS证明$△ COP≌△ BOP$，即可将已知的$∠ OBP=90°$转移为$∠ OCP=90°$，完成切线证明。
(2) 求AC的长时，已知AB是直径，根据圆周角定理可得$∠ ACB=90°$，即$△ ACB$是直角三角形，已知$AB=2AO=6$，只需算出BC的长即可用勾股定理求AC。结合全等性质和垂直平分线的判定可得OP垂直平分BC，先在$Rt△ OBP$中用勾股定理求BP，再用面积法求BD，进而得到BC的长，最后代入勾股定理计算AC即可。
【解析】
(1) 证明：连接OC
$\because OC=OA$（同圆半径相等）
$\therefore ∠ OAC=∠ OCA$（等腰三角形两底角相等）
$\because OP// AC$
$\therefore ∠ OAC=∠ BOP$（两直线平行，同位角相等），$∠ OCA=∠ COP$（两直线平行，内错角相等）
$\therefore ∠ COP=∠ BOP$
在$△ COP$和$△ BOP$中：
$\begin{cases} OC=OB（同圆半径相等） \\ ∠ COP=∠ BOP \\ OP=OP（公共边） \end{cases}$
$\therefore △ COP≌△ BOP(\mathrm{SAS})$
$\therefore ∠ OCP=∠ OBP=90°$，即$OC⊥ PC$
又$\because OC$是$\odot O$的半径
$\therefore PC$与$\odot O$相切
(2) 解：连接BC交OP于点D
$\because △ COP≌△ BOP$
$\therefore PC=PB$（全等三角形对应边相等）
又$\because OB=OC$
$\therefore OP$垂直平分BC（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）
已知$AO=BO=3$，$OP=5$，$∠ OBP=90°$，在$Rt△ OBP$中，由勾股定理得：
$BP=\sqrt{OP^2-OB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$
$\because S_{△ OBP}=\frac{1}{2}OB· BP=\frac{1}{2}OP· BD$
$\therefore BD=\frac{OB· BP}{OP}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$
$\therefore BC=2BD=\frac{24}{5}$
$\because AB$是$\odot O$的直径
$\therefore AB=2OA=6$，$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角）
在$Rt△ ACB$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-(\frac{24}{5})^2}=\sqrt{36-\frac{576}{25}}=\sqrt{\frac{324}{25}}=\frac{18}{5}$
【答案】
11. (1)【证明】如图，连接OC。
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA。
∵OP//AC，
∴∠OAC=∠BOP，∠OCA=∠COP，
∴∠COP=∠BOP。在△COP和△BOP中，$\begin{cases} OC=OB, \\ ∠COP=∠BOP, \\ OP=OP, \end{cases}$
∴△COP≌△BOP(SAS)，
∴∠OCP=∠OBP=90°，
∴OC⊥PC。又
∵OC为⊙O的半径，
∴PC与⊙O相切。
(2)【解】如图，连接BC交OP于点D。
∵△COP≌△BOP，
∴PC=PB。
∵OB=OC，
∴OP垂直平分BC。
∵AO=BO=3，OP=5，∠OBP=90°，
∴BP=$\sqrt{OP^2−OB^2}=\sqrt{5^2−3^2}=4$。
∵$S_{△OBP}=\frac{1}{2}OB·BP=\frac{1}{2}OP·BD$，
∴BD=$\frac{OB·BP}{OP}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$，
∴BC=2BD=$\frac{24}{5}$。
∵AB是⊙O的直径，
∴AB=2OA=6，∠ACB=90°，
∴AC=$\sqrt{AB^2−BC^2}=\sqrt{6^2−(\frac{24}{5})^2}=\frac{18}{5}$。
【知识点】
切线的判定；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是圆的典型综合题，解题逻辑清晰，第一问通过构造全等转移直角是切线判定的常用思路，第二问用面积法求高简化了计算过程，考查了圆的基本性质、三角形全等、直角三角形相关性质等核心考点，对学生的逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
12[2025江苏无锡中考]已知圆弧所在圆的半径为6,该弧所对的圆心角为$90°$,则这条弧的长为 (
A.$2π$
B.$3π$
C.$4π$
D.$6π$
B
)A.$2π$
B.$3π$
C.$4π$
D.$6π$
答案
12. B 【解析】由题意得，这条弧的长为$\frac{90π×6}{180}=3π$，故选B。
解析
【分析】
本题考查弧长的计算，解题时首先回忆弧长计算公式，明确弧长与弧所对圆心角度数、圆弧所在圆的半径的关系，再从题干中提取已知的圆心角度数、半径数值，直接代入公式计算即可得到结果。
【解析】
弧长的计算公式为$l=\frac{nπ R}{180}$，其中$n$为弧所对圆心角的度数，$R$为圆弧所在圆的半径。
由题意可知，弧所对的圆心角$n=90°$，圆弧所在圆的半径$R=6$，代入公式计算：
$l=\frac{90π×6}{180}=3π$
因此这条弧的长为$3π$。
【答案】
B
【知识点】
弧长的计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查弧长公式的直接应用，只要准确记忆公式，代入数值计算时细心即可快速得分。
【难度系数】
0.9
本题考查弧长的计算，解题时首先回忆弧长计算公式，明确弧长与弧所对圆心角度数、圆弧所在圆的半径的关系，再从题干中提取已知的圆心角度数、半径数值，直接代入公式计算即可得到结果。
【解析】
弧长的计算公式为$l=\frac{nπ R}{180}$，其中$n$为弧所对圆心角的度数，$R$为圆弧所在圆的半径。
由题意可知，弧所对的圆心角$n=90°$，圆弧所在圆的半径$R=6$，代入公式计算：
$l=\frac{90π×6}{180}=3π$
因此这条弧的长为$3π$。
【答案】
B
【知识点】
弧长的计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查弧长公式的直接应用，只要准确记忆公式，代入数值计算时细心即可快速得分。
【难度系数】
0.9
13[2025江苏盐城中考]如图(1)是博物馆屋顶的图片,屋顶由图(2)中的瓦片构成,瓦片横截面如图(3)所示,$\overset{\frown}{AB}$是以点O为圆心,18 cm为半径的弧,弦AB的长为18 cm,则$\overset{\frown}{AB}$的长是 (
A.$24π$ cm
B.$12π$ cm
C.$10π$ cm
D.$6π$ cm
D
)A.$24π$ cm
B.$12π$ cm
C.$10π$ cm
D.$6π$ cm
答案
13. D 【解析】
∵OA=OB=AB=18 cm，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴$\widehat{AB}$的长为$\frac{60}{180}π×18=6π$(cm)。故选D。
∵OA=OB=AB=18 cm，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴$\widehat{AB}$的长为$\frac{60}{180}π×18=6π$(cm)。故选D。
解析
【分析】
要求$\overset{\frown}{AB}$的长度，首先回忆弧长计算公式为$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$是弧所对的圆心角度数，$r$是圆的半径）。本题已经给出半径$r=18\ \mathrm{cm}$，因此解题关键是求出圆心角$∠ AOB$的度数。已知$OA$、$OB$都是$\odot O$的半径，可得$OA=OB=18\ \mathrm{cm}$，结合题目给出的弦$AB=18\ \mathrm{cm}$，可知$△ OAB$三边相等，可判定为等边三角形，等边三角形内角均为$60°$，即可得到$∠ AOB=60°$，最后代入弧长公式计算即可得到结果。
【解析】
$\because OA$、$OB$均为$\odot O$的半径，
$\therefore OA=OB=18\ \mathrm{cm}$，
又$\because$弦$AB=18\ \mathrm{cm}$，
$\therefore OA=OB=AB$，即$△ OAB$是等边三角形，
$\therefore ∠ AOB=60°$，
根据弧长公式，$\overset{\frown}{AB}$的长为$\frac{60×π×18}{180}=6π\ \mathrm{cm}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
弧长计算；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题以生活中的瓦片为背景，将几何知识和实际场景结合，解题核心是先通过三边相等判定等边三角形得到圆心角度数，再代入弧长公式计算，侧重对基础公式和基础判定定理的考查。
【难度系数】
0.8
要求$\overset{\frown}{AB}$的长度，首先回忆弧长计算公式为$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$是弧所对的圆心角度数，$r$是圆的半径）。本题已经给出半径$r=18\ \mathrm{cm}$，因此解题关键是求出圆心角$∠ AOB$的度数。已知$OA$、$OB$都是$\odot O$的半径，可得$OA=OB=18\ \mathrm{cm}$，结合题目给出的弦$AB=18\ \mathrm{cm}$，可知$△ OAB$三边相等，可判定为等边三角形，等边三角形内角均为$60°$，即可得到$∠ AOB=60°$，最后代入弧长公式计算即可得到结果。
【解析】
$\because OA$、$OB$均为$\odot O$的半径，
$\therefore OA=OB=18\ \mathrm{cm}$，
又$\because$弦$AB=18\ \mathrm{cm}$，
$\therefore OA=OB=AB$，即$△ OAB$是等边三角形，
$\therefore ∠ AOB=60°$，
根据弧长公式，$\overset{\frown}{AB}$的长为$\frac{60×π×18}{180}=6π\ \mathrm{cm}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
弧长计算；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题以生活中的瓦片为背景，将几何知识和实际场景结合，解题核心是先通过三边相等判定等边三角形得到圆心角度数，再代入弧长公式计算，侧重对基础公式和基础判定定理的考查。
【难度系数】
0.8
14[2025山西中考]如图，在△ABC中，∠BAC = 90°，AB=AC，分别以点B，C为圆心、BC的长为半径画
弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E。若BC=4，则图中阴影部分的面积为（
A.$2π -4$
B.$4π -4$
C.$8π -8$
D.$4π -8$
弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E。若BC=4，则图中阴影部分的面积为（D
）A.$2π -4$
B.$4π -4$
C.$8π -8$
D.$4π -8$
答案
14. D 【解析】
∵∠BAC=90°，AB=AC，BC=4，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴AB=AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}BC=2\sqrt{2}$，
∴$S_{阴影部分}=S_{扇形BCE}+S_{扇形DBC}−2S_{△ABC}=\frac{45π×4^2}{360}+\frac{45π×4^2}{360}−2×\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4π−8$。故选D。
∵∠BAC=90°，AB=AC，BC=4，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴AB=AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}BC=2\sqrt{2}$，
∴$S_{阴影部分}=S_{扇形BCE}+S_{扇形DBC}−2S_{△ABC}=\frac{45π×4^2}{360}+\frac{45π×4^2}{360}−2×\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4π−8$。故选D。
解析
【分析】
观察图形可知，阴影部分为两个扇形的非重叠区域，可通过割补法转化面积计算：阴影面积等于两个圆心角为45°、半径为4的扇形面积之和，减去2倍等腰直角△ABC的面积。解题时先利用等腰直角三角形的性质求出扇形的圆心角（即△ABC的底角）和AB、AC的长度，再分别计算扇形和三角形的面积，最后代入运算即可得到结果。
【解析】
解：
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴$∠ ABC=∠ ACB=\frac{180°-90°}{2}=45°$，
已知BC=4，
∴$AB=AC=BC·\sin45°=4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$，
单个圆心角为45°、半径为4的扇形面积为：$\frac{nπ r^2}{360}=\frac{45π×4^2}{360}=2π$，
△ABC的面积为：$\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$，
因此阴影部分面积=2个扇形面积和−2倍△ABC面积=$2×2π - 2×4=4π-8$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
扇形面积计算；等腰直角三角形性质；割补法求阴影面积
【点评】
本题是组合图形面积计算的常规题型，解题核心是通过割补法将不规则的阴影面积转化为规则图形的面积和差，熟练掌握扇形和三角形的面积公式是解题的基础。
【难度系数】
0.7
观察图形可知，阴影部分为两个扇形的非重叠区域，可通过割补法转化面积计算：阴影面积等于两个圆心角为45°、半径为4的扇形面积之和，减去2倍等腰直角△ABC的面积。解题时先利用等腰直角三角形的性质求出扇形的圆心角（即△ABC的底角）和AB、AC的长度，再分别计算扇形和三角形的面积，最后代入运算即可得到结果。
【解析】
解：
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴$∠ ABC=∠ ACB=\frac{180°-90°}{2}=45°$，
已知BC=4，
∴$AB=AC=BC·\sin45°=4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$，
单个圆心角为45°、半径为4的扇形面积为：$\frac{nπ r^2}{360}=\frac{45π×4^2}{360}=2π$，
△ABC的面积为：$\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$，
因此阴影部分面积=2个扇形面积和−2倍△ABC面积=$2×2π - 2×4=4π-8$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
扇形面积计算；等腰直角三角形性质；割补法求阴影面积
【点评】
本题是组合图形面积计算的常规题型，解题核心是通过割补法将不规则的阴影面积转化为规则图形的面积和差，熟练掌握扇形和三角形的面积公式是解题的基础。
【难度系数】
0.7
15[2025江苏淮安中考]观察点和观察的图形在同一平面内,我们把以观察点为顶点,包含被观察图形的最小角称为从观察点观察该图形的张角.如图(1),α为观察点P观察正方形的张角.如图(2),在正方形所在平面内观察这个正方形,若张角为90°,则观察点的位置都在图中的圆弧上.如图(3),等边三角形ABC的边长为6,在三角形所在平面内观察这个三角形,若张角为30°,则所有符合条件的观察点组成的图形周长为
24π
.答案
15. 24π 【解析】先作出点C关于AB的对称点O₁，连接O₁A，O₁B，以点O₁为圆心，O₁A为半径画圆，P为优弧AB上一点，则∠ACB=∠AO₁B=60°，
∴∠APB=$\frac{1}{2}$∠AO₁B=30°，同理作出圆O₂，O₃，
∴点P在以AB，AC，BC为弦的优弧上，如图(1)。
如图(2)，延长CA交圆O₁于点G，当点P在劣弧AG上时，观察不到整个的△ABC，不符合题意，
∴符合条件的点P组成的图形应去掉6段和劣弧AG一样的弧，如图(3)。
如图(4)，作以点A为圆心，AB为半径的圆A与圆O₁，O₂分别交于点G，H，当P在劣弧GH上时，∠BPC=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，符合题意，同理，点P也可以在另外两段和劣弧GH一样的弧上。如图(5)，整个实线图形即为所有符合条件的观察点组成的图形，
∴周长为$3×(\frac{60π×6}{180}+\frac{180π×6}{180})=24π$，故答案为24π。
解析
【分析】
解决本题首先要理解“张角”的定义，结合圆周角定理分析轨迹特征：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，要得到30°的张角，对应圆心角为60°。首先以等边三角形的三边为弦，构造出弦所对圆周角为30°的圆弧，再筛选出能完整观察到三角形的弧段、排除不符合的部分，最后用弧长公式计算总长度即可。
【解析】
解：已知等边△ABC的边长为6，每个内角均为60°。
1. 构造基础圆弧：
分别以AB、AC、BC为弦，作弦所对圆周角为30°的优弧：作点C关于AB的对称点O₁，连接O₁A、O₁B，以O₁为圆心，O₁A（长度为6）为半径作圆，此时∠AO₁B=∠ACB=60°，根据圆周角定理，优弧AB上任意一点P满足∠APB=$\frac{1}{2}$∠AO₁B=30°。同理可作出以AC、BC为弦的另外两个等圆O₂、O₃，如图(1)。
2. 筛选符合条件的弧段：
如图(2)，延长CA交圆O₁于点G，当点P在劣弧AG上时，无法观察到完整的△ABC，不满足张角定义，同理每条边对应的优弧上各有2段这类不符合要求的劣弧，共6段需排除，符合条件的点P组成的图形应先去掉这6段劣弧，如图(3)。
如图(4)，作以点A为圆心、AB（长度为6）为半径的圆A，与圆O₁、O₂分别交于G、H，劣弧GH上任意一点P满足∠BPC=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，且能观察到完整△ABC，符合要求；同理B、C顶点处各有1段这样的劣弧。如图(5)，整个实线图形即为所有符合条件的观察点组成的图形。
3. 计算总周长：
每条边对应的优弧剩余部分的圆心角为180°，半径为6，单段弧长为$\frac{180π×6}{180}=6π$，共3段，总长度为$3×6π=18π$；
每个顶点处符合条件的劣弧圆心角为60°，半径为6，单段弧长为$\frac{60π×6}{180}=2π$，共3段，总长度为$3×2π=6π$；
因此所有符合条件的观察点组成的图形周长为$18π+6π=24π$。
【答案】
24π
【知识点】
圆周角定理，弧长计算，等边三角形性质
【点评】
本题结合新定义“张角”考查几何轨迹分析，既需要准确理解新概念，也需要结合圆周角定理、弧长公式等知识作图分析符合条件的轨迹，对逻辑推理能力和几何直观素养有一定要求。
【难度系数】
0.3
解决本题首先要理解“张角”的定义，结合圆周角定理分析轨迹特征：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，要得到30°的张角，对应圆心角为60°。首先以等边三角形的三边为弦，构造出弦所对圆周角为30°的圆弧，再筛选出能完整观察到三角形的弧段、排除不符合的部分，最后用弧长公式计算总长度即可。
【解析】
解：已知等边△ABC的边长为6，每个内角均为60°。
1. 构造基础圆弧：
分别以AB、AC、BC为弦，作弦所对圆周角为30°的优弧：作点C关于AB的对称点O₁，连接O₁A、O₁B，以O₁为圆心，O₁A（长度为6）为半径作圆，此时∠AO₁B=∠ACB=60°，根据圆周角定理，优弧AB上任意一点P满足∠APB=$\frac{1}{2}$∠AO₁B=30°。同理可作出以AC、BC为弦的另外两个等圆O₂、O₃，如图(1)。
2. 筛选符合条件的弧段：
如图(2)，延长CA交圆O₁于点G，当点P在劣弧AG上时，无法观察到完整的△ABC，不满足张角定义，同理每条边对应的优弧上各有2段这类不符合要求的劣弧，共6段需排除，符合条件的点P组成的图形应先去掉这6段劣弧，如图(3)。
如图(4)，作以点A为圆心、AB（长度为6）为半径的圆A，与圆O₁、O₂分别交于G、H，劣弧GH上任意一点P满足∠BPC=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，且能观察到完整△ABC，符合要求；同理B、C顶点处各有1段这样的劣弧。如图(5)，整个实线图形即为所有符合条件的观察点组成的图形。
3. 计算总周长：
每条边对应的优弧剩余部分的圆心角为180°，半径为6，单段弧长为$\frac{180π×6}{180}=6π$，共3段，总长度为$3×6π=18π$；
每个顶点处符合条件的劣弧圆心角为60°，半径为6，单段弧长为$\frac{60π×6}{180}=2π$，共3段，总长度为$3×2π=6π$；
因此所有符合条件的观察点组成的图形周长为$18π+6π=24π$。
【答案】
24π
【知识点】
圆周角定理，弧长计算，等边三角形性质
【点评】
本题结合新定义“张角”考查几何轨迹分析，既需要准确理解新概念，也需要结合圆周角定理、弧长公式等知识作图分析符合条件的轨迹，对逻辑推理能力和几何直观素养有一定要求。
【难度系数】
0.3
16[2024内蒙古通辽中考]如图,平面直角坐标系中,原点O为正六边形ABCDEF的中心,EF//x轴,点E在双曲线$y=\frac{k}{x}$(k为常数,k＞0)上,将正六边形ABCDEF向上平移$\sqrt{3}$个单位长度,点D恰好落在双曲线上,则k的值为(
A.$4\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{3}$
D.3
A
)A.$4\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{3}$
D.3
答案
16. A 【解析】如图所示，过点E作EH⊥x轴于H，连接OE。
∵原点O为正六边形ABCDEF的中心，
∴OE=OD，∠EOD=$\frac{360°}{6}=60°$，
∴△OED是等边三角形，
∴DE=OD。
∵EH⊥OD，
∴OH=DH=$\frac{1}{2}$OD，
∴EH=$\sqrt{DE^2−DH^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$OD。设OD=2m，则OH=m，HE=$\sqrt{3}$m，
∴E(m,$\sqrt{3}$m)，D(2m,0)。
∵将正六边形ABCDEF向上平移$\sqrt{3}$个单位长度，点D恰好落在双曲线上，
∴点(2m,$\sqrt{3}$)在双曲线上。又
∵点E也在双曲线上，
∴k=2m·$\sqrt{3}$=m·$\sqrt{3}$m，解得m=2或m=0(舍去)，
∴k=2m·$\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。故选A。
思路分析
设OD=2m，根据正六边形性质和勾股定理，用m表示点E，D的坐标，列出方程求出m的值，即可求出k值。
解析
【分析】
本题是正六边形、平移与反比例函数结合的综合题，解题思路如下：首先，利用正六边形的性质，中心到各顶点的距离相等，相邻顶点与中心的夹角为60°，可得△OED是等边三角形；其次，过E作x轴的垂线，设OD的长度为参数2m，用含m的式子表示出点E的坐标，同时得到点D的坐标，再根据平移“上加下减”的规则得到平移后点D的坐标；最后，根据反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k=xy$的性质，点E和平移后的点D的横纵坐标乘积都等于k，列出方程求解m的值，代入即可求出k。
【解析】
过点E作EH⊥x轴于H，连接OE。
∵原点O为正六边形ABCDEF的中心，
∴OE=OD，中心角$∠ EOD=\frac{360°}{6}=60°$，
∴△OED是等边三角形，即$DE=OD$。
∵$EH⊥ OD$，
∴$OH=DH=\frac{1}{2}OD$，
由勾股定理得$EH=\sqrt{DE^2-DH^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}OD$。
设$OD=2m$，则$OH=m$，$HE=\sqrt{3}m$，
∴点E坐标为$(m,\sqrt{3}m)$，点D坐标为$(2m,0)$。
将正六边形向上平移$\sqrt{3}$个单位长度后，点D的对应点坐标为$(2m,\sqrt{3})$。
∵点E和平移后的点D都在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，
∴$k=m·\sqrt{3}m=2m·\sqrt{3}$，
解得$m=2$或$m=0$（不符合题意，舍去），
代入得$k=2×2×\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.正六边形性质
2.反比例函数性质
3.坐标与平移
【点评】
本题将正六边形、图形平移和反比例函数相结合，考查学生对几何图形性质和函数性质的综合运用能力，解题关键是用参数表示出双曲线上两个点的坐标，利用k值相等建立方程，是中考常考的综合题型。
【难度系数】
0.6
本题是正六边形、平移与反比例函数结合的综合题，解题思路如下：首先，利用正六边形的性质，中心到各顶点的距离相等，相邻顶点与中心的夹角为60°，可得△OED是等边三角形；其次，过E作x轴的垂线，设OD的长度为参数2m，用含m的式子表示出点E的坐标，同时得到点D的坐标，再根据平移“上加下减”的规则得到平移后点D的坐标；最后，根据反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k=xy$的性质，点E和平移后的点D的横纵坐标乘积都等于k，列出方程求解m的值，代入即可求出k。
【解析】
过点E作EH⊥x轴于H，连接OE。
∵原点O为正六边形ABCDEF的中心，
∴OE=OD，中心角$∠ EOD=\frac{360°}{6}=60°$，
∴△OED是等边三角形，即$DE=OD$。
∵$EH⊥ OD$，
∴$OH=DH=\frac{1}{2}OD$，
由勾股定理得$EH=\sqrt{DE^2-DH^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}OD$。
设$OD=2m$，则$OH=m$，$HE=\sqrt{3}m$，
∴点E坐标为$(m,\sqrt{3}m)$，点D坐标为$(2m,0)$。
将正六边形向上平移$\sqrt{3}$个单位长度后，点D的对应点坐标为$(2m,\sqrt{3})$。
∵点E和平移后的点D都在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，
∴$k=m·\sqrt{3}m=2m·\sqrt{3}$，
解得$m=2$或$m=0$（不符合题意，舍去），
代入得$k=2×2×\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.正六边形性质
2.反比例函数性质
3.坐标与平移
【点评】
本题将正六边形、图形平移和反比例函数相结合，考查学生对几何图形性质和函数性质的综合运用能力，解题关键是用参数表示出双曲线上两个点的坐标，利用k值相等建立方程，是中考常考的综合题型。
【难度系数】
0.6
17[2025江苏宿迁中考]如图,正五边形ABCDE内接于$\odot O$,连接AC,则$∠ ACD$的度数为
72°
.答案
17. 72° 【解析】
∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴BA=BC，∠B=∠BCD=$\frac{(5−2)×180°}{5}=108°$，
∴∠ACB=∠CAB=$\frac{180°−∠B}{2}=36°$，
∴∠ACD=∠BCD−∠ACB=72°，故答案为72°。
∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴BA=BC，∠B=∠BCD=$\frac{(5−2)×180°}{5}=108°$，
∴∠ACB=∠CAB=$\frac{180°−∠B}{2}=36°$，
∴∠ACD=∠BCD−∠ACB=72°，故答案为72°。
解析
【分析】
要求∠ACD的度数，观察图形可发现∠ACD=∠BCD-∠ACB，因此首先需要计算正五边形的内角度数，再利用等腰三角形的性质求出△ABC中底角∠ACB的度数，最后通过角的和差关系即可算出∠ACD的度数。
【解析】
∵正五边形ABCDE内接于$\odot O$，
∴$AB=BC$，正五边形各内角度数相等，
∴$∠ B=∠ BCD=\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，
在$△ ABC$中，$AB=BC$，$△ ABC$为等腰三角形，
∴$∠ ACB=∠ CAB=\frac{180°-∠ B}{2}=\frac{180°-108°}{2}=36°$，
∴$∠ ACD=∠ BCD-∠ ACB=108°-36°=72°$。
【答案】
$72°$
【知识点】
正多边形内角和、等腰三角形的性质、正多边形与圆
【点评】
本题是基础常考题，核心考查正多边形内角的计算和等腰三角形性质的应用，解题关键是熟练掌握正多边形内角和公式，结合图形的角的和差关系推导所求角的度数。
【难度系数】
0.7
要求∠ACD的度数，观察图形可发现∠ACD=∠BCD-∠ACB，因此首先需要计算正五边形的内角度数，再利用等腰三角形的性质求出△ABC中底角∠ACB的度数，最后通过角的和差关系即可算出∠ACD的度数。
【解析】
∵正五边形ABCDE内接于$\odot O$，
∴$AB=BC$，正五边形各内角度数相等，
∴$∠ B=∠ BCD=\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，
在$△ ABC$中，$AB=BC$，$△ ABC$为等腰三角形，
∴$∠ ACB=∠ CAB=\frac{180°-∠ B}{2}=\frac{180°-108°}{2}=36°$，
∴$∠ ACD=∠ BCD-∠ ACB=108°-36°=72°$。
【答案】
$72°$
【知识点】
正多边形内角和、等腰三角形的性质、正多边形与圆
【点评】
本题是基础常考题，核心考查正多边形内角的计算和等腰三角形性质的应用，解题关键是熟练掌握正多边形内角和公式，结合图形的角的和差关系推导所求角的度数。
【难度系数】
0.7
