【典例3】已知集合$ A = \{ x | - 2 ＜ x ＜ 5 \}, B = \{ x | m + 1 \leqslant x \leqslant 2 m - 1 \} $.若$ B \subseteq A $,求实数$ m $的取值范围.

解题指导 第1步:“$ B \subseteq A $”,即集合$ B 是集合 A $的子集,因为集合$ B $中有参数,故先讨论当集合$ B $为空集(空集是任何集合的子集)时,再进行求解.
第2步:当集合$ B $不为空集时,结合数轴列出不等式(组)求解,注意检验等号是否可以取到.
答案 解:若$ B = \varnothing $,则$ m + 1 ＞ 2 m - 1 $,
解得$ m ＜ 2 $;这里取不到等号.若取等,则$ B \neq \varnothing $.
若$ B \neq \varnothing $,把集合$ A, B $在数轴上表示出来,如图所示,

结合数轴,得$\left\{ \begin{array} { l } { m + 1 \leqslant 2 m - 1, } \\ { m + 1 ＞ - 2, } \\ { 2 m - 1 ＜ 5, } \end{array} \right.解得 2 \leqslant m ＜ 3 $.
这里取不到等号.若取等,则“$ B \subseteq A $”不成立.
综上所述,实数$ m 的取值范围是 \{ m | m ＜ 3 \} $.

【变式3】(1)已知集合$ A = \{ x | a x - 1 = 0 \}, B = \{ x | x ^ { 2 } - 3 x + 2 = 0 \} $,且$ A \subseteq B $,则实数$ a $的值为____;
(2)已知集合$ A = \{ x | x \geqslant 4 或 x ＜ - 5 \}, B = \{ x | a + 1 \leqslant x \leqslant a + 3, a \in \mathbf { R } \} $,若$ B \subseteq A $,求实数$ a $的取值范围.

解：(1)解方程$x^{2}-3x + 2 = 0$，得$x = 1$或$x = 2$，∴$B = \{ 1,2\}$。当$a = 0$时，$A = \varnothing $，满足$A\subseteq B$，符合题意；当$a≠0$时，$A = \{ \frac{1}{a}\}$，若满足$A\subseteq B$，则需$\frac{1}{a}=1$或$\frac{1}{a}=2$，解得$a = 1$或$a = \frac{1}{2}$。综上所述，实数a的值为0或1或$\frac{1}{2}$。
故答案为0或1或$\frac{1}{2}$。
(2)因为$a + 3 ＞ a + 1$，所以$B≠\varnothing $。利用数轴表示$B\subseteq A$，如图所示。

易得$a + 3 ＜ -5$或$a + 1\geq4$，解得$a ＜ -8$或$a\geq3$，
所以实数a的取值范围为$\{ a|a ＜ -8$或$a\geq3\}$。

1.下列关系一定正确的是()
A.$ \pi \in \mathbf { Q } $
B.$ \varnothing \subseteq \{ 0 \} $
C.$ \{ 0, 1 \} \subseteq \{ ( 0, 1 ) \} $
D.$ \{ ( a, b ) \} = \{ ( b, a ) \} $

1.B 对于A，因为π是无理数，所以$π∉Q$，故A错误；对于B，空集是任何集合的子集，所以$\varnothing \subseteq \{ 0\}$，故B正确；对于C，集合$\{ 0,1\}$是数集，集合$\{ (0,1)\}$是点集，所以$\{ 0,1\} \nsubseteq \{ (0,1)\}$，故C错误；对于D，当$a≠b$时，点$(a,b)$与点$(b,a)$表示不同的点，所以$\{ (a,b)\} = \{ (b,a)\}$不正确，故D错误。

2.若$ M = \left\{ x \in \mathbf { N } \left| \frac { 8 } { 8 - x } \in \mathbf { N } \right. \right\} $,则集合$ M $的子集的个数是()
A.$ 8 $
B.$ 16 $
C.$ 32 $
D.$ 64 $

2.B 因为$\frac{8}{8 - x}∈N$，所以$8 - x = 1$，$2$，$4$，$8$。
因为$x∈N$，所以$x = 7$，$6$，$4$，$0$，所以集合$M = \{ 7,6,4,0\}$，
所以集合M的子集的个数是$2^{4}=16$。

3.设集合$ A = \{ x | 1 ＜ x ＜ 2 \}, B = \{ x | x ＜ a \} $.若$ A \subseteq B $,则$ a $满足的条件是()
A.$ a \geqslant 2 $
B.$ a \leqslant 1 $
C.$ a \geqslant 1 $
D.$ a \leqslant 2 $

3.A 如图，利用数轴表示$A\subseteq B$。

由图易得$a\geq2$。