1. 如图，平面直角坐标系中有一张长方形纸片OABC，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8. 在边OC上取一点D，连接AD，将纸片沿AD翻折，使点O落在边BC上的点E处，则点D的坐标为。

1. (0,5) 解析:因为四边形OABC是长方形,OA=10,OC=8,所以 AB=OC=8,BC=OA=10,∠B=∠BCO=90°.由翻折的性质,得 AE=AO=10,DE=OD.所以 BE=√(AE²-AB²)=6.所以 CE=BC-BE=4.设 OD=m,则 DE=m,CD=8-m.所以 CD²+CE²=DE²,即(8-m)²+4²=m²,解得 m=5.所以点 D 的坐标为(0,5).

2. (2026·江苏泰州期末)如图,在平面直角坐标系中,点 B 在 x 轴负半轴上,直线 AB ⊥ x 轴于点 B(点 A 在点 B 的上方),AB=BO=2,P 为射线 BA 上一动点(不与 A,B 两点重合),连接 OP,将线段 OP 绕点 P 按逆时针方向旋转 90°得到线段 PC,连接 AC,OA.
(1) 点 A 关于 x 轴的对称点的坐标为,点 B 关于 OA 的对称点的坐标为;
(2) 若∠POB=60°,求点 B 关于 OP 的对称点的横坐标;
(3) 若点 C 关于 OP 的对称点为 M,点 C 关于 OA 的对称点为 N,求证:点 M 与点 N 关于 x 轴对称.

2. (1) (-2,-2) (0,2)
(2) 设点 B 关于 OP 的对称点为 G,过点 G 作 GH⊥x 轴于点 H,连接 OG. 由轴对称的性质,得 OG=OB=2,∠POG=∠POB=60°,所以∠GOH=180°-∠POG-∠POB=60°.所以∠G=90°-∠GOH=30°.所以 OH=1/2 OG=1.所以点 B 关于 OP 的对称点的横坐标为 1.
(3) 过点 C 作 CR⊥AB 于点 R,则∠CRP=90°.因为 AB ⊥ x 轴,所以∠PBO=90°,即∠CRP=∠PBO.由旋转的性质,得 OP=PC,∠OPC=90°,所以∠BPO+∠RPC=180°-∠OPC=90°.又∠BPO+∠BOP=90°,所以∠RPC=∠BOP.所以△BOP≌△RPC(AAS).所以 PR=OB=2,RC=BP.设 P(-2,m),则 BP=m.所以 RC=m.所以 C(m-2,m+2).因为点 C 关于 OP 的对称点为 M,所以 PM=PC,OP⊥CM.又∠CPO=90°,所以 C,P,M 三点共线,即 P 为 CM 的中点.所以点 M 的坐标为(-4-(m-2),2m-(m+2)),即(-m-2,m-2).又 AR=BR-AB=BP+PR-AB=m=RC,所以△CAR 是等腰直角三角形,即∠RAC=45°.易得∠BAO=45°,所以∠CAO=180°-∠BAO-∠RAC=90°.同理,得 A 是 CN 的中点,所以点 N 的坐标为(-4-(m-2),4-(m+2)),即(-m-2,-m+2).所以点 M 与点 N 关于 x 轴对称.

3. (2026·江苏扬州期末)在平面直角坐标系中,给出如下定义:点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”,点Q到x轴、y轴的距离相等时,称点Q为“完美点”.
(1) 点A(2,-3)的“长距”为;
(2) 若点B(5－3a,－2)是“完美点”,求a的值;
(3) 若点C(2－3b,3)的“长距”为4,点D的坐标为(4b－3,－5),且点C在第二象限内,试说明:点D是“完美点”.

3. (1) 3 解析:由题意,得点 A(2,-3)到 x 轴的距离为 3,到 y 轴的距离为 2,且 3＞2,所以点 A 的“长距”为 3.
(2) 因为点 B(5-3a,-2)是“完美点”,所以|5-3a|=|-2|,即 5-3a=2 或 5-3a=-2,解得 a=1 或 a=7/3.则 a 的值为 1 或7/3.
(3) 因为点 C(2-3b,3)的“长距”为 4,且点 C 在第二象限内,所以 2-3b=-4,解得 b=2.所以点 D 的坐标为(5,-5).所以点 D 到 x 轴、y 轴的距离都是 5,即点 D 是“完美点”.

4. 在平面直角坐标系中有 $ P(a,b), Q(c,d) $ 两点，且 $ |a - c| + |b - d| $ 的值就叫作线段 $ PQ $ 的“勾股距”，记作 $ d_{PQ} = |a - c| + |b - d| $。同时，我们把两边的“勾股距”之和等于第三边的“勾股距”的三角形叫作“等距三角形”。
已知 $ A(2,3), B(4,2), C(m,n) $ 三点。
(1) 线段 $ OA $ 的“勾股距” $ d_{OA} = $ ；
(2) 若点 $ C $ 在第三象限，且 $ d_{OC} = 2d_{AB} $，求 $ d_{AC} $ 并判断 $ △ ABC $ 是否为“等距三角形”；
(3) 若点 $ C $ 在 $ x $ 轴上，$ △ ABC $ 是“等距三角形”，请直接写出 $ m $ 的取值范围。

4. (1) 5
(2) 由题意,得 d_AB=|4-2|+|2-3|=3,所以 2d_AB=6.因为点 C(m,n)在第三象限,所以 m＜0,n＜0.所以 d_OC=|m-0|+|n-0|=|m|+|n|=-m-n=-(m+n).因为 d_OC=2d_AB,所以 -(m+n)=6,即 m+n=-6.所以 d_AC=|2-m|+|3-n|=2-m+3-n=5-(m+n)=5+6=11,d_BC=|4-m|+|2-n|=4-m+2-n=6-(m+n)=6+6=12.因为 3+11≠12,11+12≠3,12+3≠11,所以△ABC 不是“等距三角形”.
(3) m 的取值范围是 m≥4. 解析: 因为点 C(m,n)在 x 轴上,所以点 C 的坐标为(m,0).则 d_AC=|2-m|+3,d_BC=|4-m|+2.由(2),得 d_AB=3.① 当 m＜2 时,d_AC=2-m+3=5-m,d_BC=4-m+2=6-m.若△ABC 是“等距三角形”,则 d_AC+d_BC=d_AB 或 d_AC+d_AB=d_BC 或 d_BC+d_AB=d_AC.当 d_AC+d_BC=d_AB 时,5-m+6-m=3,解得 m=4(不符合题意,舍去).又 5-m+3=8-m≠6-m,6-m+3=9-m≠5-m,所以 d_AC+d_AB≠d_BC 且 d_BC+d_AB≠d_AC,即△ABC 不是“等距三角形”.所以当 m＜2 时,△ABC 不是“等距三角形”;② 当 2≤m＜4 时,d_AC=m-2+3=m+1,d_BC=4-m+2=6-m.若△ABC 是“等距三角形”,同理,得 6-m+3=m+1 或 m+1+3=6-m,解得 m=4(不符合题意,舍去)或 m=1(不符合题意,舍去).当 d_AC+d_BC=d_AB 时,m+1+6-m=7≠3,所以此种情况不存在.所以当 2≤m＜4 时,△ABC 不是“等距三角形”;③ 当 m≥4 时,d_AC=m+1,d_BC=m-2.若△ABC 是“等距三角形”,同理,得 m+1+m-2=3,解得 m=2(不符合题意,舍去);m+1+3≠m-2,此种情况不存在;m-2+3=m+1 恒成立,即 d_BC+d_AB=d_AC.所以当 m≥4 时,△ABC 是“等距三角形”.综上,当△ABC 是“等距三角形”时,m 的取值范围是 m≥4.