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1. 正方体骰子的初始位置如图1所示,将骰子进行如下操作:如图2,将骰子先向右翻滚$90°$,再按逆时针方向旋转$90°$,这个操作过程视为完成一次变换.按上述规则连续完成2 026次变换后,骰子朝上面的点数是（
A.1
B.3
C.5
D.6
C
）A.1
B.3
C.5
D.6
答案
提示:根据题意画图如下：
根据上图可知,第一次变换后,朝上的点数为5,第二次变换后,朝上的点数为6,第三次变换后,朝上的点数为3,由此可知,连续3次变换是一个循环. 因为2 026÷3=675……1,所以按上述规则连续完成2 026次变换后,骰子朝上面的点数是5.
解析
【分析】
我们首先明确初始骰子各面的点数朝向：初始状态骰子正面点数为1，右侧面点数为2，顶面点数为3，结合标准骰子对面点数和为7的特点，一步步模拟前3次完整变换的结果，就能发现变换每3次就回到初始状态，存在周期为3的循环。接下来用总变换次数2026除以周期3，通过得到的余数匹配对应变换后的顶面点数，就可以快速得到结果，不需要逐次计算2026次的操作。
【解析】
1. 确定初始状态：初始时骰子朝上点数为3，正面点数为1，右侧面点数为2，标准骰子相对面点数和为7，即1的对面是6，2的对面是5，3的对面是4。
2. 第一次完整变换：
第一步向右翻滚90°：骰子向右侧倾倒90°，原右侧面2点变为底面，原顶面3点变为右侧面，原左侧面5点变为新的顶面，正面仍为1点；
第二步绕竖直轴逆时针旋转90°：仅在水平面转动骰子，顶面点数保持不变，第一次变换完成后，骰子朝上面的点数为5。
3. 第二次完整变换：
重复操作规则，向右翻滚90°后再逆时针旋转90°，第二次变换完成后，骰子朝上面的点数为6。
4. 第三次完整变换：
完成第三次变换后，骰子朝上面的点数回到初始的3，说明每3次变换为一个完整的循环周期。
5. 计算周期余数：$2026 ÷ 3 = 675······1$，即2026次变换等价于完成675个完整周期后，再执行1次变换，对应第一次变换后的顶面点数5。
【答案】
骰子朝上面的点数是5，选C
【知识点】
图形的旋转，周期规律探究，正方体特征
【点评】
本题结合骰子的操作场景，考察了空间想象能力和规律探究能力，通过模拟少量操作找到循环周期，就可以把大数运算大幅简化，避免无意义的重复计算，易错点是混淆翻滚和旋转的动作效果，误判点数的朝向。
【难度系数】
0.6
我们首先明确初始骰子各面的点数朝向：初始状态骰子正面点数为1，右侧面点数为2，顶面点数为3，结合标准骰子对面点数和为7的特点，一步步模拟前3次完整变换的结果，就能发现变换每3次就回到初始状态，存在周期为3的循环。接下来用总变换次数2026除以周期3，通过得到的余数匹配对应变换后的顶面点数，就可以快速得到结果，不需要逐次计算2026次的操作。
【解析】
1. 确定初始状态：初始时骰子朝上点数为3，正面点数为1，右侧面点数为2，标准骰子相对面点数和为7，即1的对面是6，2的对面是5，3的对面是4。
2. 第一次完整变换：
第一步向右翻滚90°：骰子向右侧倾倒90°，原右侧面2点变为底面，原顶面3点变为右侧面，原左侧面5点变为新的顶面，正面仍为1点；
第二步绕竖直轴逆时针旋转90°：仅在水平面转动骰子，顶面点数保持不变，第一次变换完成后，骰子朝上面的点数为5。
3. 第二次完整变换：
重复操作规则，向右翻滚90°后再逆时针旋转90°，第二次变换完成后，骰子朝上面的点数为6。
4. 第三次完整变换：
完成第三次变换后，骰子朝上面的点数回到初始的3，说明每3次变换为一个完整的循环周期。
5. 计算周期余数：$2026 ÷ 3 = 675······1$，即2026次变换等价于完成675个完整周期后，再执行1次变换，对应第一次变换后的顶面点数5。
【答案】
骰子朝上面的点数是5，选C
【知识点】
图形的旋转，周期规律探究，正方体特征
【点评】
本题结合骰子的操作场景，考察了空间想象能力和规律探究能力，通过模拟少量操作找到循环周期，就可以把大数运算大幅简化，避免无意义的重复计算，易错点是混淆翻滚和旋转的动作效果，误判点数的朝向。
【难度系数】
0.6
2. 如图,把小明、小新两人看成点,他们分别在数轴上表示-8和10的点上,沿数轴做移动游戏.移动游戏规则:小明、小新两人先进行“石头、剪刀、布”,而后根据输赢结合下列规则进行移动:
①若平局,小明和小新都不动;
②若小明赢,则小新不动,同时小明向正方向移动2个单位长度;
③若小新赢,则小明不动,同时小新向负方向移动3个单位长度.
(提示:剪刀赢布,布赢石头,石头赢剪刀)
若进行了10局游戏,已知平3局,且小明与小新相距2个单位长度,则小明赢了
①若平局,小明和小新都不动;
②若小明赢,则小新不动,同时小明向正方向移动2个单位长度;
③若小新赢,则小明不动,同时小新向负方向移动3个单位长度.
(提示:剪刀赢布,布赢石头,石头赢剪刀)
若进行了10局游戏,已知平3局,且小明与小新相距2个单位长度,则小明赢了
5或1
局.答案
提示:因为小明在-8,小新在10,所以小明和小新的距离为10-(-8)=18个单位长度.因为进行了10局游戏,平3局,所以小明赢或小新赢的局数为10-3=7.设小明赢x局,则小新赢(7-x)局.根据题意,得2x+3(7-x)=18-2或2x+3(7-x)=18+2,解得x=5或x=1,即小明赢5局或1局.
解析
【分析】
我们可以按照以下思路逐步推导：第一步先算出初始状态下小明和小新的距离，小明在-8位置，小新在10位置，直接用右侧点减左侧点得到初始距离为18。第二步统计分出胜负的局数，总共有10局游戏，平局3局，因此分出胜负的局数为10-3=7局。第三步设小明赢了x局，那么小新赢的局数就是7-x局，分析移动对两人距离的影响：小明每赢1局，小明向右移动2单位，两人距离减少2；小新每赢1局，小新向左移动3单位，两人距离减少3。最后分两种情况讨论最终相距2的状态：第一种是两人还没相遇，距离从18缩小到2，总减少量为16；第二种是两人相遇之后继续移动，错开后相距2，总减少量为18+2=20，据此列方程求解即可得到结果。
【解析】
1. 计算初始距离：
小明位置为-8，小新位置为10，初始两人距离为 $10 - (-8) = 18$ 个单位长度。
2. 统计胜负局总数：
总游戏局数为10，平局3局，因此分出胜负的局数为 $10 - 3 =7$ 局。
3. 设未知数并列方程求解：
设小明赢了$x$局，则小新赢的局数为$7-x$局。
情况1：两人未相遇，最终相距2个单位，此时两人总距离减少量为 $18-2=16$，可得方程：
$2x + 3(7-x) = 16$
展开计算得：$2x +21 -3x =16$，解得$x=5$。
情况2：两人相遇后错开，最终相距2个单位，此时两人总距离减少量为 $18+2=20$，可得方程：
$2x + 3(7-x) = 20$
展开计算得：$2x +21 -3x =20$，解得$x=1$。
综上，小明赢了1局或5局。
【答案】
1或5
【知识点】
数轴两点距离，一元一次方程应用
【点评】
本题的易错点是容易忽略两人相遇后错开相距2的情况，仅考虑未相遇的单一状态导致漏解，解题时要结合数轴上两点距离的双向性，全面分类讨论所有符合条件的场景，避免丢解。
【难度系数】
0.6
我们可以按照以下思路逐步推导：第一步先算出初始状态下小明和小新的距离，小明在-8位置，小新在10位置，直接用右侧点减左侧点得到初始距离为18。第二步统计分出胜负的局数，总共有10局游戏，平局3局，因此分出胜负的局数为10-3=7局。第三步设小明赢了x局，那么小新赢的局数就是7-x局，分析移动对两人距离的影响：小明每赢1局，小明向右移动2单位，两人距离减少2；小新每赢1局，小新向左移动3单位，两人距离减少3。最后分两种情况讨论最终相距2的状态：第一种是两人还没相遇，距离从18缩小到2，总减少量为16；第二种是两人相遇之后继续移动，错开后相距2，总减少量为18+2=20，据此列方程求解即可得到结果。
【解析】
1. 计算初始距离：
小明位置为-8，小新位置为10，初始两人距离为 $10 - (-8) = 18$ 个单位长度。
2. 统计胜负局总数：
总游戏局数为10，平局3局，因此分出胜负的局数为 $10 - 3 =7$ 局。
3. 设未知数并列方程求解：
设小明赢了$x$局，则小新赢的局数为$7-x$局。
情况1：两人未相遇，最终相距2个单位，此时两人总距离减少量为 $18-2=16$，可得方程：
$2x + 3(7-x) = 16$
展开计算得：$2x +21 -3x =16$，解得$x=5$。
情况2：两人相遇后错开，最终相距2个单位，此时两人总距离减少量为 $18+2=20$，可得方程：
$2x + 3(7-x) = 20$
展开计算得：$2x +21 -3x =20$，解得$x=1$。
综上，小明赢了1局或5局。
【答案】
1或5
【知识点】
数轴两点距离，一元一次方程应用
【点评】
本题的易错点是容易忽略两人相遇后错开相距2的情况，仅考虑未相遇的单一状态导致漏解，解题时要结合数轴上两点距离的双向性，全面分类讨论所有符合条件的场景，避免丢解。
【难度系数】
0.6
3. 材料一:若一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别为 a , b , c , 则通常记这个三位数为 $\overline{abc}$, 即三位数 $\overline{abc}=100a+$ $10b+c.$
材料二:试说明当 $a+b+c$ 能被 3 整除时,三位数 $\overline{abc}$ 能被 3 整除.
解:因为 $a+b+c$ 能被 3 整除,可设 $a+$ $b+c=3k$(k 为正整数),
因为 $\overline{abc}=100a+10b+c$
$=99a+9b+a+b+c$
$=3(33a+3b)+3k$
$=3(33a+3b+k).$
所以 $\overline{abc}$ 一定能被 3 整除.
【概念理解】
(1) 三位数 235
【及时应用】
(2) 已知一个三位数 $\overline{abc}$ 能被 3 整除,若$\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}+5$ 是一个不大于 500的数,则这个三位数 $\overline{abc}$ 为
【类比探究】
(3) 当一个三位数 $\overline{abc}$ 能被 7 整除时, a ,b ,c 应满足什么条件? 试说明理由.
【解决问题】
(4) 已知一个三位数 $\overline{abc}$, 满足 $b+c-a=$1 ,且 $\overline{abc}$ 能被 5 和 7 整除,则这个三位数是
材料二:试说明当 $a+b+c$ 能被 3 整除时,三位数 $\overline{abc}$ 能被 3 整除.
解:因为 $a+b+c$ 能被 3 整除,可设 $a+$ $b+c=3k$(k 为正整数),
因为 $\overline{abc}=100a+10b+c$
$=99a+9b+a+b+c$
$=3(33a+3b)+3k$
$=3(33a+3b+k).$
所以 $\overline{abc}$ 一定能被 3 整除.
【概念理解】
(1) 三位数 235
不能
(填“能”或“不能”)被 3 整除.【及时应用】
(2) 已知一个三位数 $\overline{abc}$ 能被 3 整除,若$\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}+5$ 是一个不大于 500的数,则这个三位数 $\overline{abc}$ 为
111
.【类比探究】
(3) 当一个三位数 $\overline{abc}$ 能被 7 整除时, a ,b ,c 应满足什么条件? 试说明理由.
【解决问题】
(4) 已知一个三位数 $\overline{abc}$, 满足 $b+c-a=$1 ,且 $\overline{abc}$ 能被 5 和 7 整除,则这个三位数是
560或735
.答案
(1) 不能 提示:因为2+3+5=10,10不能被3整除,所以235不能被3整除.
(2) 111 提示:因为$\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}=(100a+10b+c)+(100b+10c+a)+(100c+10a+b)=111a+111b+111c=111(a+b+c)=3×37(a+b+c)$.因为$\overline{abc}$能被3整除,所以a+b+c能被3整除,设a+b+c=3k(k为正整数),则$\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}+5=111×3k+5=333k+5$. 因为333k+5≤500,所以$k≤\frac{495}{333}$,所以k=1,所以a+b+c=3. 因为a,b,c均是百位数字,所以a≥1,b≥1,c≥1,则a=1,b=1,c=1,这个三位数是111.
(3) 解:$\overline{abc}=100a+10b+c=7(14a+b)+(2a+3b+c)$,因为7(14a+b)一定能被7整除,所以,$\overline{abc}$能被7整除的条件是2a+3b+c能被7整除.
(4) 560或735 提示:因为b+c-a=1,且$\overline{abc}$能被5和7整除,所以c=0或5.当c=0时,b-a=1,即b=a+1,所以这个三位数是a(a+1)0,又因为这个数能被7整除,所以2a+3(a+1)+0=5a+3能被7整除,所以a=5,b=6,c=0,此时,三位数是560;当c=5时,b+5-a=1,即b=a-4,所以a≥4,所以三位数为$\overline{a(a-4)5}$,又因为这个数能被7整除,所以2a+3(a-4)+5=5a-7能被7整除,所以a=7,b=3,c=5,所以这个三位数是735.综上,符合条件的三位数是560或735.
(2) 111 提示:因为$\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}=(100a+10b+c)+(100b+10c+a)+(100c+10a+b)=111a+111b+111c=111(a+b+c)=3×37(a+b+c)$.因为$\overline{abc}$能被3整除,所以a+b+c能被3整除,设a+b+c=3k(k为正整数),则$\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}+5=111×3k+5=333k+5$. 因为333k+5≤500,所以$k≤\frac{495}{333}$,所以k=1,所以a+b+c=3. 因为a,b,c均是百位数字,所以a≥1,b≥1,c≥1,则a=1,b=1,c=1,这个三位数是111.
(3) 解:$\overline{abc}=100a+10b+c=7(14a+b)+(2a+3b+c)$,因为7(14a+b)一定能被7整除,所以,$\overline{abc}$能被7整除的条件是2a+3b+c能被7整除.
(4) 560或735 提示:因为b+c-a=1,且$\overline{abc}$能被5和7整除,所以c=0或5.当c=0时,b-a=1,即b=a+1,所以这个三位数是a(a+1)0,又因为这个数能被7整除,所以2a+3(a+1)+0=5a+3能被7整除,所以a=5,b=6,c=0,此时,三位数是560;当c=5时,b+5-a=1,即b=a-4,所以a≥4,所以三位数为$\overline{a(a-4)5}$,又因为这个数能被7整除,所以2a+3(a-4)+5=5a-7能被7整除,所以a=7,b=3,c=5,所以这个三位数是735.综上,符合条件的三位数是560或735.
解析
【分析】
这是一道结合数位表示的数论拓展题，解题思路可以顺着设问逐步推进：
1. 第(1)问直接套用材料给出的3的整除判定规则，计算三位数各位数字之和，判断和是否能被3整除，就能得到原数是否能被3整除。
2. 第(2)问先把三个轮换数位的三位数展开合并，化简得到总和为111(a+b+c)，结合已知原三位数能被3整除，可知a+b+c是3的倍数，代入后得到总和加5的表达式，结合“不大于500”的限制条件，求出整数k的取值，再根据数位的取值范围（百位数字a≥1），得到a+b+c=3的唯一正整数解，得到对应的三位数。
3. 第(3)问类比材料二中拆分出3的整倍数的方法，把三位数的代数表达式拆成7的整倍数加上剩余部分，剩余部分能被7整除就是三位数能被7整除的条件。
4. 第(4)问先根据能被5整除的数的个位特征，得到c只能是0或5，分两种情况结合已知条件b+c-a=1，把b用a表示，再代入第(3)问得到的7的整除条件，筛选出符合数位取值要求的正整数解，得到对应的三位数。
【解析】
(1) 计算235的各位数字和：2+3+5=10，10不能被3整除，根据材料二的结论，可知235不能被3整除。
(2) 对三个轮换三位数求和化简：
$\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}=(100a+10b+c)+(100b+10c+a)+(100c+10a+b)=111a+111b+111c=111(a+b+c)$
已知$\overline{abc}$能被3整除，由材料二可知a+b+c能被3整除，设a+b+c=3k（k为正整数），代入得：
$\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}+5=111×3k +5=333k+5$
根据题意该式≤500，即$333k+5≤500$，解得$k≤\frac{495}{333}\approx1.486$，正整数k只能取1，因此a+b+c=3。
又因为a是三位数的百位数字，所以a≥1，若b或c为0，对应的轮换数就不是三位数，不符合题意，因此a、b、c都≥1，唯一解为a=1,b=1,c=1，对应三位数为111。
(3) 对三位数的代数表达式拆分：
$\overline{abc}=100a+10b+c=98a+7b +2a+3b+c=7(14a+b)+(2a+3b+c)$
其中7(14a+b)显然是7的倍数，因此当且仅当剩余部分2a+3b+c能被7整除时，$\overline{abc}$能被7整除，即三位数$\overline{abc}$能被7整除的条件是2a+3b+c能被7整除。
(4) 因为$\overline{abc}$能被5整除，所以个位数字c只能是0或5，分两种情况讨论：
① 当c=0时，代入条件b+c-a=1，得b=a+1，将c=0、b=a+1代入7的整除条件，得：
2a+3(a+1)+0=5a+3，5a+3能被7整除，且a≥1，b=a+1≤9，试值得a=5时，5×5+3=28能被7整除，此时b=6，c=0，对应三位数为560。
② 当c=5时，代入条件b+c-a=1，得b=a-4，将c=5、b=a-4代入7的整除条件，得：
2a+3(a-4)+5=5a-7，5a-7能被7整除，即5a是7的倍数，a是1~9的正整数，且b=a-4≥0，得a≥4，试值得a=7时，5×7-7=28能被7整除，此时b=3，c=5，对应三位数为735。
综上符合条件的三位数是560或735。
【答案】
(1) 不能；(2) 111；(3) 当2a+3b+c能被7整除时，三位数$\overline{abc}$能被7整除，理由见解析；(4) 560或735
【知识点】
数的整除特征，数位代数表示，代数式拆分变形
【点评】
本题属于材料迁移类的数论中档题，从给定的3的整除推导方法出发，逐步引导学生类比探究7的整除条件，既考察了对基础数位表示的掌握，也锻炼了学生的知识迁移能力和分类讨论的数学思想，设问梯度清晰，符合从理解到应用再到探究的认知规律。
【难度系数】
0.4
这是一道结合数位表示的数论拓展题，解题思路可以顺着设问逐步推进：
1. 第(1)问直接套用材料给出的3的整除判定规则，计算三位数各位数字之和，判断和是否能被3整除，就能得到原数是否能被3整除。
2. 第(2)问先把三个轮换数位的三位数展开合并，化简得到总和为111(a+b+c)，结合已知原三位数能被3整除，可知a+b+c是3的倍数，代入后得到总和加5的表达式，结合“不大于500”的限制条件，求出整数k的取值，再根据数位的取值范围（百位数字a≥1），得到a+b+c=3的唯一正整数解，得到对应的三位数。
3. 第(3)问类比材料二中拆分出3的整倍数的方法，把三位数的代数表达式拆成7的整倍数加上剩余部分，剩余部分能被7整除就是三位数能被7整除的条件。
4. 第(4)问先根据能被5整除的数的个位特征，得到c只能是0或5，分两种情况结合已知条件b+c-a=1，把b用a表示，再代入第(3)问得到的7的整除条件，筛选出符合数位取值要求的正整数解，得到对应的三位数。
【解析】
(1) 计算235的各位数字和：2+3+5=10，10不能被3整除，根据材料二的结论，可知235不能被3整除。
(2) 对三个轮换三位数求和化简：
$\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}=(100a+10b+c)+(100b+10c+a)+(100c+10a+b)=111a+111b+111c=111(a+b+c)$
已知$\overline{abc}$能被3整除，由材料二可知a+b+c能被3整除，设a+b+c=3k（k为正整数），代入得：
$\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}+5=111×3k +5=333k+5$
根据题意该式≤500，即$333k+5≤500$，解得$k≤\frac{495}{333}\approx1.486$，正整数k只能取1，因此a+b+c=3。
又因为a是三位数的百位数字，所以a≥1，若b或c为0，对应的轮换数就不是三位数，不符合题意，因此a、b、c都≥1，唯一解为a=1,b=1,c=1，对应三位数为111。
(3) 对三位数的代数表达式拆分：
$\overline{abc}=100a+10b+c=98a+7b +2a+3b+c=7(14a+b)+(2a+3b+c)$
其中7(14a+b)显然是7的倍数，因此当且仅当剩余部分2a+3b+c能被7整除时，$\overline{abc}$能被7整除，即三位数$\overline{abc}$能被7整除的条件是2a+3b+c能被7整除。
(4) 因为$\overline{abc}$能被5整除，所以个位数字c只能是0或5，分两种情况讨论：
① 当c=0时，代入条件b+c-a=1，得b=a+1，将c=0、b=a+1代入7的整除条件，得：
2a+3(a+1)+0=5a+3，5a+3能被7整除，且a≥1，b=a+1≤9，试值得a=5时，5×5+3=28能被7整除，此时b=6，c=0，对应三位数为560。
② 当c=5时，代入条件b+c-a=1，得b=a-4，将c=5、b=a-4代入7的整除条件，得：
2a+3(a-4)+5=5a-7，5a-7能被7整除，即5a是7的倍数，a是1~9的正整数，且b=a-4≥0，得a≥4，试值得a=7时，5×7-7=28能被7整除，此时b=3，c=5，对应三位数为735。
综上符合条件的三位数是560或735。
【答案】
(1) 不能；(2) 111；(3) 当2a+3b+c能被7整除时，三位数$\overline{abc}$能被7整除，理由见解析；(4) 560或735
【知识点】
数的整除特征，数位代数表示，代数式拆分变形
【点评】
本题属于材料迁移类的数论中档题，从给定的3的整除推导方法出发，逐步引导学生类比探究7的整除条件，既考察了对基础数位表示的掌握，也锻炼了学生的知识迁移能力和分类讨论的数学思想，设问梯度清晰，符合从理解到应用再到探究的认知规律。
【难度系数】
0.4
