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【例3】某校用500元钱到商场去购买消毒液.经过还价,每瓶便宜1.5元,所购买的瓶数比按原价所购买的瓶数多10瓶,原价每瓶多少元?设原价每瓶x元,则可列出方程为().
A.$\frac{500}{x} - \frac{500}{x - 1.5} = 10$
B.$\frac{500}{x - 1.5} - \frac{500}{x} = 10$
C.$\frac{500}{x} - \frac{500}{x - 10} = 1.5$
D.$\frac{500}{x - 10} - \frac{500}{x} = 1.5$
A.$\frac{500}{x} - \frac{500}{x - 1.5} = 10$
B.$\frac{500}{x - 1.5} - \frac{500}{x} = 10$
C.$\frac{500}{x} - \frac{500}{x - 10} = 1.5$
D.$\frac{500}{x - 10} - \frac{500}{x} = 1.5$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道列方程的题目，首先需要找准题干中的核心等量关系，再依次表示出等量关系中的各个量。核心等量为：还价后购买的瓶数 - 原价购买的瓶数 = 10瓶。接下来根据“数量=总价÷单价”的基本关系，分别表示出原价、还价后两种单价对应的购买数量，代入等量关系即可得到方程，注意不要颠倒两个数量的前后顺序。
【解析】
1. 确定两种购买单价：原价为每瓶$x$元，还价后每瓶便宜1.5元，因此还价后单价为每瓶$(x-1.5)$元。
2. 计算不同单价下的购买数量：总金额均为500元，根据“数量=总价÷单价”可得：
按原价可购买的数量为$\frac{500}{x}$瓶，
按还价后价格可购买的数量为$\frac{500}{x-1.5}$瓶。
3. 代入等量关系列方程：
已知还价后购买的瓶数比原价多10瓶，即还价后购买数量 - 原价购买数量 = 10，代入表达式得：
$\frac{500}{x-1.5} - \frac{500}{x} = 10$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
列分式方程；总价单价数量关系
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，解题核心是准确抓住题干中的数量差等量关系，正确表示不同单价对应的购买数量，解题时要注意区分两个数量的大小，避免颠倒分式顺序出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道列方程的题目，首先需要找准题干中的核心等量关系，再依次表示出等量关系中的各个量。核心等量为：还价后购买的瓶数 - 原价购买的瓶数 = 10瓶。接下来根据“数量=总价÷单价”的基本关系，分别表示出原价、还价后两种单价对应的购买数量，代入等量关系即可得到方程，注意不要颠倒两个数量的前后顺序。
【解析】
1. 确定两种购买单价：原价为每瓶$x$元，还价后每瓶便宜1.5元，因此还价后单价为每瓶$(x-1.5)$元。
2. 计算不同单价下的购买数量：总金额均为500元，根据“数量=总价÷单价”可得：
按原价可购买的数量为$\frac{500}{x}$瓶，
按还价后价格可购买的数量为$\frac{500}{x-1.5}$瓶。
3. 代入等量关系列方程：
已知还价后购买的瓶数比原价多10瓶，即还价后购买数量 - 原价购买数量 = 10，代入表达式得：
$\frac{500}{x-1.5} - \frac{500}{x} = 10$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
列分式方程；总价单价数量关系
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，解题核心是准确抓住题干中的数量差等量关系，正确表示不同单价对应的购买数量，解题时要注意区分两个数量的大小，避免颠倒分式顺序出错。
【难度系数】
0.7
【变式3】某公司计划共花费2800元为所有员工购买工作服，恰逢商家搞优惠活动，商家将每件服装的原价上涨40%后再打五折，该公司实际比原计划可多买3件.求每件服装的原价.
答案
解：设每件服装的原价为$x$元。
优惠后每件服装的单价为：$(1+40\%)×0.5x = 0.7x$ 元。
根据题意列方程：
$\frac{2800}{0.7x} - \frac{2800}{x} = 3$
化简得：
$\frac{4000}{x} - \frac{2800}{x} = 3$
$\frac{1200}{x} = 3$
解得：$x=400$
检验：当$x=400$时，$x≠0$，$0.7x≠0$，所以$x=400$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：每件服装的原价为400元。
优惠后每件服装的单价为：$(1+40\%)×0.5x = 0.7x$ 元。
根据题意列方程：
$\frac{2800}{0.7x} - \frac{2800}{x} = 3$
化简得：
$\frac{4000}{x} - \frac{2800}{x} = 3$
$\frac{1200}{x} = 3$
解得：$x=400$
检验：当$x=400$时，$x≠0$，$0.7x≠0$，所以$x=400$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：每件服装的原价为400元。
解析
【分析】
这是一道分式方程的实际应用题，解题核心是找到题目中的等量关系。首先明确总花费固定为2800元，题目给出“实际比原计划多买3件”，即：实际购买服装的数量 - 原计划购买服装的数量 = 3。接下来我们需要分别表示出原计划和实际的服装单价，再根据“数量=总价÷单价”表示出两个购买数量，代入等量关系列分式方程求解，最后注意分式方程需要检验根是否符合方程和实际意义。
【解析】
解：设每件服装的原价为$x$元。
优惠后每件服装的单价为：$(1+40\%)×0.5x = 0.7x$ 元。
根据“实际购买数量 - 原计划购买数量 = 3”列方程得：
$\frac{2800}{0.7x} - \frac{2800}{x} = 3$
化简得：
$\frac{4000}{x} - \frac{2800}{x} = 3$
$\frac{1200}{x} = 3$
解得：$x=400$
检验：当$x=400$时，$x≠0$，$0.7x≠0$，所以$x=400$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：每件服装的原价为400元。
【答案】
每件服装的原价为400元
【知识点】
分式方程的应用，分式方程的解法，打折销售计算
【点评】
本题结合生活中的优惠购物场景考查方程的实际应用，解题的关键是准确梳理数量关系，找准列方程的等量式。需要注意的是，分式方程求解后必须进行双检验，既要验证是否为方程的根，也要验证是否符合实际情况。
【难度系数】
0.7
这是一道分式方程的实际应用题，解题核心是找到题目中的等量关系。首先明确总花费固定为2800元，题目给出“实际比原计划多买3件”，即：实际购买服装的数量 - 原计划购买服装的数量 = 3。接下来我们需要分别表示出原计划和实际的服装单价，再根据“数量=总价÷单价”表示出两个购买数量，代入等量关系列分式方程求解，最后注意分式方程需要检验根是否符合方程和实际意义。
【解析】
解：设每件服装的原价为$x$元。
优惠后每件服装的单价为：$(1+40\%)×0.5x = 0.7x$ 元。
根据“实际购买数量 - 原计划购买数量 = 3”列方程得：
$\frac{2800}{0.7x} - \frac{2800}{x} = 3$
化简得：
$\frac{4000}{x} - \frac{2800}{x} = 3$
$\frac{1200}{x} = 3$
解得：$x=400$
检验：当$x=400$时，$x≠0$，$0.7x≠0$，所以$x=400$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：每件服装的原价为400元。
【答案】
每件服装的原价为400元
【知识点】
分式方程的应用，分式方程的解法，打折销售计算
【点评】
本题结合生活中的优惠购物场景考查方程的实际应用，解题的关键是准确梳理数量关系，找准列方程的等量式。需要注意的是，分式方程求解后必须进行双检验，既要验证是否为方程的根，也要验证是否符合实际情况。
【难度系数】
0.7
1. 一台收割机的工作效率相当于一个工人工作效率的180倍,用这台收割机收割10 $\mathrm{hm}^2$小麦比100个工人收割这些小麦要少用1 h. 设这台收割机每小时收割小麦$x$ $\mathrm{hm}^2$,则可列方程为().
A.$\dfrac{10}{x}+1=\dfrac{18}{x}$
B.$\dfrac{10}{x}-1=\dfrac{18}{x}$
C.$\dfrac{10}{x+1}=\dfrac{18}{x}$
D.$\dfrac{10}{x}=\dfrac{18}{x+1}$
A.$\dfrac{10}{x}+1=\dfrac{18}{x}$
B.$\dfrac{10}{x}-1=\dfrac{18}{x}$
C.$\dfrac{10}{x+1}=\dfrac{18}{x}$
D.$\dfrac{10}{x}=\dfrac{18}{x+1}$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先明确工程问题的基本等量关系：工作时间=工作总量÷工作效率。首先根据收割机和工人的效率倍数关系，求出100个工人的总工作效率，再分别表示出收割机、100个工人收割10hm²小麦的工作时间，最后结合“收割机比100个工人少用1h”的时间差关系列出方程即可。
【解析】
解：已知设收割机每小时收割小麦$x \ \mathrm{hm}^2$，
1. 求单个工人的工作效率：
因为收割机效率是一个工人的180倍，所以1个工人每小时收割$\dfrac{x}{180} \ \mathrm{hm}^2$；
2. 求100个工人的总工作效率：
$100$个工人每小时收割量为 $100×\dfrac{x}{180}=\dfrac{5x}{9} \ \mathrm{hm}^2$；
3. 分别计算两者收割$10 \ \mathrm{hm}^2$的时间：
收割机的工作时间：$\dfrac{10}{x}$小时，
100个工人的工作时间：$10÷\dfrac{5x}{9}=\dfrac{18}{x}$小时；
4. 根据时间差列方程：
收割机比100个工人少用1h，即收割机的时间+1h=工人的工作时间，
所以列方程为 $\dfrac{10}{x}+1=\dfrac{18}{x}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
工程问题数量关系、列分式方程
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，解题核心是找准数量间的等量关系，尤其要注意“少用1h”的逻辑关系，避免颠倒两个工作时间的大小导致列错方程。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确工程问题的基本等量关系：工作时间=工作总量÷工作效率。首先根据收割机和工人的效率倍数关系，求出100个工人的总工作效率，再分别表示出收割机、100个工人收割10hm²小麦的工作时间，最后结合“收割机比100个工人少用1h”的时间差关系列出方程即可。
【解析】
解：已知设收割机每小时收割小麦$x \ \mathrm{hm}^2$，
1. 求单个工人的工作效率：
因为收割机效率是一个工人的180倍，所以1个工人每小时收割$\dfrac{x}{180} \ \mathrm{hm}^2$；
2. 求100个工人的总工作效率：
$100$个工人每小时收割量为 $100×\dfrac{x}{180}=\dfrac{5x}{9} \ \mathrm{hm}^2$；
3. 分别计算两者收割$10 \ \mathrm{hm}^2$的时间：
收割机的工作时间：$\dfrac{10}{x}$小时，
100个工人的工作时间：$10÷\dfrac{5x}{9}=\dfrac{18}{x}$小时；
4. 根据时间差列方程：
收割机比100个工人少用1h，即收割机的时间+1h=工人的工作时间，
所以列方程为 $\dfrac{10}{x}+1=\dfrac{18}{x}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
工程问题数量关系、列分式方程
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，解题核心是找准数量间的等量关系，尤其要注意“少用1h”的逻辑关系，避免颠倒两个工作时间的大小导致列错方程。
【难度系数】
0.7
2.(数学文化)《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为：把
一份文件用慢马送到900里外的城市需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍.根据题意列方程为$\frac{900}{x+1}=\frac{900}{2(x-3)}$，其中x表示().
A.快马的速度
B.慢马的速度
C.规定的时间
D.以上都不对
一份文件用慢马送到900里外的城市需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍.根据题意列方程为$\frac{900}{x+1}=\frac{900}{2(x-3)}$，其中x表示().
A.快马的速度
B.慢马的速度
C.规定的时间
D.以上都不对
答案
C
解析
【分析】
解决本题的核心是结合行程问题的基本公式（速度=路程÷时间），分析方程左右两边代数式的实际含义，再对应题目给出的条件验证x的意义。首先观察方程两边都是路程除以含x的代数式，可知两边均表示速度；再结合“慢马用时比规定时间多1天、快马用时比规定时间少3天、快马速度是慢马的2倍”这三个条件，将x的可能含义代入验证，匹配等式即可得到答案。
【解析】
根据行程问题基本公式：$\mathrm{速度}=\frac{\mathrm{路程}}{\mathrm{时间}}$，对题目给出的方程$\frac{900}{x+1}=\frac{900}{2(x-3)}$分析如下：
1. 若$x$表示规定时间：
慢马送文件比规定时间多1天，因此慢马用时为$(x+1)$天，慢马速度为$\frac{900}{x+1}$；
快马送文件比规定时间少3天，因此快马用时为$(x-3)$天，快马速度为$\frac{900}{x-3}$。
已知快马速度是慢马的2倍，变形可得$\mathrm{慢马速度}=\frac{\mathrm{快马速度}}{2}$，代入对应表达式得$\frac{900}{x+1}=\frac{900}{2(x-3)}$，和题目给出的方程完全一致。
2. 若$x$是快马或慢马的速度，分母中“速度+1”“速度-3”没有实际意义，不符合题意。
因此$x$表示规定的时间。
【答案】
C
【知识点】
行程问题等量关系；分式方程的实际应用
【点评】
本题结合古代数学文化背景，考查对分式方程实际意义的理解，需要结合题意梳理各数量之间的关系，通过验证代数式的含义即可确定未知数的意义，注重对基础等量关系的掌握和应用。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是结合行程问题的基本公式（速度=路程÷时间），分析方程左右两边代数式的实际含义，再对应题目给出的条件验证x的意义。首先观察方程两边都是路程除以含x的代数式，可知两边均表示速度；再结合“慢马用时比规定时间多1天、快马用时比规定时间少3天、快马速度是慢马的2倍”这三个条件，将x的可能含义代入验证，匹配等式即可得到答案。
【解析】
根据行程问题基本公式：$\mathrm{速度}=\frac{\mathrm{路程}}{\mathrm{时间}}$，对题目给出的方程$\frac{900}{x+1}=\frac{900}{2(x-3)}$分析如下：
1. 若$x$表示规定时间：
慢马送文件比规定时间多1天，因此慢马用时为$(x+1)$天，慢马速度为$\frac{900}{x+1}$；
快马送文件比规定时间少3天，因此快马用时为$(x-3)$天，快马速度为$\frac{900}{x-3}$。
已知快马速度是慢马的2倍，变形可得$\mathrm{慢马速度}=\frac{\mathrm{快马速度}}{2}$，代入对应表达式得$\frac{900}{x+1}=\frac{900}{2(x-3)}$，和题目给出的方程完全一致。
2. 若$x$是快马或慢马的速度，分母中“速度+1”“速度-3”没有实际意义，不符合题意。
因此$x$表示规定的时间。
【答案】
C
【知识点】
行程问题等量关系；分式方程的实际应用
【点评】
本题结合古代数学文化背景，考查对分式方程实际意义的理解，需要结合题意梳理各数量之间的关系，通过验证代数式的含义即可确定未知数的意义，注重对基础等量关系的掌握和应用。
【难度系数】
0.8
3. 在读书活动中,某同学对甲、乙两个班学生的读书情况进行了统计:甲班学生人数比乙班学生人数多2人,甲班学生读了256本书,乙班学生读了180本书,乙班平均每人读书的本数是甲班平均每人读书的本数的$\frac{3}{4}$. 甲、乙两班各有多少人? 设乙班有$x$人,依题意,可列方程为.
答案
解：
设乙班有$x$人，则甲班有$(x+2)$人。
甲班平均每人读书$\frac{256}{x+2}$本，乙班平均每人读书$\frac{180}{x}$本，依题意可列方程：
$\frac{180}{x} = \frac{3}{4} × \frac{256}{x+2}$
化简方程得：
$\frac{180}{x} = \frac{192}{x+2}$
方程两边同乘$x(x+2)$去分母，得：
$180(x+2) = 192x$
解得：
$x=30$
检验：当$x=30$时，$x(x+2) ≠ 0$，$x=30$是原分式方程的解，且符合实际意义。
甲班人数为$x+2=30+2=32$。
答：甲班有32人，乙班有30人。
设乙班有$x$人，则甲班有$(x+2)$人。
甲班平均每人读书$\frac{256}{x+2}$本，乙班平均每人读书$\frac{180}{x}$本，依题意可列方程：
$\frac{180}{x} = \frac{3}{4} × \frac{256}{x+2}$
化简方程得：
$\frac{180}{x} = \frac{192}{x+2}$
方程两边同乘$x(x+2)$去分母，得：
$180(x+2) = 192x$
解得：
$x=30$
检验：当$x=30$时，$x(x+2) ≠ 0$，$x=30$是原分式方程的解，且符合实际意义。
甲班人数为$x+2=30+2=32$。
答：甲班有32人，乙班有30人。
解析
【分析】
解题时先根据设的乙班人数$x$表示出甲班人数，再利用“人均读书本数=总读书本数÷班级总人数”分别表示出甲、乙两班的人均读书量，最后抓住题干中“乙班平均每人读书的本数是甲班平均每人读书的本数的$\frac{3}{4}$”这一核心等量关系，将两个班的人均读书量代入等量关系即可列出方程，解分式方程时要注意检验根的合理性。
【解析】
设乙班有$x$人，则甲班有$(x+2)$人。
甲班平均每人读书本数为$\frac{256}{x+2}$本，乙班平均每人读书本数为$\frac{180}{x}$本。
根据乙班平均每人读书本数是甲班的$\frac{3}{4}$，列方程得：
$\frac{180}{x} = \frac{3}{4} × \frac{256}{x+2}$
化简得：$\frac{180}{x} = \frac{192}{x+2}$
方程两边同乘$x(x+2)$去分母得：
$180(x+2) = 192x$
展开得：$180x + 360 = 192x$
移项、合并同类项得：$12x = 360$
解得：$x = 30$
检验：当$x=30$时，$x(x+2)=30×32=960≠0$，所以$x=30$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则甲班人数为：$x+2 = 30 + 2 = 32$（人）
【答案】
可列方程为$\frac{180}{x} = \frac{3}{4} × \frac{256}{x+2}$；甲班有32人，乙班有30人。
【知识点】
分式方程的应用；列代数式；解分式方程
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，解题关键是找准题干中的等量关系，正确用含未知数的代数式表示对应数量，解分式方程时要注意双检验，既要验证根是否使原方程分母不为0，也要验证根是否符合实际情景。
【难度系数】
0.75
解题时先根据设的乙班人数$x$表示出甲班人数，再利用“人均读书本数=总读书本数÷班级总人数”分别表示出甲、乙两班的人均读书量，最后抓住题干中“乙班平均每人读书的本数是甲班平均每人读书的本数的$\frac{3}{4}$”这一核心等量关系，将两个班的人均读书量代入等量关系即可列出方程，解分式方程时要注意检验根的合理性。
【解析】
设乙班有$x$人，则甲班有$(x+2)$人。
甲班平均每人读书本数为$\frac{256}{x+2}$本，乙班平均每人读书本数为$\frac{180}{x}$本。
根据乙班平均每人读书本数是甲班的$\frac{3}{4}$，列方程得：
$\frac{180}{x} = \frac{3}{4} × \frac{256}{x+2}$
化简得：$\frac{180}{x} = \frac{192}{x+2}$
方程两边同乘$x(x+2)$去分母得：
$180(x+2) = 192x$
展开得：$180x + 360 = 192x$
移项、合并同类项得：$12x = 360$
解得：$x = 30$
检验：当$x=30$时，$x(x+2)=30×32=960≠0$，所以$x=30$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则甲班人数为：$x+2 = 30 + 2 = 32$（人）
【答案】
可列方程为$\frac{180}{x} = \frac{3}{4} × \frac{256}{x+2}$；甲班有32人，乙班有30人。
【知识点】
分式方程的应用；列代数式；解分式方程
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，解题关键是找准题干中的等量关系，正确用含未知数的代数式表示对应数量，解分式方程时要注意双检验，既要验证根是否使原方程分母不为0，也要验证根是否符合实际情景。
【难度系数】
0.75
4. 张老师和李老师同时从学校出发，乘车去距学校35 km的书店购买书籍，张老师比李老师每小时多走2 km，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x km，依题意，得到的方程是.
答案
解：
设李老师每小时走$x\ \mathrm{km}$，则张老师每小时走$(x+2)\ \mathrm{km}$。
李老师走完全程所需时间为$\frac{35}{x}$小时，张老师走完全程所需时间为$\frac{35}{x+2}$小时。
根据张老师比李老师早到半小时，列方程：
$\frac{35}{x} - \frac{35}{x+2} = \frac{1}{2}$
去分母，两边同乘$2x(x+2)$得：
$70(x+2) - 70x = x(x+2)$
整理得：
$x^2 + 2x - 140 = 0$
解得：
$x_1 = \sqrt{141} - 1,\quad x_2 = -\sqrt{141} - 1$
经检验，$x_1=\sqrt{141}-1$是原分式方程的解，且符合实际意义；$x_2$为负数，不符合题意，舍去。
则张老师每小时走的路程为：$x+2 = \sqrt{141} + 1\ (\mathrm{km})$
答：得到的方程是$\frac{35}{x} - \frac{35}{x+2} = \frac{1}{2}$，李老师每小时走$(\sqrt{141}-1)\ \mathrm{km}$，张老师每小时走$(\sqrt{141}+1)\ \mathrm{km}$。
设李老师每小时走$x\ \mathrm{km}$，则张老师每小时走$(x+2)\ \mathrm{km}$。
李老师走完全程所需时间为$\frac{35}{x}$小时，张老师走完全程所需时间为$\frac{35}{x+2}$小时。
根据张老师比李老师早到半小时，列方程：
$\frac{35}{x} - \frac{35}{x+2} = \frac{1}{2}$
去分母，两边同乘$2x(x+2)$得：
$70(x+2) - 70x = x(x+2)$
整理得：
$x^2 + 2x - 140 = 0$
解得：
$x_1 = \sqrt{141} - 1,\quad x_2 = -\sqrt{141} - 1$
经检验，$x_1=\sqrt{141}-1$是原分式方程的解，且符合实际意义；$x_2$为负数，不符合题意，舍去。
则张老师每小时走的路程为：$x+2 = \sqrt{141} + 1\ (\mathrm{km})$
答：得到的方程是$\frac{35}{x} - \frac{35}{x+2} = \frac{1}{2}$，李老师每小时走$(\sqrt{141}-1)\ \mathrm{km}$，张老师每小时走$(\sqrt{141}+1)\ \mathrm{km}$。
解析
【分析】
这是行程类分式方程应用题，解题核心是利用“时间=路程÷速度”寻找等量关系。首先根据设出的李老师的速度$x\ \mathrm{km/h}$，可推出张老师的速度为$(x+2)\ \mathrm{km/h}$，再分别计算两人走35km全程的用时；结合“张老师比李老师早到半小时”的条件，可知李老师的用时减去张老师的用时等于$\frac{1}{2}$小时，据此即可列出对应的分式方程。
【解析】
设李老师每小时走$x\ \mathrm{km}$，则张老师每小时走$(x+2)\ \mathrm{km}$。
根据时间=路程÷速度，可得：
李老师走完全程所需时间为$\frac{35}{x}$小时，张老师走完全程所需时间为$\frac{35}{x+2}$小时。
结合张老师比李老师早到$\frac{1}{2}$小时的等量关系，列方程得：
$\frac{35}{x} - \frac{35}{x+2} = \frac{1}{2}$
去分母，两边同时乘最简公分母$2x(x+2)$得：
$70(x+2) - 70x = x(x+2)$
整理得：
$x^2 + 2x - 140 = 0$
解得：
$x_1 = \sqrt{141} - 1,\quad x_2 = -\sqrt{141} - 1$
经检验，$x_1=\sqrt{141}-1$是原分式方程的解，且速度为正数符合实际意义；$x_2$为负数，不符合题意，舍去。
则张老师每小时走的路程为：$x+2 = \sqrt{141} + 1\ (\mathrm{km})$
【答案】
依题意得到的方程是$\boldsymbol{\frac{35}{x} - \frac{35}{x+2} = \frac{1}{2}}$；李老师每小时走$(\sqrt{141}-1)\ \mathrm{km}$，张老师每小时走$(\sqrt{141}+1)\ \mathrm{km}$。
【知识点】
行程问题，分式方程列写，分式方程求解
【点评】
本题是典型的分式方程实际应用问题，解题关键是抓住不同对象的时间差建立等量关系，求解后既要检验解是否为分式方程的增根，也要结合实际意义判断解是否合理。
【难度系数】
0.7
这是行程类分式方程应用题，解题核心是利用“时间=路程÷速度”寻找等量关系。首先根据设出的李老师的速度$x\ \mathrm{km/h}$，可推出张老师的速度为$(x+2)\ \mathrm{km/h}$，再分别计算两人走35km全程的用时；结合“张老师比李老师早到半小时”的条件，可知李老师的用时减去张老师的用时等于$\frac{1}{2}$小时，据此即可列出对应的分式方程。
【解析】
设李老师每小时走$x\ \mathrm{km}$，则张老师每小时走$(x+2)\ \mathrm{km}$。
根据时间=路程÷速度，可得：
李老师走完全程所需时间为$\frac{35}{x}$小时，张老师走完全程所需时间为$\frac{35}{x+2}$小时。
结合张老师比李老师早到$\frac{1}{2}$小时的等量关系，列方程得：
$\frac{35}{x} - \frac{35}{x+2} = \frac{1}{2}$
去分母，两边同时乘最简公分母$2x(x+2)$得：
$70(x+2) - 70x = x(x+2)$
整理得：
$x^2 + 2x - 140 = 0$
解得：
$x_1 = \sqrt{141} - 1,\quad x_2 = -\sqrt{141} - 1$
经检验，$x_1=\sqrt{141}-1$是原分式方程的解，且速度为正数符合实际意义；$x_2$为负数，不符合题意，舍去。
则张老师每小时走的路程为：$x+2 = \sqrt{141} + 1\ (\mathrm{km})$
【答案】
依题意得到的方程是$\boldsymbol{\frac{35}{x} - \frac{35}{x+2} = \frac{1}{2}}$；李老师每小时走$(\sqrt{141}-1)\ \mathrm{km}$，张老师每小时走$(\sqrt{141}+1)\ \mathrm{km}$。
【知识点】
行程问题，分式方程列写，分式方程求解
【点评】
本题是典型的分式方程实际应用问题，解题关键是抓住不同对象的时间差建立等量关系，求解后既要检验解是否为分式方程的增根，也要结合实际意义判断解是否合理。
【难度系数】
0.7
5. 某化工厂采用机器人A和机器人B搬运化工原料,机器人A比机器人B每小时少搬运20 kg,机器人A搬运800 kg所用时间与机器人B搬运1 000 kg所用时间相等.机器人A和机器人B每小时分别搬运多少千克化工原料？
答案
解：设机器人A每小时搬运$x$ kg化工原料，则机器人B每小时搬运$(x+20)$ kg化工原料。
根据题意，得
$\frac{800}{x} = \frac{1000}{x+20}$
方程两边同乘$x(x+20)$，得
$800(x+20) = 1000x$
$800x + 16000 = 1000x$
解得$x=80$
检验：当$x=80$时，$x(x+20) ≠ 0$，所以$x=80$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则$x+20 = 80+20 = 100$
答：机器人A每小时搬运80 kg化工原料，机器人B每小时搬运100 kg化工原料。
根据题意，得
$\frac{800}{x} = \frac{1000}{x+20}$
方程两边同乘$x(x+20)$，得
$800(x+20) = 1000x$
$800x + 16000 = 1000x$
解得$x=80$
检验：当$x=80$时，$x(x+20) ≠ 0$，所以$x=80$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则$x+20 = 80+20 = 100$
答：机器人A每小时搬运80 kg化工原料，机器人B每小时搬运100 kg化工原料。
解析
【分析】
这是一道分式方程的实际应用问题，解题核心是找准题干中的等量关系。首先梳理已知条件：①机器人A比机器人B每小时少搬运20kg；②机器人A搬运800kg的时间与机器人B搬运1000kg的时间相等。我们可以先设机器人A的每小时搬运量为未知数，进而表示出机器人B的每小时搬运量，再根据“搬运时间=搬运总质量÷每小时搬运量”分别表示出两个机器人的搬运时间，利用时间相等的关系列出分式方程，求解后注意检验根是否为原方程的解且符合实际意义，最后求出机器人B的搬运量即可。
【解析】
解：设机器人A每小时搬运$x$ kg化工原料，则机器人B每小时搬运$(x+20)$ kg化工原料。
根据题意，得
$\frac{800}{x} = \frac{1000}{x+20}$
方程两边同乘$x(x+20)$，得
$800(x+20) = 1000x$
$800x + 16000 = 1000x$
解得$x=80$
检验：当$x=80$时，$x(x+20) ≠ 0$，所以$x=80$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则$x+20 = 80+20 = 100$
答：机器人A每小时搬运80 kg化工原料，机器人B每小时搬运100 kg化工原料。
【答案】
机器人A每小时搬运80 kg化工原料，机器人B每小时搬运100 kg化工原料。
【知识点】
分式方程的应用；分式方程的解法；列方程解应用题
【点评】
本题属于分式方程应用的常规题型，重点考查梳理题干信息、提取等量关系的能力，解题时需注意分式方程求解后要进行双检验，既要验证根是否满足原方程，也要验证根是否符合实际问题的要求。
【难度系数】
0.7
这是一道分式方程的实际应用问题，解题核心是找准题干中的等量关系。首先梳理已知条件：①机器人A比机器人B每小时少搬运20kg；②机器人A搬运800kg的时间与机器人B搬运1000kg的时间相等。我们可以先设机器人A的每小时搬运量为未知数，进而表示出机器人B的每小时搬运量，再根据“搬运时间=搬运总质量÷每小时搬运量”分别表示出两个机器人的搬运时间，利用时间相等的关系列出分式方程，求解后注意检验根是否为原方程的解且符合实际意义，最后求出机器人B的搬运量即可。
【解析】
解：设机器人A每小时搬运$x$ kg化工原料，则机器人B每小时搬运$(x+20)$ kg化工原料。
根据题意，得
$\frac{800}{x} = \frac{1000}{x+20}$
方程两边同乘$x(x+20)$，得
$800(x+20) = 1000x$
$800x + 16000 = 1000x$
解得$x=80$
检验：当$x=80$时，$x(x+20) ≠ 0$，所以$x=80$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则$x+20 = 80+20 = 100$
答：机器人A每小时搬运80 kg化工原料，机器人B每小时搬运100 kg化工原料。
【答案】
机器人A每小时搬运80 kg化工原料，机器人B每小时搬运100 kg化工原料。
【知识点】
分式方程的应用；分式方程的解法；列方程解应用题
【点评】
本题属于分式方程应用的常规题型，重点考查梳理题干信息、提取等量关系的能力，解题时需注意分式方程求解后要进行双检验，既要验证根是否满足原方程，也要验证根是否符合实际问题的要求。
【难度系数】
0.7
