直角三角形
（1）符号:直角三角形 ABC 可以写成.
（2）性质:直角三角形的两个锐角.
（3）判定:有两个角的三角形是直角三角形.

解：
(1) $\boldsymbol{Rt△ ABC}$
(2) $\boldsymbol{互余}$
(3) $\boldsymbol{互余}$

【分析】
本题考查直角三角形的基础相关概念，解题时结合课本所学内容逐一作答即可：第(1)问回忆直角三角形的符号书写规范直接填写；第(2)问结合三角形内角和为180°，直角为90°，可推导得到两个锐角的和为90°，对应性质结论；第(3)问由角的关系反推三角形类型，两个角互余说明和为90°，可算出第三个角为90°，对应判定定理。
【解析】
(1) 根据数学中直角三角形的符号表示规则，直角三角形ABC可以记作$\mathrm{Rt}△ABC$；
(2) 三角形内角和为180°，直角三角形内有一个角为90°，因此剩余两个锐角的和为$180°-90°=90°$，即直角三角形的两个锐角互余；
(3) 若三角形有两个角互余，说明这两个角的和为90°，可得第三个角的度数为$180°-90°=90°$，因此这个三角形是直角三角形，即有两个角互余的三角形是直角三角形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\mathrm{Rt}△ABC}$
(2) $\boldsymbol{互余}$
(3) $\boldsymbol{互余}$
【知识点】
1. 直角三角形的表示
2. 直角三角形的性质
3. 直角三角形的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，涉及的都是直角三角形的核心基础知识点，熟练记忆即可得分，相关内容是后续学习直角三角形其他性质、解决直角三角形综合应用的基础，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.9

【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°, AD平分∠CAB, DE ⊥ AB于点E.
若∠BDE=56°,则∠DAE的度数为().

A.23°
B.28°
C.52°
D.56°

B

【分析】
解题可按三步推导：首先从Rt△BDE的已知角度出发，利用直角三角形两锐角互余的性质算出∠B的度数；再在Rt△ABC中，同样用直角三角形两锐角互余的性质求出∠CAB的总度数；最后根据AD是∠CAB的角平分线，可知∠DAE为∠CAB的一半，代入数值计算即可得到答案。
【解析】
1. 在$Rt△ BDE$中，$∠ DEB=90°$，$∠ BDE=56°$，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ B=90°-∠ BDE=90°-56°=34°$
2. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，同理可得：
$∠ CAB=90°-∠ B=90°-34°=56°$
3. 因为$AD$平分$∠ CAB$，根据角平分线的定义：
$∠ DAE=\frac{1}{2}∠ CAB=\frac{1}{2}×56°=28°$
【答案】
B
【知识点】
直角三角形的性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，将直角三角形的角度性质和角平分线的定义结合考查，解题核心是理清各角之间的数量关系，按逻辑逐步推导即可。
【难度系数】
0.8

【变式1】如图，AD⊥BC于点D，BE是△ABC的角平分线，BE，AD相交于点F。若∠BAD = 44°，则∠BFD=。

$\boldsymbol{67°}$

【分析】
解题时可按以下思路推导：首先由AD⊥BC可知△ABD是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质，结合已知∠BAD=44°，先求出∠ABD的度数；再根据BE是角平分线，可得到∠FBD的度数；最后在Rt△BFD中，再次利用直角三角形两锐角互余的性质，即可求出∠BFD的度数。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠BAD+∠ABD=90°，
已知∠BAD=44°，
∴∠ABD=90°-44°=46°，
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠FBD=$\frac{1}{2}$∠ABD=$\frac{1}{2}$×46°=23°，
在Rt△BDF中，∠FBD+∠BFD=90°，
∴∠BFD=90°-23°=67°。
【答案】
$\boldsymbol{67°}$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是结合图形理清角之间的数量关系，熟练运用直角三角形的性质和角平分线的定义即可顺利求解，解题时要注意推导逻辑的连贯性。
【难度系数】
0.8

【例2】下列条件:①$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$；②$∠ A=∠ B=2∠ C$；③$∠ A+∠ B=∠ C$；④$∠ A=\frac{1}{2}∠ B=\frac{1}{3}∠ C$. 其中能确定$△ ABC$为直角三角形的有().

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

B

【分析】
要判断△ABC是否为直角三角形，核心依据是三角形内角和为180°，只要能推出三角形中有一个内角为90°，即可判定为直角三角形。我们可以逐个分析给出的4个条件，结合内角和定理计算最大角的度数，判断是否为90°即可。
【解析】
根据三角形内角和定理，任意三角形的三个内角度数之和为180°，逐一分析条件：
①设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，由内角和得：
$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，则$∠ C=3×30°=90°$，△ABC是直角三角形，符合要求；
②设∠C=x，∠A=∠B=2x，由内角和得：
$2x+2x+x=180°$，解得$x=36°$，则$∠ A=∠ B=72°$，三个内角均不为90°，不是直角三角形，不符合要求；
③将$∠ A+∠ B=∠ C$代入内角和公式：
$∠ C + ∠ C = 180°$，解得$∠ C=90°$，△ABC是直角三角形，符合要求；
④设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，由内角和得：
$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，则$∠ C=3×30°=90°$，△ABC是直角三角形，符合要求。
综上，能确定为直角三角形的条件有①③④，共3个。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，通过设未知数列方程的方式求出各角度数，进而判断是否为直角三角形，解题时要注意理清角之间的数量关系，避免计算错误。
【难度系数】
0.7

【变式2】如图，$CD// AB$，$∠ A = 35°$，$∠ DCB = 55°$，则$△ ABC$的形状为（）.

A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等边三角形

C

【分析】
解题时先从已知的平行条件入手，根据平行线的性质可得到与∠DCB相等的内错角∠B的度数；再结合已知的∠A的度数，利用三角形内角和为180°，计算出△ABC第三个内角∠ACB的度数，最后根据角的度数判断三角形的形状即可。
【解析】
解：
∵$CD// AB$，$∠DCB=55°$
∴$∠B=∠DCB=55°$（两直线平行，内错角相等）
在$△ ABC$中，$∠A=35°$，$∠B=55°$
∴$∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-35°-55°=90°$
∴$△ ABC$是直角三角形
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题是基础的几何综合题，解题的关键是熟练运用平行线的性质得到对应角相等，再结合三角形内角和定理求出未知角的度数，进而判断三角形的形状。
【难度系数】
0.8

1. 在$△ ABC$中，若$∠ B$与$∠ C$互余，则$△ ABC$是().

A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形

B

【分析】
拿到这道题，首先明确已知条件是△ABC中∠B和∠C互余，需要判断三角形的形状。第一步先回忆互余的概念：如果两个角互余，那么它们的和为90°；第二步结合三角形内角和为180°的定理，就能算出第三个角的度数；第三步根据三角形按角分类的标准，判断三角形的类型即可。
【解析】
解：
∵∠B与∠C互余，
∴∠B + ∠C = 90°，
∵三角形内角和为180°，即∠A + ∠B + ∠C = 180°，
∴∠A = 180° - (∠B + ∠C) = 180° - 90° = 90°，
有一个角是直角的三角形是直角三角形，因此△ABC是直角三角形。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
互为余角的定义；三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念应用题，考查对基础几何概念的理解与运用，熟练掌握相关定义和定理就能轻松解答。
【难度系数】
0.9

2. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,已知 $∠ ACB$ 是直角, $∠ B=55°$,则 $∠ A$ 的度数是().

A.$55°$
B.$45°$
C.$35°$
D.$25°$

C

【分析】
解决本题首先回忆直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角之和为90°（两锐角互余）。已知直角三角形中一个锐角的度数，求另一个锐角的度数时，直接用90°减去已知锐角的度数即可快速求解，也可结合三角形内角和为180°推导，思路清晰简单。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$
根据直角三角形两锐角互余的性质，可得：$∠ A + ∠ B = 90°$
又
∵ $∠ B=55°$
∴ $∠ A = 90° - 55° = 35°$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础计算类题型，主要考查直角三角形中锐角的求解，只要熟练掌握直角三角形两锐角互余的性质就能快速得出答案，计算量小。
【难度系数】
0.9

3. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，$∠ A=2∠ C$，则$∠ C$的度数为.

$\boldsymbol{30°}$

【分析】
解题时首先看到题目是直角三角形，先回忆相关性质：直角三角形的两个锐角之和为90°（也可结合三角形内角和180°推导，因为直角为90°，剩下两个锐角和就是180°-90°=90°）。已知∠A是∠C的2倍，我们可以把∠A用∠C的表达式替换，代入两个锐角和为90°的关系式中，就能计算出∠C的度数。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ A + ∠ C = 180° - ∠ B = 90°$
又
∵ $∠ A=2∠ C$
将$∠ A=2∠ C$代入$∠ A + ∠ C = 90°$得：
$2∠ C + ∠ C = 90°$
$3∠ C = 90°$
解得$∠ C = 30°$
【答案】
$\boldsymbol{30°}$
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余；2. 三角形内角和定理
【点评】
本题是基础题，主要考查直角三角形的性质，结合已知的角的倍数关系即可快速求解，是对基础概念的常规考查，解题时理清角之间的数量关系即可避免出错。
【难度系数】
0.9

4. 将一个含$30°$角的三角尺和直尺按如图所示方式放置. 若$∠ 1 = 50°$, 则$∠ 2$ 的度数是.

$\boldsymbol{80°}$

【分析】
解题时先明确已知条件：直尺对边平行，含30°角的三角尺有一个30°的锐角，∠1=50°。解题思路如下：第一步，利用直尺对边平行的性质，得到∠1的内错角与∠1相等；第二步，结合三角形外角的性质（三角形的外角等于不相邻两个内角的和），可以发现∠2等于∠1与三角尺30°角的和；第三步，代入数值计算即可得到∠2的度数。
【解析】
解：
∵ 直尺的上下两条长边互相平行，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠1的内错角度数为50°。
又
∵ 三角尺为含30°角的直角三角尺，结合三角形外角的性质，可知∠2等于∠1与三角尺30°锐角的和。
已知∠1=50°，因此∠2=50°+30°=80°。
【答案】
$\boldsymbol{80°}$
【知识点】
平行线的性质，三角形外角性质，角的和差计算
【点评】
本题是几何基础题型，重点考查平行线性质与三角板角度特征的综合应用，解题的核心是准确找到各角之间的数量关系，熟练掌握相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7

5. 如图,在$△ ABC$中,AD是边BC上的高,E是边AB上一点(不与点A,B重合),CE交AD于点M,且$∠ DCM=∠ MAE$. 求证:$△ AEM$是直角三角形.

证明：
∵ AD是边BC上的高，
∴ ∠ADC = 90°，
∴ 在△CDM中，∠DCM + ∠DMC = 90°。
∵ ∠DMC = ∠AME（对顶角相等），且∠DCM = ∠MAE，
∴ ∠MAE + ∠AME = 90°，
∴ ∠AEM = 180° - (∠MAE + ∠AME) = 90°，
∴ △AEM是直角三角形。

【分析】
要证明△AEM是直角三角形，核心是证明该三角形存在90°的内角。首先从已知条件“AD是BC边上的高”出发，可得∠ADC=90°，由此可知Rt△CDM中两个锐角互余，即∠DCM+∠DMC=90°。接下来寻找这两个角与△AEM内角的关联：已知∠DCM=∠MAE，同时∠DMC与∠AME是对顶角，根据对顶角相等可知二者相等，通过等量代换就能得到△AEM中∠MAE+∠AME=90°，最后结合三角形内角和为180°，可计算出∠AEM=90°，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ AD是边BC上的高，
∴ ∠ADC = 90°，
∴ 在△CDM中，∠DCM + ∠DMC = 90°。
∵ ∠DMC = ∠AME（对顶角相等），且∠DCM = ∠MAE，
∴ ∠MAE + ∠AME = 90°，
∴ ∠AEM = 180° - (∠MAE + ∠AME) = 90°，
∴ △AEM是直角三角形。
【答案】
△AEM是直角三角形
【知识点】
直角三角形的性质；对顶角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何证明题，主要考查直角三角形的判定，解题的关键是利用已知条件结合对顶角相等完成角的等量代换，推导得出待证三角形的两个内角和为90°，需要熟练掌握直角三角形“两锐角互余”的性质和判定方法。
【难度系数】
0.8