登录
8.已知多项式$A=2x^2+my-12,B=nx^2-3y+6.$
(1)若$(m+2)^2+|n-3|=0$,化简$A-B$;
(2)若$A+B$的结果中不含有$x^2$项以及$y$项,求$m+n+mn$的值.
(1)若$(m+2)^2+|n-3|=0$,化简$A-B$;
(2)若$A+B$的结果中不含有$x^2$项以及$y$项,求$m+n+mn$的值.
答案
8. (1)$-x^2+y-18$ (2)$-5$
解析
【分析】
（1）解题思路：首先根据非负数的性质，即若两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0，可求出m、n的取值；再将A、B代入A-B的表达式，按照去括号法则去掉括号，合并同类项后，代入m、n的值即可完成化简。
（2）解题思路：先计算A+B的表达式，合并同类项后，根据结果中不含x²项和y项，说明这两项的系数均为0，据此列等式求出m、n的值，最后将m、n代入m+n+mn计算即可得到结果。
【解析】
（1）
∵$(m+2)^2≥0$，$|n-3|≥0$，且$(m+2)^2+|n-3|=0$
∴$m+2=0$，$n-3=0$，解得$m=-2$，$n=3$
将A、B代入A-B得：
$A-B=(2x^2+my-12)-(nx^2-3y+6)$
去括号得：$=2x^2+my-12-nx^2+3y-6$
合并同类项得：$=(2-n)x^2+(m+3)y-18$
代入$m=-2$，$n=3$得：
$=(2-3)x^2+(-2+3)y-18=-x^2+y-18$
（2）先计算A+B：
$A+B=(2x^2+my-12)+(nx^2-3y+6)$
合并同类项得：$=(2+n)x^2+(m-3)y-6$
∵A+B的结果中不含$x^2$项和y项
∴$x^2$项的系数为0，y项的系数为0，即：
$2+n=0$，$m-3=0$
解得$m=3$，$n=-2$
将$m=3$，$n=-2$代入$m+n+mn$得：
$3+(-2)+3×(-2)=3-2-6=-5$
【答案】
（1）$-x^2+y-18$；（2）$-5$
【知识点】
非负数的性质；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题重点考查整式加减的实际应用，解题核心是熟练掌握去括号、合并同类项的运算规则，理解“多项式不含某一项即该项的系数为0”的应用，同时涉及非负数性质的考察，属于整式章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
（1）解题思路：首先根据非负数的性质，即若两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0，可求出m、n的取值；再将A、B代入A-B的表达式，按照去括号法则去掉括号，合并同类项后，代入m、n的值即可完成化简。
（2）解题思路：先计算A+B的表达式，合并同类项后，根据结果中不含x²项和y项，说明这两项的系数均为0，据此列等式求出m、n的值，最后将m、n代入m+n+mn计算即可得到结果。
【解析】
（1）
∵$(m+2)^2≥0$，$|n-3|≥0$，且$(m+2)^2+|n-3|=0$
∴$m+2=0$，$n-3=0$，解得$m=-2$，$n=3$
将A、B代入A-B得：
$A-B=(2x^2+my-12)-(nx^2-3y+6)$
去括号得：$=2x^2+my-12-nx^2+3y-6$
合并同类项得：$=(2-n)x^2+(m+3)y-18$
代入$m=-2$，$n=3$得：
$=(2-3)x^2+(-2+3)y-18=-x^2+y-18$
（2）先计算A+B：
$A+B=(2x^2+my-12)+(nx^2-3y+6)$
合并同类项得：$=(2+n)x^2+(m-3)y-6$
∵A+B的结果中不含$x^2$项和y项
∴$x^2$项的系数为0，y项的系数为0，即：
$2+n=0$，$m-3=0$
解得$m=3$，$n=-2$
将$m=3$，$n=-2$代入$m+n+mn$得：
$3+(-2)+3×(-2)=3-2-6=-5$
【答案】
（1）$-x^2+y-18$；（2）$-5$
【知识点】
非负数的性质；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题重点考查整式加减的实际应用，解题核心是熟练掌握去括号、合并同类项的运算规则，理解“多项式不含某一项即该项的系数为0”的应用，同时涉及非负数性质的考察，属于整式章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
9.阅读材料,并回答下列问题.
对称式:一个含有多个字母的代数式中,如果任意交换两个字母的位置,代数式的值都不变,那么这样的代数式就叫作对称式.例如:代数式abc中任意两个字母交换位置,可得到代数式bac,acb,cba.∵abc = bac = acb = cba,∴abc是对称式;而代数式a−b中字母a,b交换位置,得到代数式b−a,∵a−b≠b−a,∴a−b不是对称式.
(1)下列三个代数式中,是对称式的是
①$a+b+c$;②$a^2b$;③$a^2+b^2$;
(2)写出一个只含有字母$m,n$的单项式,该单项式是对称式,且次数为6;
(3)已知$A=3a^2+6b^2,B=a^2−2ab$,求$A+3B$,并直接判断所得结果是否为对称式.
对称式:一个含有多个字母的代数式中,如果任意交换两个字母的位置,代数式的值都不变,那么这样的代数式就叫作对称式.例如:代数式abc中任意两个字母交换位置,可得到代数式bac,acb,cba.∵abc = bac = acb = cba,∴abc是对称式;而代数式a−b中字母a,b交换位置,得到代数式b−a,∵a−b≠b−a,∴a−b不是对称式.
(1)下列三个代数式中,是对称式的是
①③
(填序号).①$a+b+c$;②$a^2b$;③$a^2+b^2$;
(2)写出一个只含有字母$m,n$的单项式,该单项式是对称式,且次数为6;
(3)已知$A=3a^2+6b^2,B=a^2−2ab$,求$A+3B$,并直接判断所得结果是否为对称式.
答案
9. (1)①③ (2)满足条件的单项式为$m^3n^3$(答案不唯一). (3)$\because A=3a^2+6b^2,B=a^2-2ab,\therefore A+3B=3a^2+6b^2+3(a^2-2ab)=3a^2+6b^2+3a^2-6ab=6a^2+6b^2-6ab. \because 6a^2+6b^2-6ab$是对称式,$\therefore A+3B$是对称式.
解析
【分析】
(1) 首先明确对称式的判定核心：任意交换两个字母，代数式的值不变。逐个验证三个代数式：①交换任意两个字母，加法交换律保证和不变，符合定义；②交换a和b得到$b^2a$，与原式$a^2b$不相等，不符合；③交换a和b得到$b^2+a^2$，与原式相等，符合，因此选①③。
(2) 要写出满足要求的单项式，需保证交换m、n后代数式不变，即m和n的指数相等，结合总次数为6，可得m、n的指数均为3，即可写出符合要求的单项式。
(3) 先将A、B代入$A+3B$，按照整式加减的规则先去括号、再合并同类项得到化简结果，再交换a和b验证结果是否与原式相等，即可判断是否为对称式。
【解析】
解：(1) 根据对称式的定义判断：
①交换$a+b+c$中任意两个字母，所得代数式的值与原式相等，是对称式；
②交换$a^2b$中a和b，得到$b^2a≠a^2b$，不是对称式；
③交换$a^2+b^2$中a和b，得到$b^2+a^2=a^2+b^2$，是对称式；
故填①③。
(2) 该单项式需满足：只含m、n，交换m、n后值不变，次数为6，因此m、n的指数均为3，可写为$m^3n^3$（答案不唯一，非零系数的$m^3n^3$均可）。
(3) 把$A=3a^2+6b^2$，$B=a^2−2ab$代入$A+3B$：
$\begin{aligned}A+3B&=3a^2+6b^2 + 3(a^2−2ab)\\&=3a^2+6b^2 + 3a^2 - 6ab\\&=6a^2 + 6b^2 - 6ab\end{aligned}$
交换a和b后得到$6b^2 + 6a^2 - 6ba = 6a^2 + 6b^2 - 6ab$，与原式相等，因此所得结果是对称式。
【答案】
(1) $\boldsymbol{①③}$
(2) $\boldsymbol{m^3n^3}$（答案不唯一）
(3) $\boldsymbol{A+3B=6a^2+6b^2-6ab}$，是对称式
【知识点】
1. 对称式的新定义
2. 整式的加减运算
3. 单项式的次数
【点评】
本题结合新定义考查整式的相关概念与运算，解题核心是准确理解对称式的定义，熟练掌握去括号、合并同类项的运算法则，能有效考查学生的知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.8
(1) 首先明确对称式的判定核心：任意交换两个字母，代数式的值不变。逐个验证三个代数式：①交换任意两个字母，加法交换律保证和不变，符合定义；②交换a和b得到$b^2a$，与原式$a^2b$不相等，不符合；③交换a和b得到$b^2+a^2$，与原式相等，符合，因此选①③。
(2) 要写出满足要求的单项式，需保证交换m、n后代数式不变，即m和n的指数相等，结合总次数为6，可得m、n的指数均为3，即可写出符合要求的单项式。
(3) 先将A、B代入$A+3B$，按照整式加减的规则先去括号、再合并同类项得到化简结果，再交换a和b验证结果是否与原式相等，即可判断是否为对称式。
【解析】
解：(1) 根据对称式的定义判断：
①交换$a+b+c$中任意两个字母，所得代数式的值与原式相等，是对称式；
②交换$a^2b$中a和b，得到$b^2a≠a^2b$，不是对称式；
③交换$a^2+b^2$中a和b，得到$b^2+a^2=a^2+b^2$，是对称式；
故填①③。
(2) 该单项式需满足：只含m、n，交换m、n后值不变，次数为6，因此m、n的指数均为3，可写为$m^3n^3$（答案不唯一，非零系数的$m^3n^3$均可）。
(3) 把$A=3a^2+6b^2$，$B=a^2−2ab$代入$A+3B$：
$\begin{aligned}A+3B&=3a^2+6b^2 + 3(a^2−2ab)\\&=3a^2+6b^2 + 3a^2 - 6ab\\&=6a^2 + 6b^2 - 6ab\end{aligned}$
交换a和b后得到$6b^2 + 6a^2 - 6ba = 6a^2 + 6b^2 - 6ab$，与原式相等，因此所得结果是对称式。
【答案】
(1) $\boldsymbol{①③}$
(2) $\boldsymbol{m^3n^3}$（答案不唯一）
(3) $\boldsymbol{A+3B=6a^2+6b^2-6ab}$，是对称式
【知识点】
1. 对称式的新定义
2. 整式的加减运算
3. 单项式的次数
【点评】
本题结合新定义考查整式的相关概念与运算，解题核心是准确理解对称式的定义，熟练掌握去括号、合并同类项的运算法则，能有效考查学生的知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.8
